Решение волновое для систем линейных

Удовлетворение системы (9.2) является необходимым и достаточным условием того, чтобы и = / (О) было решением волнового уравнения. Непосредственная проверка доказывает справедливость следующего утверждения общий интеграл системы (9.2) представляет собой выражение, линейное относительно X, у и 1 [c.431]

При решении задач для многосвязных областей связываем с каждой граничной поверхностью местную систему координат так, чтобы граничная поверхность совпадала с одной из координатных поверхностей. В каждой из этих координатных систем представляем решение исходных уравнений в виде ряда с разделенными переменными, в который входят неизвестные постоянные, и решение для всей области, занимаемой телом, получается как сумма решений для отдельных односвязных областей. Применяя теоремы сложения специальных функций, входящих в решения, решения для всего тела записываем в каждой из систем координат в виде ряда с разделенными переменными этой же системы координат и удовлетворяем условиям на граничных поверхностях. В итоге получаем бесконечные системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных постоянных, входящих в решения уравнений в виде ряда с разделенными переменными [44]. Этим методом в работе [50] решаются задачи дифракции электромагнитных волн на нескольких телах для одного волнового уравнения. [c.52]

Продолжая этот процесс, можно последовательно выделять уравнения все более и более высокого порядка. Как видно из выписанных уравнений, уравнения п-го приближения линейны относительно и р("> и содержат в правой части только величины меньшего порядка малости, определяемые из уравнений предыдущих приближений. Таким образом, метод малого параметра позволяет свести решения нелинейных уравнений, вообгце говоря, к бесконечной системе линейных уравнений. Отметим, что все эти уравнения — волновые уравнения с правой частью. Например, (2.14) после преобразования можно представить в виде [c.59]

Итак, задаваясь произвольным k, вычислим по формуле (5.7) о тогда формула (5.6), где С есть произвольная постоянная, определяет потенциал скорости некоторого плоского волнового движения безграничной жидкости. Отметим сейчас же, что вследствие линейности системы основных уравнений (4.2), (4.3) и (4.4) сумма любого числа решений этой системы также будет решением системы. Мы многократно используем это замечание в дальнейшем. А именно, мы исследуем сначала движение, определяемое формулой (5.6), а после этого будем изучать движения, определяемые потенциалом скорости ср, являющимся суммой двух или большего числа выражений вида (5.6). [c.410]

Важно, что произвольные постоянные, содержащиеся в выражениях для Oi и Фц, определяются по граничным )/словиям независимо. При этом использование ортогональности соответствующих функций сводит этот процесс к решению конечных систем линейных алгебраических уравнений. Ортогональность системы функций Q, (а,г) на интервале г г , может быть показана непосредственно с использованием уравнения для функций Бесселя и соответствующих граничных условий. Это обстоятельство интересно также с физической точки зрения. Сама возможность такого раздельного определения произвола указывает на то, что собственные формы колебаний в выделенном объеме формируются без взаимодействия радиальных и окружных волновых движений. [c.18]

Пусть теперь энергия электрона соответствует одной из запрещенных зон неограниченного кристалла, т. е. k E) является комплексной величиной. Условие конечности волновой функции (7.115) в этом случае будет выполнено, если один нз коэффициентов А или Лг (в зависимости от знака мнимой части k) положить равным нулю. Тогда (7.117) и (7.118) превращаются в два линейных однородных уравнения с двумя неизвестными. Они имеют решение только при таком значении энергии, при котором определитель системы равен нулю. Все остальные значения Е запрещены. Таким образом, ограничение кристалла поверхностью приводит к тому, что в области энергии, соответствующей запрещенной зоне неограниченного кристалла, появляются разрешенные энергетические уровни. Эти состояния, локализованные вблизи поверхности, и получили название поверхностных уровней (состояний). Волновые функции, соответствующие поверхностным состояниям, экспоненциально затухают по мере удаления от поверхности. В области вакуума -ф-функция затухает монотонно, а в об-1G-221 24 f [c.241]

