Метод разложения по собственным функциям

Здесь учтено, что стержень может иметь начальный прогиб Vf, x). Для решения этого интегро-дифференциального уравнения используем метод разложения по собственным функциям. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение [c.601]

Решение уравнения (3.G7) можно получить различными способами, но в рассматриваемой задаче удобнее воспользоваться методом разложения по собственным функциям. Собственные функции однородной задачи известны [c.128]

Это совпадает с точным решением задачи, полученным методом разложения по собственным функциям [1]. [c.331]

ГЛАВА 10. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ МЕТОДОМ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ КЕЙСА [c.378]

При решении уравнения переноса излучения с помощью метода разложения по собственным функциям возникает задача разложения произвольной функции по собственным функциям однородного уравнения во всем диапазоне изменения [х (т. е. [c.386]

При решении задач теплообмена излучением с помощью метода разложения по собственным функциям приходится интегрировать в полном и половинном диапазонах изменения ц различные функции нормальных мод. Ниже приведены различные интегралы нормировки, соотношения ортогональности и некоторые полезные интегралы, содержащие собственные функции для случая изотропного рассеяния. Выводы приведенных выражений и бол е полные таблицы можно найти в оригинальных публикациях [1, 2, 6, 25]. [c.402]

Для иллюстрации применения" метода разложения по собственным функциям при со С 1 рассмотрим задачу теплообмена излучением в плоском полуограниченном (О т < оо) слое поглощающей, излучаюЩей, изотропно рассеивающей серой среды [c.407]

РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ПРИ ю < 1 [c.454]

В настоящем разделе будет рассмотрено применение метода разложения по собственным функциям для решения уравнения переноса излучения и нахождения углового распределения интенсивности излучения и плотности потока результирующего излучения в плоском сл ое поглощающей, излучающей, изотропно рассеивающей серой среды с заданным распределением температуры Т (т), заключенной между двумя зеркально отражающими, диффузно излучающими, непрозрачными серыми границами. Граничные поверхности т = О и т = тб имеют постоянные температуры Ту и Гг, степени черноты ei и ег и отражательные способности pf и р соответственно. Геометрия задачи и система координат аналогичны приведенным на фиг. 11.5. Математически рассматриваемая задача описывается уравнением [c.454]

СЛОИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ВНУТРЕННИМИ ИСТОЧНИКАМИ ЭНЕРГИИ. РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ [c.463]

Уравнение (11.122) теперь имеет тот же вид, что и уравнение переноса излучения при = 1 и содержит заранее заданный свободный член, обусловленный наличием внутренних источников. Уравнения (11.122), (11.123) были решены с помощью метода разложения по собственным функциям в работах [25, 29, 30] при различных граничных условиях. После того, как найдено угловое распределение интенсивности излучения /(т, fi), по формуле (11.121) можно рассчитать распределение температуры, а по (11.117)—плотность потока результирующего излучения. Представим теперь решение уравнения (11.122) при граничных условиях (11.123) методом разложения по собственным функ-, циям. [c.465]

Он использовал метод, предложенный Чандрасекаром, и рассчитанные им Я-функции. В работе [46] рассчитана отражательная и пропускательная способности плоскопараллельного слоя рассеивающей среды (со == 1) с прозрачными границами в случае линейно анизотропного рассеяния [согласно индикатрисе рассеяния (11.155)], а в работе [47] применен метод Монте-Карло для определения отражательной и поглощательной способностей цилиндрического объема относительно диффузного излучения. Наконец, в работе [48] получено точное рещение уравнения переноса излучения методом разложения по собственным функциям и определены пропускательная и полусферическая отражательная способности слоя конечной толщины поглощающей, изотропно рассеивающей среды с отражающими границами. [c.474]

Для решения радиационной части задачи применим метод разложения по собственным функциям. Обш ее решение уравнения переноса излучения (12.55) равно сумме решений соответствующего однородного уравнения и частного решения 1 5р(т, М-) [c.506]

