Неоднородные решения

Такой же критерий (соотношение между размером неоднородностей и длиной волны) определяет роль макроскопических неоднородностей. Если сплошное тело (помимо неоднородностей, обусловленных атомной структурой, которые можно не учитывать) макроскопически неоднородно, например, упругий стержень составлен из сильно прижатых друг к другу чередующихся одинаковых латунных и алюминиевых цилиндров ), то для нормальных колебаний, соответствующих волнам, длина которых значительно превышает высоту одного цилиндра, стержень можно рассматривать как однородный, обладающий средней плотностью и средней упругостью. При расчете же нормальных колебаний, длина волны которых сравнима с высотой цилиндра, необходимо учитывать неоднородность стержня. При наличии неоднородностей решение задачи о колебаниях сплошных систем настолько усложняется, что удается рассмотреть только самые простые случаи, например системы с малой неоднородностью или очень плавно меняющимися вдоль длины системы свойствами. [c.697]

Из-за большой пространственно-временной неоднородности решения введем следующее преобразование зависимых переменных = 1пр, т] = 1пр. Дифференциальные уравнения в новых переменных имеют следующий вид [c.106]

В силу большой пространственно-временной неоднородности решения расчетная сетка в процессе расчета перестраивается. Временной шаг выбирается из условия устойчивости при числе Куранта, равном 0,8. При расчете ранней стадии взрыва используется 20 пространственных узлов. При переходе к поздней стадии число узлов увеличивается до 40, а при больших временах — до 60. Кроме того, на ранней и промежуточных стадиях применяется неравномерная по радиальной переменной г сетка. Это достигалось выбором значения параметра Ь в формуле преобразования координат. [c.111]

В 5.3 рассматривается плоская контактная задача Щ для криволинейной трапеции, в верхнее основание которой вдавливается плоский штамп, нижнее лежит без трения на гладкой плоской поверхности. Криволинейная часть границы свободна от напряжений. Обсуждаются вычислительные аспекты получения неоднородного решения, для которого получены выражения, эффективные во всей области, занимаемой телом. Следы вертикальных смещений однородных решений под штампом имеют осцилляции, количество которых растет с увеличением номера однородных решений. Поэтому существующие методы решения интегрального уравнения недостаточно эффективны. Предлагается эффективная численная схема решения интегрального уравнения контактной задачи с осциллирующей правой частью, основанная на известных спектральных соотношениях для многочленов Чебышева и алгоритме Ремеза. Обсуждаются численные результаты, показывается эффективность предложенного метода. Прослеживаются переходы полученного решения к вырожденному, соответствующему однородной деформации прямоугольника, и к решению для слоя. [c.19]

В 5.4 рассматривается осесимметричная контактная задача Л/4 для тела вращения с плоскими основаниями, в одно из которых вдавливается плоский штамп, а другое без трения лежит на гладкой плоскости. На боковой поверхности, задаваемой достаточно произвольной образующей, отсутствуют напряжения. Обсуждаются вопросы эффективной численной реализации всей схемы в целом. Приводятся выражения для неоднородного решения эффективные во всей области, занимаемой телом. Для решения ИУ используется схема, предложенная в 5.3. Дается анализ полученных численных результатов. [c.19]

Из (1.80) следует, что Wkn — О при любых граничных условиях (1.75), если а. Вывод формул (1.80) не связан с видом граничных условий для уравнений Ламе, следовательно, они будут справедливы для любых неоднородных граничных условий. В этом случае в частных неоднородных решениях вида (1.72) и формулах (1.80) следует считать ak = к. Случай, когда одно из решений в (1.80) неоднородное, а другое однородное, понадобится для вычисления интеграла (3.105). [c.49]

Решение поставленной задачи строим в виде суперпозиции однородных решений для полубесконечной области, ограниченной кривыми 1/1, 1/2, и некоторого неоднородного решения для этой области. Неоднородное решение выбирается так, чтобы выполнялись смешанные граничные условия на L, 1/2- Используя произвол в выборе коэффициентов линейной комбинации однородных решений, удовлетворим краевым условиям на боковой поверхности. [c.184]

Аппроксимационные свойства следов однородных решений на кривых, отличных от координатных, ухудшаются с ростом N, кроме того растут издержки на вычисление неоднородного решения. Известно также [49], что скорость сходимости наилучших приближений существенно выше скорости сходимости частных сумм рядов, поэтому целесообразно свести задачу удовлетворения условиям на боковой поверхности к задаче Чебышева о наилучшем приближении краевых условий линейной комбинацией однородных решений. Для численного [c.184]

Vo x,y) будем далее называть неоднородным решением, а Vn x,y) — кусочно-однородными решениями (им соответствуют нулевые смещения под штампом и нулевые напряжения вне его). [c.186]

Предположим, что контактные напряжения q x) известны, тогда, следуя изложенной выше схеме, решение такой несмешанной задачи будем искать в виде суперпозиции однородных решений для слоя и некоторого неоднородного решения [c.192]

В качестве неоднородного решения возьмем решение несмешанной задачи для слоя с граничными условиями [c.192]