Решение линейной задачи отсутствует, когда скорость газа за ударной волной в системе координат, связанной с точкой пересечения волновых фронтов, меньше скорости звука [13]. [c.55]

При и = О система ур-вий (7) переходит в линейное волновое ур-ние для ионно-звуковых волн. Эта система. Имеет точное устойчивое решение, соответствующее ленгмюровскому С., в одномерном случае и неустойчивое — для двух- и трёхмерных обобщений [2]. [c.575]

Уравнение (4.2.10) называется уравнением волновых нормалей Френеля. Его решения дают главные значения показателей преломления, а выражение (4.2.11) определяет направления поляризации независимых волн, которые могут распространяться в кристалле. Уравнение (4.2.10) является квадратичным относительное . Поэтому каждому направлению распространения (из набора s , s , s ) соответствуют два решения для (задача 4.2). Для полного решения задачи мы должны подставить каждое из значений в выражение (4.2.11), что позволяет определить поляризации соответствующих независимых волн. Можно показать, что для непоглощающей среды эти независимые волны линейно поляризованы, поскольку в (4.2.11) все величины являются вещественными. Пусть Е, и Ej — векторы электрического поля, а D, и Dj — векторы электрического смещения линейно поляризованных независимых волн, соответствующих n и Из уравнения Максвелла V D = О следует, что D, и Dj ортогональны s. Поскольку Dj-Dj = О, три вектора D,, и s образуют взаимно ортогональную тройку векторов и могут быть выбраны в качестве системы координат при описании многих физических явлений, в том числе и оптической активности. Согласно уравнениям Максвелла, векторы D, Е и Н связаны между собой соотношениями [c.84]

В настоящей главе приведены линейные и линеаризованные уравнения движения, а также законы деформирования некоторых наиболее часто применяемых моделей изотропного твердого деформируемого тела. В классической и уточненной постановках изложены основные уравнения изгиба пластин. Путем введения потенциальной функции уравнения движения преобразованы к системе волновых уравнений. Для установившегося движения уравнения сведены к векторным и скалярным волновым уравнениям, что позволяет с единой точки зрения подойти к решению задач для всех линейных моделей изотропного Деформируемого тела. [c.9]

Численное решение для произвольных к. Для получения спектра. неустойчивости при конечных значениях волнового числа к следует обратиться к полной системе (16.1). Можно написать общее решение этой линейной системы с постоянными коэффициентами. Однако получающееся характеристическое соотношение, из которого следует находить критические числа Рэлея, оказывается очень сложным. Поэтому целесообразно воспользоваться методом Галеркина. [c.105]

Этот потенциал определяет некоторое безвихревое волновое движение, ибо сумма двух решений системы (2.6), (2.11) и (2.19) вследствие линейности этих уравнений также будет решением системы. [c.414]

Аналогичным образом были исследованы задачи об успокоении колебаний для линейных управляемых систем, описываемых волновым уравнением. Однако и этот путь связан с преодолением серьезных трудностей, поскольку в рассматриваемых случаях получается бесконечномерная проблема моментов и представляющий здесь основной интерес вопрос о возможности эффективной аппроксимации ее подходящей конечномерной проблемой пока еще далек от полного решения, а на общие вопросы об управляемости бесконечномерных систем скорее всего получаются отрицательные ответы. Упомянутый основной вопрос был исследован лишь в отдельных частных случаях, когда таким путем были получены значения оптимальных управляюш их воздействий как для задач программного управления, так и для отдельных проблем синтеза систем с обратной связью. Вообще задача об аппроксимации управляемых систем с распределенными параметрами подходящими конечномерными системами представляется весьма важной проблемой, разрешение которой открыло бы новые эффективные пути и для теоретического исследования и для конкретного численного решения. К сожалению, в литературе известно совсем мало результатов, относящихся к такому обоснованию. Помимо упомянутых выше исследований, связанных с использованием результатов, относящихся к проблеме моментов, и обоснованных пока лишь для отдельных частных случаев задач об управлении линейными параболическими и гиперболическими системами, можно упомянуть [c.240]