В работах [2—6] использовано приближение оптически толстого слоя для исследования влияния излучения на течение в пограничном слое серого газа. Авторы работ [7—11] применили приближение оптически тонкого слоя. В работах [12—14] использованы соответственно экспоненциальная аппроксимация ядра, приближение оптически толстого слоя и метод итераций, а в [15а и 156] с помощью метода разложения по собственным функциям [c.524]

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ [c.568]

На базе теории типа Тимошенко решено достаточно большое количество задач по переходным процессам. Если опустить те исследования, где применяется метод разложения по собственным функциям колебаний (предназначенный для решения квазистационарных задач), то можно упомянуть публикации М. В. Дубинкина (1959), В. Д. Кубенко (1965), [c.253]

Кроме известного отравляющего эффекта ксенона-135 в тепловых реакторах с достаточно высоким потоком нейтронов [30] существует возможность возникновения локальных осцилляций мощности в больших реакторах, вызванных действием ксенона-135. Поток нейтронов (или тепловыделение) может в этом случае меняться периодически в пространстве и во времени. Метод разложения по собственным функциям обеспечивает тогда удобный подход к изучению динамики ксеноновых колебаний мощности. [c.437]

Наибольшее распространение при исследова ии неустановившихся динамических процессов в балке Тимошенко получили, как и следовало ожидать, метод интегрального преобразования Лапласа, метод характеристик и в последние годы численные методы, реализуемые на ЭЦВМ. В некоторых случаях выгодным оказывается и метод разложения по собственным функциям. [c.57]

Приведены в виде графиков решения уравнений Тимошенко и Бернулли—Эйлера, полученные методом разложения по собственным функциям с применением ЭЦВМ. Во временном интервале, соответствующем прохождению сдвиговой волной пути, равного пяти длинам балки, вычислены поперечная сила на конце и изгибающий момент в середине при двух значениях упругого опирания s (мягком и жестком) н отношении длины балки к радиусу инерции 40. Видно, что при принятых параметрах для изгибающего момента обе теории дают близкие результаты, а для поперечной силы классическая теория совершенно непригодна даже при мягком сдвиговом опирании. [c.67]

В книгу включен ряд новых результатов по применению метода разложения по собственным функциям, метода годографа и канонических преобразований для анализа локализации пластических деформаций, оценке влияния удаленных локализованных пластических зон на равновесие трещин, исследованию влияния новрежденности на развитие трещин с учетом зон локализации пластических деформаций перед вершиной и в условиях ползучести в связках пластичность—поврежденность, ползучесть—поврежденность. [c.2]

Трещина нормального отрыва (плоское деформированное состояние). Регпение методом разложения по собственным функциям [c.375]

Решение этой задачи методом разложения по собственным функциям получено в [ ]. [c.375]

Следуя обычному методу [3, 9], представим правую часть также в виде разложения по собственным функциям [c.147]

Как уже говорилось выше, численное интегрирование можно применить и в методе разложения по собственным формам при решении уравнений (10.24). С другой стороны, всякая матрица v может быть единственным образом представлена в виде разложения по формам собственных колебаний (если включить в это разложение все формы). Процесс численного интегрирования уравнения (10.32) можно понимать как неявное пошаговое определение коэффициентов этого разложения, являющихся функциями времени. То же самое, только в явной форме, делается и при интегрировании уравнений (10.24). Таким образом, пря.мое интегрирование уравнения (10.32) можно трактовать как неявное и одновременное выполнение тех же вычислений, которые в методе разложения по собствен- [c.373]

Ортогональность собственных функций лежит в основе способа определения неизвестных коэффициентов в разложении произвольных функций по собственным функциям. Эта методика аналогична использованию свойства ортогональности собственных функций в классическом методе разложения по ортогональным функциям. В данном разделе рассмотрена ортогональность собственных функций при разложениях в полном и половинном диапазонах. [c.387]