При помоши преобразования Фурье неоднородное решение получаем в виде [c.193]

В случае антиплоской задачи вычисление неоднородных решений не представляет трудностей, поэтому остановимся на решении интегрального уравнения. Интегральное уравнение (5.34) допускает точное решение, но в целях эффективной численной реализации всей схемы решения в целом воспользуемся асимптотическим методом больших Л, изложенном в 1.3. Выбор этого метода связан также с тем, что практический интерес представляет область значений параметров задачи, [c.193]

Однородные и неоднородные решения для полосы. Будем искать решение однородной задачи. [c.201]

Неоднородные решения, т. е. решения задачи (5.39) при q x) = = Qk x), ищем в виде следующего интеграла Фурье [c.202]

Дополнительно вычислим вертикальные смещения под штампом для неоднородного решения задачи (5.39), когда [c.204]

Заметим, что, взяв N однородных решений (5.49)-(5.53) и М неоднородных решений задачи (5.39), когда q x) = Т2 (ж)/у 1 — (п = = 1,...,М) (см. (5.76)-(5.78) и (5.81), (5.82)) и использовав метод Галеркина или вариационные принципы, получим простую и достаточно эффективную численную схему решения поставленной задачи. С другой стороны, решая интегральное уравнение (5.40), а затем выполняя условия (5.46) на боковой поверхности, можно без больших дополнительных затрат решать несколько задач для разных форм боковой поверхности при заданной постоянной Л одновременно. В данной работе нас в большей степени будет интересовать задача удовлетворения краевых условий на боковой поверхности Г, а последний подход позволяет применять численные методы нахождения наилучшего приближения, эффективность применения которых, в такого рода задачах, будет далее показана. [c.205]

Однородные и неоднородные решения для слоя. Решение поставленной краевой задачи для уравнений Ламе будем разыскивать в виде [c.214]

Получим следующие удобные для вычислений соотношения для неоднородных решений [c.219]

ПОДОШВОЙ внедряется симметрично относительно оси ж = О в грань у = к на величину Как и в задаче 3 (см. п. 1.4) решение разыскивается [52] в виде суперпозиции соответствуюш,их однородных решений для слоя и неоднородного решения для слоя, когда при у = кв области ж а заданы напряжения, подлежащие определению из интегрального уравнения с известными свойствами. Основная проблема здесь возникает при удовлетворении граничным условиям на боковой поверхности х = Лу), О у к. Здесь предлагается вариант удовлетворения граничным условиям на боковой поверхности из условия наилучшего приближения в смысле Чебышева, используя несколько модифицированные методы Ремеза [42]. В результате получена нелинейная задача о наилучшем приближении. При этом существенно то, что достигается равномерная погрешность по всей боковой границе и требуется привлечение значительно меньшего числа однородных решений для получения результата той же точности, что и при использовании метода коллокаций или метода наименьших квадратов. Кроме того, предложенный алгоритм позволяет ввести эффективный контроль точности результатов в процессе счета и не требует вычисления сложных контурных интегралов, что дает значительную экономию машинного времени. [c.172]

В задаче о равновесии плиты требуется удовлетворить не только краевым условиям на торцах, но и условиям на поверхности С. Поэтому, кроме решений, удовлетворяющих краевым условиям на торцах, необходимо располагать классом решений уравнений теории упругости, оставляющих торцы свободными от напряжений эти решения будем называть однородными, а решения, удовлетворяющие условиям загружения торцов,—неоднородными. Очевидно, что последними могут служить решения задачи о равновесии слоя, представленные выше в форме определённых интегралов. Но это не обязательно, так как во многих случаях неоднородные решения можно получить в более простой форме — рядов или же для некоторых классов нагрузок (полигармонических нагрузок, см. 4 главы 3) в замкнутой форме. Однородные решения определяют напряжённое состояние плиты, создаваемое нагрузками, распределёнными по её боковой поверхности. [c.200]

Сумма однородного и неоднородного решения, очевидно, удовлетворяет условиям нагружения торцов плиты, а произволом выбора однородных решений следует воспользоваться, чтобы удовлетворить краевым условиям на поверхности С. Эта задача очень сложна поэтому приходится ограничиться выполнением смягчённых краевых условий. Мы требуем выполнения этих условий не в каждой точке поверхности С, а только на кривой С для средних по толщине плиты значений тех или иных величин. [c.200]

Напомним ещё, что напряжения на площадках, перпендикулярных к оси Z, в однородной задаче строго (а не в среднем) обращаются в нуль. Поэтому эти напряжения совершенно независимо от решения краевой задачи находятся с помощью функций напряжений неоднородного решения у по формулам (3.15) — (3.16) главы 3. В частности, [c.215]

Эти величины соответствуют неоднородному решению для однородного решения, определяемого функцией Ф по (1.12), [c.217]

Более длинными, хотя также вполне элементарными в данном примере, являются вычисления, связанные с задачей изгиба. Функция напряжений неоднородного решения была определена выше, в примере 2° 2. Следует лишь заменить в (2.8) букву р на [c.220]