Для линейных молекул волновые функции и колебательно-вращательные уровни энергии получаются из решения системы уравнений [c.173]

Численный метод расчета градиентных оптических волноводов, пригодный для использования в области больших V, заключается в том, что внутри неоднородной сердцевины выделяется область с постоянной диэлектрической проницаемостью [21]. Волновое уравнение (1.2) в этой области и в оболочке имеет вид уравнения Бесселя. Решения его можно представить в явном виде с точностью до постоянных. Значения полей на границах неоднородной области с соседними однородными связаны с помощью матрицы передачи размерностью 4X4. Элементы матрицы определяются в результате численного решения системы уравнений Максвелла методом прогноза и коррекции в неоднородной области сердцевины. Полученная линейная однородная система уравнений относительно постоянных в разложении поля имеет нетривиальное решение лишь тогда, когда ее определитель равен нулю. Равенство нулю определителя дает дисперсионное уравнение, из которого численно определяются постоянные распространения мод. По сравнению с одношаговыми методами удается снизить время счета и повысить точность вычислений. Кроме того, можно рассчитывать ДХ мод в области больших частот, где другие методы дают большую погрешность из-за накопления ошибок в процессе вычислений. Рассмотренный численный метод расчета выгодно отличается от метода, предложенного в работе [52], тем, что нет необходимости предварительно определять точки поворота, разделяющие области колебательного и экспоненциального характера решения. [c.27]

Обсудим теперь более подробно свойства волновых решений этих уравнений — акустоэлектрических волн. Система (2.25) — (2,26) после подстановки в нее выражений для потенциала ф(г, t) и вектора упругого смеш,ения и(г, t) в виде плоской монохроматической волны преобразуется в систему четырех линейных однородных уравнений относительно амплитуды потенциала Ф и трех компонент амплитуды упругого смещ,епия [c.22]

Как следует из приведенного выше обсуждения, этот метод основан на наличии параметра задачи, зависящего от величины возмущений. В следующих параграфах показано, что этим параметром может быть частота в слабо нелинейной системе, энергетические уровни в задачах квантовой механики, характеристический показатель в нормальном решении линейной задачи с периодическими коэффициентами, волновое число или частота в колебаниях плазмы и волновая скорость или частота поверхностных волн конечной амплитуды. [c.69]

Поправки К параметрам (1.33) определялись путем численного решения линейной системы 10-го порядка. Обычно хорошая точность получалась после трех—пяти итераций. Численный алгоритм, изложенный выше, был применен к расчету серии волновых режимов в области их существования на плоскости Re/Ga — показанной на рис. 1.2. Расчет проводился следующим образом [30—34]. Выбирали ряд значений Ga и для каждого постоянного значения Ga проводили расчеты при различных значениях п, начиная от кривой нейтральной устойчивости до значений п, лежащих несколько ниже линии максимального значения амплитуды. [c.15]

Схема метода. Порождающее решение характеризуется волновыми числами ka и фазовыми характеристиками 5а- Подстановка порождающего решения в уравнение (3) гл. IX дает связь между параметром и волновыми числами kgf. Затем в уравнениях (0 заменяют ее выражением через Далее строят решение у каждого края. С использованием условия квазиразделяемости находят уравнение для одним из решений которого является (д )[см. (5) и (6)). Кроме того, для возможности построения решения необходимо, чтобы полученная система допускала р — I (2р — порядок системы) линейно независимых решений, обладающих свойством краевого эффекта, т. е. затухающих при удалении во внутреннюю область. [c.181]

Математической основой теории резонанса в сосредоточенных системах с периодически изменяющимися параметрами служит, по существу, известная теорема А.М. Ляпунова [3.49] о том, что любая система линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами может быть преобразована в систему линейных же уравнений с постоянными коэффициентами при помощи невырожденного линейного преобразования. Она позволяет в принципе перенести все известные результаты теории резонанса для систем с постоянными параметрами на системы с периодически изменяющимися параметрами. Для уравнений же в частных производных подобная теорема в общем случае не доказана. Однако, применительно к рассматриваемому классу систем, ее доказательство заключается в существов ании невырожденных инвариантных преобразований (3.6), сводящих решение волнового уравнения с условиями на движущихся границах к решению такого же уравнения с условиями на неподвижных границах [3.4Г. [c.114]

