Линейные системы — Решение

Устойчивость линейной системы. Разыскивая решение уравнений (18.146) в виде [c.432]

Линейные системы уравнений — Решение 115 [c.575]

Таким образом, применение метода включает в себя следующие основные этапы 1) выбор вспомогательной поверхности S 2) выбор аппроксимации искомых функций, 3) вы числение коэффициентов линейной системы, 4) решение последней. . [c.193]

Две прямые, определяемые двумя системами (2.8), в общем случае будут скрещивающимися, так как система четырех линейных уравнений с тремя неизвестными в общем случае не имеет решения. Если же эта система имеет решение, го данные две прямые будут пересекающимися И, наконец, эти прямые будут параллельны, если попарно параллельны задающие их плоскости [c.35]

Ввиду линейности системы уравнений (5) и (7), общий интеграл может быть найден как сумма двух частных решений (8) с различными частотами, амплитудами и начальными фазами. [c.600]

Общее решение этой системы неоднородных линейных дифференциальных уравнений складывается из общего решения системы без правых частей (однородная система уравнений) и частного решения неоднородной системы. Первое решение определяет затухающие свободные колебания системы и было получено в задаче 455. Второе частное решение, определяющее вынужденные колебания системы, будем искать в виде [c.622]

Решение задачи о получении нормальной формы линейной системы (2.92) необходимо при исследовании устойчивости нелинейных уравнений возмущенного движения, при анализе нелинейных колебаний, при построении приближенных решений нелинейных гамильтоновых систе.м, где в качестве первого приближения берется обы шо решение линейной задачи. Поэтому целесообразно выбирать такие координаты, в которых решение линейной задачи записывалось бы наиболее просто. Простейшей вещественной формой уравнений (2.92) и будет нормальная форма. [c.125]

Обратимся теперь к изучению общей структуры решения позиционной линейной системы. Уравнения движения в главных координатах [c.580]

Следствие 8.8.5. Все решения позиционной линейной системы представляют собой линейную комбинацию слагаемых вида [c.580]

В соответствии с определением 8.8.1, чтобы найти собственные значения позиционной линейной системы, достаточно решить уравнение частот. В общем случае это — алгебраическое уравнение степени п. Как видно из рассмотренных примеров, при малых п, а также в некоторых других исключительных случаях его решение может быть [c.582]

Сг- — действительные числа. Это означает, что общее решение будет иметь слагаемое, содержащее в виде множителя функцию ехр(г]к )- Пусть т)к > О, тогда найдется сколь угодно близкое к стационарной точке в начальный момент времени решение, удаляющееся в бесконечность при I — оо. Предположим, что т к < 0. Сделаем замену независимой переменной I — —г. Обозначим у дифференцирование по т. Линейная система уравнений с гироскопическими силами примет вид [c.596]

Показать, что если силовая функция позиционной линейной системы удовлетворяет условию теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия, то все решения уравнения частот положительны. [c.624]

Исследовать структуру решений линейной системы вблизи положения равновесия, когда на нее кроме потенциальных сил действуют диссипативные силы с отрицательно определенной по скоростям диссипативной функцией Рэлея. [c.624]

Примером эффективного использования системы уравнений в вариациях служит теория движения в окрестности положения равновесия ( 8.7). Там линейная система и есть система уравнений в вариациях относительно нулевого решения. [c.699]

Однородная линейная система уравнений и.меет решения, отличные от нуля, если определить системы равен нулю [c.459]

Формулы (21) и (23) определяют две системы частных решений дифференциальных уравнений (6), содержащие каждая по две произвольные постоянные ( i, ai и s, 2)- В силу линейности этих уравнений их общее решение, содержащее четыре произвольные постоянные, получим, складывая частные решения [c.552]

