СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ Метод собственных частот

Отметим, что уравнение для собственных частот кп в методе собственных частот получается такое же, но в нем следовало бы заменить частоту к на собственную частоту кп, а е на е. Уравнение для кп сложнее, чем уравнение (9.16) для 8 , в котором правая часть есть заданное число. Это усложнение уравнения для кп по сравнению с уравнением для е связано с тем, что в волновое уравнение для вне тела собственное значение метода собственных колебаний кп входит (8.26), а собственное значение метода этого параграфа е не входит (9.16). Однако главное достоинство не в простоте уравнения, а в том, что все собственные функции удовлетворяют условию излучения и, в связи с этим, в том, что их система достаточна, чтобы представить дифрагированное поле без интегрального слагаемого. [c.97]

Метод, использующий принцип возможных перемещений. В 4.1 и 4.3 были изложены точные численные методы определения частот колебаний стержня и соответствующих им собственных функций. Изложенные методы требуют довольно большого объема вычислительных работ, так как каждая новая задача требует отдельного решения, поэтому представляют интерес приближенные методы определения частот. Одним из наиболее эффективных является метод, использующий принцип возможных перемещений. [c.107]

Большинство существующих поисковых методов отыскания оптимальных значений варьируемых параметров (например, масс и жесткостей) позволяет находить точные или приближенные значения оптимума исследуемой функции (например, собственные частоты), но непригодны для выяснения поведения этой функции при отклонении найденных значений одного или нескольких параметров от экстремальных [4]. [c.19]

Применение метода собственных частот для внешних задач непрерывный спектр. Метод собственных частот применяют и при анализе высокодобротных открытых резонаторов, связанных с внешним пространством. Однако собственные функции внешней задачи в этом методе не только не подчиняются условию излучения, но даже возрастают на бесконечности. Так, в простейшем примере дифракции на цилиндре полное поле имеет вид ряда по функциям [c.91]

Неполнота системы функций Un компенсируется тем, что к сумме в (8.9) добавляется интегральный член (интеграл по непрерывному спектру). Это слагаемое обеспечивает правильное условие на бесконечности для всего решения, т. е. интеграл тоже растет на бесконечности и компенсирует экспоненциальное увеличение слагаемых в (8.9). Внутри и вблизи резонатора интеграл невелик, и поэтому в этой области пространства сохраняются все достоинства, которые имеют решения, полученные методом собственных частот для закрытых резонаторов. [c.91]

Система функций Пп в отличие от системы, используемой в методе собственных частот, не полна, и, вообще говоря, по ней нельзя всюду разложить поле сформулированной задачи дифракции. Можно показать, что эти собственные функции описывают поля, созданные токами поляризации (которые пропорциональны —I). Эти токи расположены в и вне диэлектрика они не передают поля, падающие на диэлектрик. [c.93]

Если резонатор открытый (рис. 9.1), то и на решение и, и на собственные функции и , и на поле и надо наложить еще условие излучения. В этом методе частота в условии излучения вещественна, соответствующие функции этому условию удовлетворяют, и именно с этим, по существу, связано то обстоятельство, что к ряду (9.4) не надо — как в методе 8 — добавлять интегралы. Все эти соображения, а так- [c.95]

Перенос математического аппарата на уравнения Максвелла. Как уже упоминали в начале главы, метод разложения полного ( 8) или дифрагированного ( 9, 10) поля в ряд по собственным функциям легко переносится на уравнения Максвелла. Применение метода собственных частот к задачам о возбуждении закрытых резонаторов приводит к тройным рядам, причем коэффициенты разложения полей Е vl Н различны, хотя и содержат один и тот же резонансный множитель, и к рядам еще надо добавлять некоторые градиентные слагаемые. [c.102]

Изложение метода, основанного на разложении дифрагированного поля по дискретной системе собственных функций вспомогательных однородных задач, в которых собственным значением выбран не частота, а какой-либо другой электродинамический параметр. В дополнении, написанном Аграновичем М. С., строго доказана законность использования таких разложений. [c.269]