Задачу о распространении упругих волн в трубах во многих случаях сводят к решению волнового уравнения при условии, что искомые функции должны удовлетворять граничным условиям и условию затухания при увеличении одной линейной координа1ы до бесконечности. Обычно решение удается провести полностью для случаев простейших граничных условий и когда контуры поперечного сечения труб могут быть совмещены с координатными линиями ортогональной системы. [c.327]

Рассмотрим две системы установившихся плоских волн, которые распространяются со скоростью Vq в направлениях, образующих с осью х соответственно углы а. Их суперпозиция дает существенно пространственную картину. Вдоль оси л возмущение распространяется со скоростью Уосоза, поэтому, выбрав систему координат, движущуюся вдоль оси л с этой скоростью, мы получим неподвижную волновую поверхность, которая дает решение задачи в линейной постановке. Если за амплитуду волны принять число 2а, за период [c.233]

Большинство технологических методов создания оптических микроволноводов позволяют получать неоднородное распределение показателя п(х) по толщине волновода (см. рис. 8.1). Для однородных волноводных структур профиль распределения п(х) аппроксимируется ступенчатой функцией, для которой волновое уравнение (8.9) имеет аналитическое решение. Определение таких параметров однородных волноводов, как показатель преломления По, толщина h, сводится к решению системы линейных трансцендентных уравнений (8.1), полученной для каждого значения л. В случае одномодовых волноводов систе- [c.146]

Тогда система (9.10) сведется к системе Зз линейных однородных уравнений для коэффициентов i. Условием существования нетривиального решения этой системы будет условие равенства нулю ее определителя. Мы получим алгебраическое уравнение teпeни Зз относительно величин Решения этого уравнения и дадут собственные частоты нормальных колебаний для данного значения волнового вектора к, симметрию которых мы только что определяли. Мы получим Зз корней Ш1 к), Ш2 к),..., шз,(к). Рассматриваемые как функхдаи вектора к величины 1, Ш2,..., Шз называют ветвями упругого спектра. Значения этих функций при А = О называют предельными частотами. Раньше мы показали, что при Л = О имеется три нормальные координаты, которые описывают смешение кристалла как целого (поступательные степени свободы). Очевидно, этим координатам соответствуют частоты, равные нулю. Поэтому мы можем утверждать, что три из ветвей спектра должны начинаться со значения ш, равного нулю. Эти три ветви называют акустическими ветвями спектра. Остальные Зз — 3 ветвей называют оптическими. [c.112]

В главе 7 при всестороннем обсуждении решений волнового уравнения (1.1) мы обращаемся к двух- и трехмерным задачам. Пожалуй, в книге, посвященной распространению волн, необычно так долго откладывать этот вопрос и начинать со столь тщательного обсуждения нелинейных эффектов. Это следствие упорядочения, произведенного по числу измерешш, а не по сложности понятий или доступности математического аппарата. В главе 7 освещаются свойства решений уравнения (1.1), позволяющие судить о природе рассматриваемого волнового движения и дающие возможность обобщения на другие волновые системы. Главным примером служит геометрическая оптика, которая обобщается на линейные волны в неоднородной среде и является основой для аналогичных построений, связанных с распространением разрывов в нелинейных задачах. Мы даже не пытаемся дать хотя бы [c.14]

Выражения (8.7) содержат три произвольные постоянные А , Лд, F и удовлетворяют уравнениям движения при произвольных значениях частоты со и постоянной распространения у. При рассмотрении вынужденных гармонических движений частота определяется источником сил или перемещений, а у является параметром при представлении всех величин интегралами Фурье. Рассмотрение волновых движений при однородных условиях на цилиндрической поверхности приводит к однородной линейной системе уравнений для постоянных А , Аз и F. Условие существования ее нетривиального решения определяет дисперсионное соотношение, связывающее допустимые значения у и со. [c.147]