Для решения одномерной задачи переноса излучения может быть использован метод разложения по собственным функциям (нормальным модам), Предложенный Кейсом [1] в 1960 г. для строгого решения одномерного уравнения переноса нейтронов. В этом методе решение уравнения переноса излучения записывается в виде линейной суммы собственных функций для однородной части уравнения переноса излучения и частного решения неоднородного уравнения. Неизвестные коэффициенты разло жения, фигурирующие в решении однородного уравнения, опрег деляются таким образом, чтобы полное решение удовлетворяло граничным- условиям задачи при этом используются свойство ор.тогональности собственных функций и различные интегралы нормировки. Данный метод аналогичен классическому методу разложения по ортогональным функциям. [c.378]

Чтобы продемонстрировать применениё метода разложения по собственным функциям для случая со = 1, рассмотрим теплообмен излучением в плоском слое серой среды с распределед- [c.463]

Ли и Оцисик [15а] применили описанный выше метод разложения по собственным функциям для решения стационарной и нестационарной задач о совместном переносе тепла в плоском слое теплопроводностью и излучением. [c.508]

Авторы работ [24, 25] использовали соответственно метод единичного возмущения и приближенный интегральны - метода для исследования влияния излучения на теплробмен при свободной ламинарной конвекции на вертикальной пластине, а в [26] использован метод разложения по собственным функциям для получения точного решения этой задачи с учетом рассеяния. [c.525]

Сформулированная выше задача о совместном действии конвекции и излучения была решена численно в работе [38] для течения поглош,аюш,его и излучаюш,его газа как в точной постаг новке, так и с использованием приближений оптически тонкого и толстого слоев. Позднее была решена аналогичная задача для поглощающего, излучающего и изотропно рассеивающего газа в точной постановке с использованием метода разложения по собственным функциям Кейса [42]. На фиг. 13.7 приведены профили температуры в пограничном слое для случая адиабатической стенки при нескольких значениях параметра g и при Рг = 1, Еоо — 2,0, ею = 1, yv = 0,5. Профиль температуры для == О соответствует случаю неизлучающего газа. Заметим, что при отсутствии излучения температура в пограничном слое максимальна. Излучение приводит к уменьшению максимума температуры в пограничном слое, обусловленного вязкой диссипацией энергии. По мере возрастания параметра максимум температуры уменьшается и профиль становится более пологим. При значениях этого параметра порядка 10- или меньше пограничный слой в рассматриваемой задаче можно считать оптически тонким. В этом диапазоне значений I решение, полученное в приближении оптически тонкого слоя, достаточно хорошо согласуется с точным. Однако необходимо проявлять осторожность при использовании приближения оптически тонкого слоя в за- [c.561]

Влияние излучения на теплообмен при ламинарной свободной конвекции на вертикальной пластине для поглощающей и излучающей жидкости в приближении оптически толстого слоя было и JJeдoвaнo в работе.[24] с помощью метода единичного возмущения. В [25] рассмотрена аналогичная задача для случаев как оптически тонкого, так и оптически толстого слоя. Для решения уравнения энергии использовался приближенный интегральный метод. Авторы работы [26] рассмотрели задачу сложного теплообмена для поглрщающей, излучающей и изотропно рассеивающей жидкости. Радиационная часть задачи решалась ими точно с помощью метода разложения по собственным функциям. В этом разделе будет дана формулировка задачи о свободной конвекции на вертикальной пластине при наличии излучения, описаны методы решения и обсуждены некоторые результаты. [c.563]

Для решения радиационной чарти задачи и нахождения точного выражения для радиационного члена dQ jd (или dQ ldx), входящего в уравнение энергии, можно использовать метод разложения по собственным функциям. [c.568]

В этом разделе будет проанализирована роль излучения при не полностью термически развитом течении пробки поглощающего, излучающего и изотропно рассеивающего газа между двумя бесконечными параллельными пластинами, отстоящими друг от друга на расстоянии 2L. Для точного решения радиационной части задачи будет использован метод разложения по собственным функциям. Пробка однородного газа, имеющего температуру Го, входит в нагреваемую часть канала, начинающуюся при X = 0. При X > О стенки поддерживаются при некоторой постоянной температуре Т . На фиг. 14.4. показана схема течения и система координат. Пластины считаются непрозрачными, серыми, диффузно излучающими и зеркально отражающими. Кроме того, примем, что степени черноты обеих пластин одинакавы и выполняется закон Кирхгофа. Такая задача была решена в работе [18]. Ниже удут даны постановка задачи, обсуждение метода решения и некоторые результаты. [c.590]