Теории толстых плит посвящены 299—312 курса Лява рассмотрены приёмы разыскания неоднородных решений при наиболее простых законах нагружения торцов плиты в качестве однородного решения использовано бигармоническое решение. В книге С. П. Тимошенко Пластинки и оболочки (Гостехиздат, 1948) теория толстой плиты рассмотрена вкратце в 25. [c.248]

Начальное значение вектора неоднородного решения г/о следует выбрать так, чтобы оно удовлетворяло неоднородным гра- [c.17]

Соотношение (7.6а) дает граничные условия для нелинейной среды. Амплитуда вектора однозначно определяется величинами 0 , Р и О. Таким образом, устанавливается соответствие между интегральными и дифференциальными уравнениями. Здесь также имеются однородные и неоднородные решения амплитуда последних определяется граничными условиями. [c.376]

ПОЛЮ в среде без неоднородностей, и есть искомая рассеянная волна. Найти эту волну удается в том случае, когда свойства среды мало отклоняются от своих средних по пространству значений, а статистические характеристики отклонений остаются одинаковыми во всей рассеивающей области. В этом случае рассеяние можно найти (приближенно), не налагая никаких ограничений на характерные пространственные размеры неоднородностей. Решение этой задачи дополняет в известном смысле решение задачи о рассеянии на малых включениях, в которой не было поставлено никаких ограничений для характеристик неоднородностей, но требовалась малость размеров препятствия по сравнению с длиной волны. [c.375]

Останов.имся на определении начальных значений векторов однородных и неоднородного решений для пластины, не имеющей центрального отверстия, или жесткого центра. [c.48]

Другая трудность, возникающая при решении контактных задач методом однородных решений, — получение эффективных выражений для неоднородных решений, используемых при удовлетворении смешанным краевым условиям. Для этой цели использована хорошо разработанная теория для полубесконечных тел. В отличии от классического случая, получаемые интегральные уравнения в правой части содержат осцил-лируюш,ие функции. Для их решения предложен эффективный метод, основанный на известных спектральных соотношениях и методе Ремеза. Основываясь на специальном представлении решения интегрального уравнения, в соотношениях для неоднородного решения плохо сходящаяся часть интегрируется, что позволяет получить соотношения удобные для численной реализации. Результаты исследований, приведенные в этой главе, показали, что метод однородных решений является удобным и эффективным средством решения контактных задач для тел, достаточно сильно отличающихся от канонических. [c.222]

Б. Пространственно-неоднородные решения. Если в уравнении (54.15) фиксировать вещественное значение частоты, то получим комплексные значения волнового вект ора [c.453]

Такая точка зрения может быть подкреплена другим примером. Мы действительно ожидаем единственности в одном случае, а именно при однородном растяжении или сжатии стержня, подвергнутого одноосному нагружению растягивающими напряжениями t или давлением —1. Однако, согласно (VII. 2-16), в граничной задаче с заданными усилиями задаются не эти усилия а усилия tx на единицу площади в отсчетной конфигурации х. Пусть растягивающие усилия tx действуют наружу по плоским торцам стержня в конфигурации х. Существуют две различные деформированные конфигурации х. соответствующие поставленному условию. В одной из них усилия по-прежнему действуют во внешние стороны, как растягивающие, на деформированные торцы в другой —торцы поменялись местами после поворота стержня на угол 180°, и. Поскольку направления усилий фиксированы, усилия стали сжимающими. Актуальные усилия t различны в этих двух случаях, поскольку в одном случае площадь торцов будет уменьшаться, а в другом — увеличиваться. Мы ожйдаем, что каждая из этих задач должна иметь в точности одно однородное ) решение. Кроме того, классическая теория продольного изгиба стержней заставляет нас ожидать, что если и достаточно велико, то наша задача должна иметь еще и неоднородные решения, соответствующие сжатию. Наконец, явление образования шейки наводит на мысль, что могут быть также неоднородные решения, соответствующие достаточно большим растягивающим усилиям. [c.268]

Подобным же выражением описывается волна с параллельной поляризацией. Здесь не существует согласования фазовых скоростей, поскольку при sin 0s < 1 и sinGr > 1 должно выполняться условие es — ег > 0. Мы не получим особой выгоды в том случае, когда es ег, поскольку при этом неоднородное решение (5.4) затухает все медленнее и медленнее, если sin 0s < 1. [c.362]

Если коэффициент отражения для основных волн велик, как, например, в итерферометре Фабри—Перо, то следует учесть и другое неоднородное решение в (6.1). Алгебраически это сводится к суммированию по индексу S в (6.7), (6.8) и в выражениях, описывающих предельные случаи. [c.369]

Как указывалось в настоящей главы, решение задач дафрак-ции стационарных утфугих волн на неоднородности состоит в нахождении удовлетворяющего условиям излучения Зоммерфельда и некоторым храничным условиям на поверхности неоднородности решения однородного уравнения движения уцруг< среды (4.3). Постановка конкретных задач и применяемый нами метод их решения весьма схожи с теми, котор е рассмотрены в гл. . [c.69]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...