Как видно из рис. 24, формулы [18] в случае Я-поляризации справедливы для S = 0,95 лишь при и < 0,05, а для s = 0,25 — в области и < 0,5. Такая неравномерность объясняется следуюш,им чем больше радиус проводов, тем при меньших и начинают проявляться волновые свойства решетки, т. е. при меньших и элементы решетки становятся соизмеримы с длиной волны. Формулы [18] получены с помош,ью метода малых возмущений, т. е. в предположении, что зависимость дифрагированных полей от и имеет линейный характер. В области длин волн, соизмеримых с препятствиями (s = 0,85, и = 0,1), такие зависимости имеют существенно нелинейный характер, и формулы [18] теряют достоверность. В принципе весь численный анализ можно провести при непосредственном решении интегральных уравнений путем обычной замены интеграла суммой и линейной аппроксимации функции тока с помощью N чисел на всем контуре цилиндра. При этом получаем систему уравнений N-to порядка, которая эффективно решается на ЭВМ. Если в случае Я-поляризации интегральное уравнение заменить системой 20-го порядка (20 точек разбиения), то в интервале О < и < 1 для s = 2all = 0,25 0,50 и 0,75 численные результаты будут хорошо совпадать (с точностью не хуже, чем 0,005) с результатами, полученными из систем [25]. На рис. 24 кружочками показаны результаты для случая s = 0,95. При этом интервал интегрирования разбивался с учетом вероятностного распределения плотности тока. [c.66]

Рассмотрим наиболее характерные особенности волновых процессов в системах неременной длины, вытекающие из точного решения задачи. Эти особенности являются общими в том смысле, что для линейных моделей они остаются справедливыми при произвольных законах движения границ Ijif), лишь бы их скорости оставались меньше скорости распространения воли [8, 3.15 . [c.108]

Таким образом, амплитуды возмущений ф(л ) и 0(л ) определяются из системы обыкновенных линейных однородных уравнений с однородными граничными условиями. Краевая задача (43.11) — (43.13) является характеристической нетривиальное решение существует лишь при определенных значениях параметра X. Декременты находятся как собственные числа краевой задачи соответствующие собственные функции ф и 0 определяют структуру характеристических возмущений скорости и температуры. Собственные значения X зависят от параметров — чисел Грасхофа О и Прандтля Р, а также от волнового числа к. Поставленная краевая задача является несамосопряженной, и поэтому ее собственные числа X, вообще говоря, комплексны X = Хг + 1Х . Вещественная часть Хг определяет скорость затухания или нарастания возмущений. Мнимая часть Х дает частоту колебаний при О возмущения распространяются в потоке в виде плоских волн с фазовой скоростью с = Х к. [c.304]

Итак, в прикладных проблемах линейные задачи теории стоячих волн представляют основной интерес. Тем не менее на ряд вопросов линейная теория ответить не может. Например, при настройке системы управления важно знать зависимость частоты колебаний от амплитуды. Иногда полезно знать (с высокой степенью точности) структуру волновой поверхности и т. д. Поэтому нелинейная теория представляет определенный интерес для практики. Однако, как мне кажется, наибольший интерес нелинейная теория стоячих волн имеет для математика. В теории установившихся волн проблема существования решений довольно элементарна. В теории стоячих волн дело обстоит значительно сложнее. Первая работа в этой области была сделана Я. И. Секерж-Зеньковичем (1957), который предложил процедуру последовательных приближений, позволяющую рассчитать нелинейные стоячие волны в безграничной жидкости. Эта задача дает ответ о характере нелинейных волн, возникающих в сосуде, ограниченном вертикальными стенками, в предположении, что глубина сосуда бесконечна. В начале пятидесятых годов ту же проблему для сосудов произвольной формы изучал Н. Н. Моисеев. Колеблющаяся жидкость рассматривалась как некоторая система Ляпунова счетного числа степеней свободы. Была развита теория, в рамках которой удалось рассмотреть как свободные, так и вынужденные колебания. Была построена полная аналогия с колебательной системой Ляпунова конечного числа степеней свободы и показано, что для того, чтобы провести все вычисления, достаточно уметь решать соответствующую линейную задачу. Разумеется, развитая теория позволяла изучать только такие волновые процессы, которые близки к тем, которые описываются линейной теорией. (Полное изложение этой теории нелинейных волн можно найти в монографии Н. Н. Моисеева и А. А. Петрова, 1965.) [c.64]