В теории дифракции для решения внутренних задач широко применяется метод собственных колебаний. Он состоит в том, что поле, возникающее при возбуждении замкнутого объема (т. е. решение неоднородной задачи), ищется в виде ряда по некоторым вспомогательным функциям — собственным функциям этого объема. Эти функции являются собственными функциями вспомогательной однородной задачи, соответствующими различным значениям собственной частоты. Они образуют полную и ортогональную систему. Метод особенно эффективен для резонаторов с малыми потерями и при частоте, близкой к одной из собственных частот. [c.7]

Обобщенный метод собственных колебаний, основы которого излагаются в этой книге, также состоит в представлении решения стационарной задачи дифракции в виде ряда по некоторой ортогональной системе функций. Он также эффективен в первую очередь вблизи резонанса. Он применим и для открытых резонаторов и вообще для любых задач дифракции на ограниченных телах. Его основная идея состоит в том, что в качестве собственных функций используются решения однородной задачи, в которой собственным значением является, вообще говоря, не частота (как в обычном методе), а какой-либо электродинамический параметр — например, диэлектрическая проницаемость некоторого вспомогательного тела, занимающего тот же объем, что и тело, на котором происходит дифракция. Какая именно величина принимается в качестве собственного значения однородной задачи, зависит от вида задачи дифракции в книге излагается несколько вариантов метода. Во всех изложенных вариантах собственные функции соответствуют [c.7]

Для задач, сводящихся к интегральным уравнениям, существует какой-либо вариант обобщенного метода, при котором ядро имеет особенно простой вид и собственное значение входит множителем в ядро (а не в аргументы специальных функций, как собственная частота). Если задача дифракции сводится к неоднородному интегральному уравнению, то соответствующее однородное интегральное уравнение второго рода обычно может трактоваться как уравнение для собственных функций одного из обобщенных методов. Основной результат теории в этой ситуации состоит в том, что собственные значения этих уравнений имеют простой физический смысл зная их, можно полностью исследовать окрестность резонансной частоты. [c.9]

Для внутренней задачи собственными функциями будут функции (ср. с собственными функциями (2.11) для того же объема в методе собственных частот) [c.9]

Метод собственных частот не может быть непосредственно перенесен на системы типа открытых резонаторов, т. е. на внешние задачи дифракции. Легко показать, что его собственные функции должны возрастать на бесконечности. Действительно, применим (2.5) к области, ограниченной сферой радиуса го (кго > 1) и поверхностью S, на которой, для простоты, примем условие (2.2а) или (2.26). На сфере поле ы и его нормаль- [c.21]

Собственные функции задач (3,4) и (3.5) различны, так как в (3.56) в отличие ог (3.46) входит собственное значение кп, а не истинная частота к. Иными словами, в -методе вспомогательное поле не только внутри тела, но и вне его удовлетворяет уравнению, отличному от уравнения для и — 0° (точнее—имеющему другие коэффициенты). Именно это обстоятельство не позво- [c.26]

В ЭТОЙ главе обобщенный метод собственных колебаний применен к задачам о дифракции на диэлектрических телах, в том числе — на телах с диэлектрической проницаемостью, зависящей от координат. Схема построения решения во всех случаях примерно одинакова. Сначала вводятся уравнения для собственных функций и устанавливаются условия ортогональности этих функций. Для тел с постоянной диэлектрической проницаемостью 8 собственным значением является проницаемость е тел той же формы (тел сравнения), в которых возможны незатухающие колебания на заданной частоте источников. Для тел с переменным е(г) тела сравнения тоже имеют переменные 8 (г). Вид этих функций находится из требования, чтобы для амплитуд в разложении дифрагированного поля по собственным функциям получалось явное выражение. Затем приводятся несколько различных видов формул для этих амплитуд, в частности, формула, содержащая не падающее поле, а возбуждающие токи. Для точек внутри тела даны формулы для разложения полного поля по собственным функциям. Аппарат применен также к квантовомеханическим задачам рассеяния. [c.84]