Уравнение (12.52) будем интегриррвать методом разложения по собственным функциям бигармонического оператора, ко - [c.45]

Обычно, как показано в гл. 1, нет причин считать, что набор собственных функций Фу является полным в том смысле, что решение задачи на начальное значение можно разложить по этим собственным функциям. Однако для некоторых простых приближений теории переноса нейтронов, например для многогруппового диффузионного приближения в одномерной геометрии с непрерывной пространственной зависимостью (см. разд. 4.4.3) [6] и для систем конечноразностных уравнений (см. разд. 4.4.6), собственные функции образуют полную систему, и по ним можно провести разложение решений нестационарного уравнения. Поскольку метод разложения по собственным функциям широко извес- [c.210]

Н. Reismann [2.183] (1968) применил метод разложения по собственным функциям для решения задачи о колебаниях пластины, описываемых уравнениями, учитывающими деформацию сдвига и инерцию вращения, при произвольной поверхностной на грузке и произвольных гранич1ных и начальных условиях. В качестве примера рассмотрены колебания кольцевой пластины, защемленной по наружному и внутреннему контурам. Последний мгновенно смещается так, что возникает поперечная сдвигающая сила, изменяющаяся во времени ка функция Хевисайда. Построены поперечные перемещения и изгибающие моменты в зависимости от времени по уточненной и классической теориям. Различие в основном сводится к сдвигу (ВО времени локальных максимумов и минимумов. Для частотного спектра, как видно из фиг. 2.7, раз- [c.157]

М. Р. Mortell [3.1371 (1969) изучал реакцию сферической оболочки при симметричном относительно вертикальной оси деформировании. Рассмотрена оболочка с центральным вырезом (0 = 0о), к краю которой мгновенно прикладывается распределенный изгибающий момент Mq. Исследуется распространение волновых фронтов методом преобразования Лапласа при малых временах. В отличие от обычно применяемой процедуры искомые функции сразу представлены в виде асимптотических разложений по обратным степеням параметра преобразования р и подставлены в исходные уравнения, которые сильно упрощаются и поэтому легко решаются. Решение получено в промежутке 6o<0движения волнового фронта до 0=я и обратно. Выделены и исследованы сингулярные решения при 0 = л. Для больших времен решение выгодно строить методом разложения по собственным функциям, при этом, однако, анализ распространения волновых фронтов оказывается затруднительным. [c.226]

Метод разложения по собственным функциям в основе своей доступен п технически реализуется достаточно просто. В конце концов, с его помогцью нелинейные краевые задачи для уравнений в частных производных можно свести к нелинейной задаче на собственные знвченпя для нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая затем разрегпается численно. [c.21]

Первые требования к излучающим и принимающим звук диафрагмам в акустических устройствах-т легкость, подвижность, прочность и стабильность Сейчас созданы превосходные материалы на основ титановых сплавов ), позволяющие без труда изго тавливать исключительно тонкие плёнки, толЩино около 1/1000 мм. Поэтому современные диафрагмы- это чаще всего натянутые пленки, т. е. мембраны В данной главе изучаются колебательные характера стики пленок, круглой формы и рассматриваются трё бования, предъявляемые к материалам при. проект ровании из этих пленок акустических мембран. ДЛ5 анализа физических характеристик колебаний наибо лее пригоден метод разложения по собственный функциям. Поскольку в предыдущей главе дана обща теория этого метода безотносительно к форме мем браны, здесь не должно возникнуть затруднений пр1 рассмотрении деталей применения данного метода. [c.132]

Определение колебательных характеристик круг лой мембраны в этой главе рассматривается ка1 конкретный пример приложения развитого в предыду щей главе общего, метода разложения по собственны функциям. Но так как для получения важных с точш зрения практического проектирования численных зна чений в больщей степени пригодны прямые численны методы, они также затрагиваются в данной главд [c.132]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...