С математической точки зрения квантовомеханическое рассмотрение задач дифракции не слишком сильно отличается от классического, так как операторы пол11 должны удовлетворять тем же самым линейным дифференциальным уравнениям и граничным условиям, что и классические поля. Задача построения таких операторов сводится к нахождению подходящей системы собственных функций, по которым можно их разложить (т. е. системы функций, удовлетворяющей волновому уравнению вместе с соответствующими граничными условиями на любой данной поверхности). Для нахождения собственной функции мы, естественно, прибегаем к известным методам классической теории решения граничных задач, т. е. эта задача вообще не является квантоводинамической. С другой стороны, тот факт, что такое решение представляет собой хорошо исследованную классическую задачу, не означает, как известно, что она обязательно будет простой. [c.44]

Нужно также заметить, как и в разд. 3.7, что при заданных ki, 2 и кд дисперсионное соотношение не обязательно имеет только одно решение (222) для со. Например, для внутренних волн, удовлетворяюш их зависимости (24), оно имеет два решения, равные по величине, но противоположные по знаку действительно, для волнового числа в полупространстве —со < akgdO решения с положительным и отрицательным значениями со соответствуют распространению волновой энергии вверх и вниз соответственно. В конце этого раздела мы докажем, что для такой системы начальным условиям обш его вида всегда можно удовлетворить суммой линейной комбинации (223) волн с положительной са и аналогичной комбинации волн с отрицательной со вместе (в обш ем случае) с добавлением стлционарного движения, которое, имея чисто горизонтальные и бездивергент-ные скорости, не может возбуждать никаких восстанавливающих сил. (Пока мы не будем учитывать такую стационарную [c.427]

Выписанная довольно громоздкая система уравнений (4.1) — (4.5) полностью описывает линейные механические и электромагнитные процессы в пьезоэлектриках. Можно показать [6, 9], что в общем случае в пьезоэлектрических кристаллах могут распространяться в одном направлении пять волн смешанного типа, характеризующихся как механическими переменными, так и электромагнитными. Это соответствует трем возмущенным акустическим волнам, распространяющимся со скоростями, несколько большими соответствующих скоростей без учета пьезоэффекта, и двум возмущенным электромагнитным волнам, скорости которых практически не меняются. Поскольку, однако, параметр возмущения имеет порядок и/С 10 % где V — скорость акустической волны, ас — скорость света, то при решении акустической части задачи в большинстве практически важных случаев (но не во всех )) волновым характером электромагнитного поля можно пренебречь, рассматривая его в квазиста-тическом приближении. При этом задача сводится к решению системы [c.222]

До сих пор мы интересовались решениями AS уравнения (5.10.9), которые имеют слабые разрывы. Основное свойство> таких решений — это свойство всех разрывных решений линейной гиперболической системы уравнений разрывы в AS переносятся вдоль определенных поверхностей в пространстве, называемых волновыми фронтами которые, двигаясь с конечной скоростью, заметают в пространстве-времени характеристи-неские поверхности этой системы уравнений. Скорости распространения в олн и разрывов, переносимых волновыми фронтами, определяются из уравнений характеристик для данной системы. Пусть характеристическая кривая (для одномерного движения) описывается уравнением h x, t)=Q. Также пусть x = S t)—положение разрыва в момент t. Тогда h Se t) t) = 0. Дифференцируя это соотношение по t, получаем dxh dth = О, где с = dSefdt — скорость движения разрыва. Следовательно, характеристическая скорость, или скорость распространения возмущений, определяется формулой [c.296]