Общим во всех вариантах обобщенного метода, излагаемых в этой главе, является введение собственных значений в граничные условия однородных задач, а не в уравнения (как это имело место в й- и е-методах). Для этого на поверхности вспомогательного тела, имеющего ту же форму, что и в исходной задаче, вместо истинных граничных условий задачи дифракции ставятся какие-либо вспомогательные условия, содержащие параметр, играющий роль собственного значения. Например, в ш-методе ( 9) на границе тела ставится условие импедансного типа, и собственными значениями соответствующей однородной задачи являются те значения импеданса вспомогательного тела, при которых существуют нетривиальные решения на заданной частоте. Во всех методах этой главы каждая собственная функция обязана удовлетворять тому же уравнению, что и дифрагированное поле (т. е. однородному уравнению с истинной частотой), и тем же условиям на бесконечности (кроме варианта, изложенного в 13). Поэтому представление искомого поля в виде разложения (5.5) удовлетворяет почленно уравнению задачи дифракции и условиям излучения (если таковые накладываются) при любых коэффициентах Л . Эти коэффициенты определяются нз оставшегося условия, состоящего в том, чтобы искомое поле удовлетворяло истинным граничным условиям. При этом используются имеющие здесь место соотношения ортогональности. [c.85]

Функционал (17.5) обладает теми л е свойствами, что и аналогичные функционалы в предыдущих параграфах. Легко убедиться простой подстановкой, что в каждой своей стационарной точке, т. е. на каждой собственной функции, этот функционал обращается в нуль. Для построения функционала в виде отношения квадратичных функционалов (уже для конкретного параметра как собственного значения) нужно, как это мы делали ранее, приравнять Ь и) нулю, разрешить полученное равенство относительно интересующего нас параметра и считать это выражение функционалом. Такая процедура, как и прежде, оправдана, поскольку, применяя к полученному функционалу метод множителей Лагранжа, мы приходим опять к (17.5). Таким способом можно поступать с любым из входящих в задачу параметров, так как ни один из них не ограничивает класс допустимых функций. Исключение составляет лишь частота к во внешних задачах — она содержится в накладываемом на допустимые функции условии излучения, которое не является естественным. Как отмечено в п. 1, в этом случае однородная задача на собственные значения к не ставится. [c.181]

Вообще говоря, собственные колебания, получающиеся из квазиоптического подхода, и поля, описываемые собственными функциями р-метода, различны. Однако если добротность достаточно высока, то при решении задачи возбуждения на резонансной частоте в обоих методах будет доминирующий член. Если при некоторых значениях параметров оба метода правильно описывают физику процесса, то соответствующие собственные функции обоих методов должны быть близки. Мы здесь будем сравнивать не сами функции, а лишь значения резонансных частот и ширину резонансных всплесков. [c.236]

Метод собственных частот для закрытых резонаторов изложен во многих учебниках (см., например, [4]). Примером применения его к открытым системам, в которых собственные функции (соответствующие полюсам матрицы рассеяния) растут на бесконечности, и разложение поля содержит также интеграл по непрерывному спектру, является обычная квантовомеханическая теория рассеяния [8], [1], В [2] метод собственных частот применен к открытым электродинамическим системам. Трудности, возникающие в стационарных задачах дифракции из-за возрастания собственных функций, обсуждаются, например, в [1]. [c.280]

Если частоты и формы нормальных колебаний системы с распределенной массой определены, то расчет вынужденных колебаний может быть произведен по методу, изложенному в 5 предыдущей главы. Полученное таким образом решение представляет собой разложение вынужденного движения по собственным функциям системы и, вообще говоря, выражается бесконечным рядом. [c.323]

Единственным исключением является случай, когда коэффициент С1 в разложении (29) исходной функции равен нулю, т. е. когда эта функция ортогональна к функции Оь Легко видеть, что в этом случае метод будет сходиться ко второй частоте собственных колебаний p2. Ua этом основано определение второй частоты собственных колебаний, которое проводится после того, как первая частота и соответствующая собственная функция найдены. [c.355]

Принципиально метод последовательных приближений пригоден и для отыскания третьей и высших частот собственных колебаний. Нужно лишь каждый раз задаваться функцией смещений, ортогональной ко всем предыдущим собственным функциям. Практически, однако, для частот выше второй этот метод не применяется вследствие сложности выкладок и медленной сходимости. [c.355]

Так как невозможно найти в замкнутой форме собственные значения и собственные функции оператора (2.2), то приходится применять приближенные методы. Первым шагом в этом направлении является выделение из Н некоторого разумного нулевого приближения оператора возмущения. Ввиду особенностей операторов и и 1ар оператор возмущения оказывается неоднородным и его можно представить в виде разложения по малому параметру Борна—Оппенгеймера л= (т/Л1) /4 = (В/(о ) /2, где В — средняя вращательная постоянная, со — средняя основная частота, т — масса электрона, М — средняя масса ядер в молекуле. Разложение оператора Н достигается разложением операторов Ха и И [c.29]

Как уже говорилось в предыдущем параграфе, демпфирование становится исключительно важным в том случае, когда периодические возмущения имеют частоту, близкую к одной из частот собственных колебаний системы со многими степенями свободы. Вопрос об установившихся вынужденных колебаниях систем с двумя степенями свободы исследовался в п. 3.8 с помощью метода передаточных функций. Этот подход может быть легко распространен на системы с п степенями свободы, при этом основные соотношения [см. выражения (3.51) и (3.52) J сохраняют свою форму неизменной. Однако решение в рамках указанного подхода требует обращения матрицы порядка п X п, содержащей комплексные числа. Если собственные значения и собственные векторы системы предварительно были определены тем или иным способом, подходу с использованием передаточных функций лучше предпочесть метод нормальных форм колебаний. Зная частоту изменения возмущений и собственную частоту колебаний системы, можно непосредственным путем определить динамические перемещения по формам колебаний, чьи частоты близки к частоте возмущения. Ниже, будут рассмотрены возмущения, имеющие вид либо одной гармонической функции, либо произвольного вида периодических функций, при этом будет предполагаться, что система имеет либо пропорциональное демпфирование, либо демпфирование по формам колебаний, аналогичное тому, о котором говорилось в предыдущем параграфе. [c.306]

Подставив ряды (6.156) в уравнения (6.153) и сократив тригонометрические функции, приведем задачу к трем однородным алгебраическим уравнениям с тремя неизвестными для каждого члена разложения. Приравняв нулю детерминант этой системы, найдем определяющее уравнение для частоты собственных колебаний Для более сложных случаев краевых условий возможны решения путем разложения в ряды по степеням малого параметра [74] и разложения по фундаментальным балочным функциям с применением вариационных методов [14]. [c.189]

Минимизация функционала осуществляется прямым методом — функция, от которой зависит функционал, представляется в виде конечной линейной комбинации координатных функций, удовлетворяющих граничным условиям и принадлежащих полной системе. В указанной линейной комбинации коэффициенты неизвестны. После подстановки этой линейной комбинации в функционал он превращается в функцию коэффициентов. Далее ищется минимум этой функции обычным путем, т. е. приравниваются нулю производные по коэффициентам. Получающиеся при этом уравнения, поскольку функционал является квадратичным, оказываются линейными алгебраическими и в случае свободных колебаний однородными. Условие ненулевого решения отмеченной системы уравнений — равенство нулю ее определителя и представляет собой уравнение частот корнями его являются собственные частоты системы. После отыскания частот обычным путем находятся собственные векторы матрицы системы уравнений. Эти векторы изображают собой формы свободных колебаний. [c.246]