В главе V было показано, что задача диагонализации матрицы гамильтониана значительно упрощается, если предварительно выбрать функции так, чтобы они образовывали базисы неприводимых представлений. Построение таких базисов аналогично выполненному в предыдущем пункте. Рассматриваемая полная система функций разбивается на цепочки функций, и в каждой цепочке с помощью операторов строятся базисы неприводимых представлений. Если какое-нибудь неприводимое представление встречается в разложении только один раз, то построенные волновые функции будут собственными функциями нашей задачи. Если неприводимое представление встречается rj раз, то после построения базисов этого неприводимого представления для нахождения собственных функций приходится решать вековое уравнение порядка. Этот метод нахождения одноэлекгронных приближенных решений для молекулярной задачи носит название метода линейной комбинации атомных о ит. [c.91]

В теории упругости классическая во.тновая теоррш также по-иу чается после линеаризации. Однако даже в линейном случае ситуация оказывается более сложной, поскольку исходная система уравнений приводит по существу к двум волновым уравнениям вида (1.1) для двух функций фх, фг и двух скоростей отвечающим движению продольной и поперечной волн (волны сжатия и волны сдвига). Функции и фа связаны надлежащими граничными условиями, так что в общем случае задача гораздо сложнее, чем просто решение уравнения (1.1). На свободной поверхности упругого тела возникает новое усложнение, поскольку возможно появление поверхностных волн, так называемых волн Рэлея, [c.11]

Выше мы всюду предполагали, что и > 2 тг К(Ло) - т. А если V < 2 /rjV(Ro) - т, существуют ли в этом случае волновые решения Для ответа на этот вопрос необходимо выяснить, существуют ли ограниченные траектории системы (8.2), выходящие из начала координат и попадающие либо в точку С, либо на цикл, ее окружающий. Из линейного анализа в окрестности начала координат следует, что существуют траектории (лежащие в плоскости, натянутой на собственные вектора, соответствующие собственным значениям Мг,з и/2 s/v 4 + т), которые выходят из начала координат. Численные расчеты показьшают, что при О < и < [c.85]

Программа, разработанная в ЛИТМО, осуществляет синтез дублета в области аберраций третьего и пятого порядков. Исходными данными являются размер поля в пространстве предметов, спектральный интервал, апертура и обобщенное увеличение, а также, в случае необходимости, аберрации другой части системы, которые должны компенсироваться аберрациями дублета. Выбор пары стекол производится перебором всех возможных комбинаций из заданного набора, содержащего N марок стекла. Всего перебирается N Ы — 1) пар, из которых выбирается наилучшая по среднеквадратической волновой аберрации. Усреднение осуществляется по зрачку, предмету и спектральному интервалу. Определение конструктивных параметров для каждой пары стекол производится посредством решения уравнений в области аберраций третьего порядка (система из квадратного и линейных уравнений), а затем уточнения решения с учетом аберраций пятого порядка, исходя из минимизации оценочной функции (среднего квадрата волновой аберрации) при помощи универсальных методов оптимизации. На этом этапе используется аналитическая проба производных, обеспечивающая минимальное количество вычислений, и ДМНК для поиска минимума. Практика эксплуатации [c.248]