В этом случае для построения решений необходимо определять частоты собственных колебаний системы и постоянные интегрирования, удовлетворяя условиям неразрывности как самих функций, так и их производных на границах зон деформации. Поскольку такие вычисления делаются всякий раз, когда деформация хотя бы одного из звеньев переходит в другую зону, то это существенно усложняет решение задачи. Далее предлагаются два метода решения, устраняющие некоторые трудности. [c.60]

Далее на конкретном примере будет показано, что изложенный метод при наличии таблиц специальных функций не требует определения частот собственных колебаний и постоянных интегрирования. Однако результаты, полученные в виде формул (40) и (41), позволяют исключить операцию определения произвольных постоянных интегрирования и для принятых методов решения таких задач методом дифференциальных уравнений. [c.63]

Вибрационные напряжения деталей, особенно в области средних и высоких частот, как правило, не превышают 20 кгс/см. При таких напряжениях машиностроительную конструкцию можно рассматривать как линеаризированную упруговязкую систему, расчетные коэффициенты поглощения материала которой учитывают потери в материале и соединениях деталей. Как было показано в главе 1, расчет колебаний демпфированных конструкций может производиться разложением амплитудной функции в ряд по собственным формам недемпфированной системы или методом динамических податливостей и жесткостей с комплексными модулями упругости. Последние методы особенно предпочтительны для неоднородных систем, с различными коэффициентами поглощения в подсистемах (например, амортизированные балочные конструкции). [c.101]

Форма функции энергии и идея получения диференциальных уравнений путем ее варьиртвания принадлежат Даниилу Бернулли. Этот нывод, а также метод нахождении собственных функций и уравнения частот даны Эйлером. [c.18]

Этот способ использован Релеем ) при приближенном определении самой низкой частоты поперечных колебаний стержня. Он исходил при этом из общей теоремы о том, 410 частота колебания динамической системы при смещениях частного вида пе может быть меньше, чем наиболее низкая частота нормальных колебаний системы. Он показал, что для стержня, закрепленного на одном конце и свободного на другом, пол/чается хорошее приближенное значение частоты прн следующем допущении при колебании смещение стержня будет таким же, как при статическом прогибе под действием поперечной силы, приложенной со стороны свободного конца на расстоянии, равном 1/4 длины стержня. Этот метод недавно был предметом некоторой дискуссии ). Была показана его применимость к определению низшей частоты поперечных колебаний стержня неодинакового сечения ). Далее, было показано, что при применении метода последовательных приближений для определения собственных функций и соответствующих частот в задачах о стержнях переменного сечения можно пользоваться решением Релея, как первым приближением ). [c.461]

В первой главе рассматриваются общие закономерности колебания упруговязких систем. Выводятся условия, при которых решение может быть разложено в ряды по собственным функциям недемпфированной системы. С помощью методов возмущений анализируется влияние ошибок исходных параметров на точность вычисления собственных частот и векторов. Введение комплексных модулей упругости позволило использовать единую методологию при рассмотрении собственных и вынужденных колебаний, а также систем с сосредоточенными и распределенными параметрами. На конкретных примерах показывается, что эквивалентная масса, которую Е. Скучик полагал постоянной, оказывается зависящей от вида формы колебаний и для каждого из них сохраняет стабильные значения в широком диапазоне частот. Наиболее полными характеристиками виброизолирующих свойств механических структур являются комплексные переходные податливости. Рассмотрена эффективность виброизоляции конкретных конструкций. Приводится решение задачи о распространении продольных колебаний по стержню при наличии сухого трения и даются конкретные примеры приложения этой задачи. [c.5]

Начнем с известного из курсов высокочастогнои и . идн-намики метода собственттых частот собственные функции в нем являются решениями однородных задач, в которых роль собственного значения играет частота, точнее квадрат волнового числа к. [c.84]

Изложены методы построения высокочастотной асимптотики решений задач дифракции. Исследованы собственные функции различных типов, соответствующие высоким собственным частотам, и структура решения при возбуждении точечным источником, расположенным вблизи гладкой поверхности. [c.269]