Рассмотрим полубесконечную пьезоэлектрическую анизотропную среду с нанесенным тонким пьезоэлектрическим слоем толщиной А, ограниченную бесконечной плоскостью с координатой хз = О (ось Хз перпендикулярна ограничивающей плоскости). Для расчета можно использовать ту же методику, что и в разд. 6.1 [106, 170, 183]. Однако в данном случае решение будет более сложным, так как существуют два волновых уравнения (6.12) одно — для подложки (решением этого уравнения являются четыре парциальные волны с постоянными затухания Ь, расположенными в нижней половине комплексной полуплоскости) второе — для слоя (его решение — восемь парциальных волн, поскольку ни одним значением Ь нельзя пренебречь — это связано с конечной толщиной слоя). В свободном пространстве, т. е. при Л з > А, потенциал можно представить выражением (6.6). Решение, полученное в виде двух линейных комбинаций парциальных волн (одна для слоя, вторая для подложки), должно удовлетворять двенадцати граничным условиям, которые можно записать следующим образом не-прерьшность упругих напряжений 7з, при дгз = О и дгз = А непрерывность механических смещений м, при хз = 0 непрерывность электрического смещения >3 при Л з = О и Хз = А и непрерывность потенциала <р при л з = 0. Решение можно получить путем последовательного подбора значений фазовой скорости, стремясь к нулевому значению детерминанта системы уравнений, как и при решении системы (6.15). Скорость зависит ие только от направления распространения, ио и от толщины слоя. Кроме того, заданной толщине могут соответствовать несколько различных решений, т. е. волн, имеющих разную скорость. [c.281]

В гл. 1 отмечалось, что особенностью оптимизации устройств СВЧ является то, что в вектор v наряду со скалярными величинами могут входить функции одной или нескольких пространственных координат. Такие функции (функции управления), оптимальный вид которых должен быть найден, могут описывать геометрические размеры устройства, законы изменения погонных параметров НЛП и т. д. В этом случае решение задачи параметрической оптимизации устройства возможно после параметризации искомых функций управления. Для функций управления h(z), зависящих от одной пространственной координаты г, наибольшее распространение получили три способа параметризации ступенчатый, плавный и плавно-ступенчатый (см. рис. 1.5). Для первого способа параметризации h(v, z) является кусочно-постоянной функцией г и полностью определяется заданием 2т величин h,, li, i=l, m (см. рнс. 1.5,6). В вектор варьируемых параметров могут входить все 2т указанных параметров. Широкое применение, однако, находят и частные варианты ступенчатого способа параметризации, когда часть параметров фиксируется либо на них накладываются некоторые ограничения типа равенств. В рассмотренном выше примере трансформатора активных сопротивлений (см. рис. В.6) вектор V задавался в виде v=(p,, рг,. . ., рш, /). При этом на зна-чення /,, г=1, т, были наложены ограничения вида 1 = 1. Воз-.можны также и другие варианты параметризации функции волнового сопротивления трансформатора. Далее (в частности в (гл. 7)) будет рассмотрена структура трансформатора, для которой полагается p2,-i=/ po, р2< = ро, =1, ni =(U, h,. . ., /, ) Оказывается, что такой трансформатор имеет определенные преимущества перед рассмотренным выше. Для второго и третьего способов параметризации (см. рис. 1.5,е,г) h z) является непре рывной функцией 2. Используются следующие варианты задания h , z) функция h(v, z) определяется в виде обоби1енного полинома по некоторой линейно-независимой системе функций ф/(г) [c.131]

Рассмотрим теперь распределение вдува-отсоса общего вида, фурье-образ которого отличен от нуля в достаточно широком интервале волновых чисел р. Разбив этот интервал на некоторое конечное количество узких по сравнению с ро подинтервалов представим/ в виде суммы финитных функций, отличных от нуля на этих подинтер-валах. Для каждой такой функции решение имеет вид (1.6), (1.8) и находится из (1.7). Ввиду линейности рассматриваемой задачи ее решение для суммарного фурье-образа вдува-отсоса есть сумма решений для финитных функций, на которые он разбит. Следовательно, суммарное решение также имеет вид (1.6), (1.8) и находится из краевой задачи (1.7). Отметим, что в отличие от случая узкой финитной функции /, рассмотренного выше, слагаемые уу , Г),, в (1.6) отличны от нуля во всем широком интервале Р, на котором0. При этом второе и третье равенства в (1.6), служившие определениями w и т , теряют смысл, и фурье-образы вертикальных компонент скорости и завихренности при всех Р являются суммами по крайней мере нескольких слагаемых в первой сумме (1.6). Функции w и Л/ХР) в случае "широкого" фурье-образа / (Р) следует воспринимать просто как решения системы (1.7). [c.16]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...