Книга содержит изложение нового метода решения широкого класса задач дифракции и рассеяния (акустика, электродинамика, уравнение Шредингера). Изложен формальный аппарат различных вариантов метода, основанного на разложении дифрагированного поля в ряд по собственным функциям однородных задач, в которых собственным значением выбирается не частота. Строгой математической трактовке этого подхода посвящено дополнение, где средствами функционального анализа исследованы свойства важнейших из рассмотренных в книге спектральных задач. Метод особенно эффективен для аналнза резонансных систем, в частности — открытых резонаторов и волноводов. Он позволяет представить решение в бесконечной области в виде ряда (спектр дискретен), частично суммировать нерезонансный фон, широко применять вариационный аппарат и т. д. Решен ряд новых задач. [c.2]

Пусть теперь дифракция происходит па диэлектрическом теле, расположенном в пустоте или в открытом резонаторе. Рассеянное поле 11—11° должно при этом удовлетворять условию излучения. Применение для рещения этой задачи метода собственных частот, как мы уже упоминали в 2, приводит к осложнениям, вызванным тем, что рассеянное ноле удовлетворяет уравнению с вещественной частсгой к, а собственные функции й-ме- [c.35]

Такое же точно уравнение мы получили бы и в e-методе, ио в нем неизвестной величиной (собственной частотой) была бы величина k, а вместо е стояло бы е. Из уравнения (4.14) легче находить е , так как при этом правая часть (4.14) есть постоянное число. Мы будем рассматривать собственные функции, соответствующие невысокому азимутальномч номеру т, т. е. колебаний, при которых стоячая волнп состоит из двух волн почти строго радиального направления. [c.39]

В. Dawson [1.146] (1968) определял собственные частоты консольной балки Тимошенко методом Ритца. Точность метода, как известно, существенно зависит от вида аппроксимирующих функций и их числа. В качестве аппроксимирующих приняты собственные функции уравнений классической теории, которые образуют систему ортогональных функций. Численно исследуется влияние числа удерживаемых членов в рядах. Показано, что девять членов ряда дают хорошие результаты для пяти первых частот. Полученные численные результаты сравниваются с результатами Т. С. Huang a [1.198] и приведены на фиг. 1.19 и 1.20, из которых видно влияние деформации сдвига и инерции вращения, здесь Г/ — радиус инерции, / — длина балки. Штрих-пунктирная линия на фиг. 1.20 соответствует учету только инерции вращения. [c.86]

Метод собственных колебаний основан на выведении среды упругого равновесия с помощью кратковременного импульса и пО следующей регистрации возникающих колебаний. На практике суТ метода заключается в возбуждении колебаний сопряженной систем плита-грунт с помощью ударов в бетонный блок или стальную плитУ Зарегистрированный сигнал (колебания в функции времени) подверг ется спектральному анализу с целью определения частотной характ ристики, а затем частоты, при которой характеристика достигает своеГ [c.134]

Метод В КБ (Венцеля, Крамерса, Бриллюэна). При исследовании периодических движений в механизмах могут быть слу чаи, когда в уравнении движения типа (9.51) функции p t) и f t) медленно изменяются по времени. Тогда функцию p t) по аналогии с уравнением консервативного типа (9.8) можно рас сматривать как медленно изменяющуюся собственную частоту. [c.175]

Основная идея приближенных методов расчета, основанных на формуле (11.71), заключается в том, что входящей в эту формулу функцией У (л ) задаются исходя из тех или иных качественных соображений этим путем нетрудно получить хорошее приближение, особейно для 1-й собственной частоты, поскольку структура формулы (11.71) такова, что результат вычислений по ней слабо зависит от конкретного вида задаваемой функции, лишь бы она была похожа качественно на истинную форму прогиба при колебаниях и, в частности, удовлетворяла всем геометрическим граничным условиям задачи. При этом имеет место следующая теорема Рэлея [c.79]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...