Как мы уже отмечали (см. 1.1), в реальных системах всегда происходит рассеяние энергии, ее потери, ее уход из системы и, как следствие этого, уменьшение общего запаса колебательной энергии. Процесс рассеяния — диссипации энергии и уменьшения ее общего запаса присущ всем реальным системам, не содержащим устройств, пополняющих эту убыль энергии. Поэтому мы вправе ожидать, что учет процесса уменьшения исходного запаса колебательной энергии позволит нам получить решения, полнее описывающие реальные движения, чем при рассмотрении консервативных систем. Можно указать на множество характеристик колебательных процессов, которые обусловлены наличием в системе потерь энергии, происходящих по определенному закону и являющихся существенными как для линейных, так и для нелинейных систем. К числу проблем, требующих для своего решения учета диссипации, относятся, например, оценка резонансной амплитуды в линейной системе или в системе с малой нелинейностью, обший вид установившегося движения при наличии вынуждающей силы, закон изменения во времени амплитуды свободных колебаний, устойчивость различных состояний и пр. [c.41]

Аналогично 1 из условия существования у рассматриваемой системы линейных уравнений ненулевого решения типа [c.322]

Произвольное решение рассмотренной линейной системы уравнений может быть представлено, если использовать преобразование Фурье, в виде суперпозиции гармонических со-волн [c.328]

Уравнения (7.38) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно искомых функций в узлах [Фь Ф2,..., Фр]. Таким образом, в методе конечных элементов решение краевой задачи для уравнения в частных производных сводится к решению линейной системы алгебраических уравнений. [c.203]

Во всех клетках этой таблицы стоят нули, лишь на главной диагонали — единицы. Поэтому система Uh частных решений уравнения (3.9.1) называется системой с единичной матрицей. Будем строить общий интеграл уравнения (3.9.1) именно с помощью этой системы частных решений, линейная независимость которой усматривается из того факта, что ее определитель Вронского при 2 = 0 есть определитель единичной матрицы, следовательно, [c.103]

В подавляющем большинстве задач, с которыми приходится сталкиваться на практике, зависимость между силами и перемещениями является линейной, и к решению таких задач теорема Кастилиано полностью применима. Исключение составляют системы, к которым не может быть применен принцип неизменности начальных размеров и принцип независимости действия сил. Примеры таких систем были приведены ранее (см. В6). При определении перемещений в таких системах пользоваться теоремой Кастилиано в том виде, в каком это делалось здесь, недопустимо. [c.233]

Чтобы уменьшить погрешности округления при реализации k-то шага исключения, берут соответствующее уравнение и неизвестное не в естественном порядке, как это было в рассмотренном выше алгоритме, а находят их в результате специального поиска. Цель поиска определить уравнения с максимальным коэффициентом а Такой прием называют выбором ведущего элемента. При этом усложняется алгоритм пересчета коэффициентов уравнений, поскольку приходится как бы переставлять строки и столбцы в матрице линейной системы, чтобы найденный максимальный коэффициент оказался на ее главной диагонали. Эта процедура реализована в стандартных подпрограммах. Поэтому для решения линейной системы по методу Гаусса не следует самому составлять программу, используя простейшие формулы типа (1.11), а целесообразно брать какую-нибудь стандартную программу, в которой разработчики уже предусмотрели меры для уменьшения влияния погрешностей округления. [c.12]

Линейность системы (1.25) относительно приращений Аи< ), Аи< > следует из того, что все ее коэффициенты рассчитаны по значениям искомых величин на предыдущей итерации. На каждом шаге итераций можно использовать для решения (1.25) какой-либо прямой метод. Легко увидеть, что выражения в правых частях уравнений системы (1.25) представляют собой невязки для исходной системы (1.23) при значениях и Если итерационный процесс со- [c.16]

Для решения жестких систем применяют специальные неявные разностные схемы, при реализации которых возникает ряд трудностей. Во-первых, при решении систем нелинейных разностных уравнений применение метода простой итерации неэффективно. Необходимо применять метод Ньютона. Во-вторых, линейные системы разностных уравнений, получающиеся либо непосредственно в процессе решения линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, либо при реализации метода Ньютона в случае нелинейных систем, являются часто плохо обусловленными. Для их решения применяют специальные приемы. [c.41]

В схеме (3.76) неизвестные температуры обозначены как элементы двумерного массива — и п, Однако при записи линейной системы уравнений всем неизвестным надо присвоить сквозную нумерацию и представить их в виде одномерного массива — вектор-столбца. Такая перенумерация позволяет представить систему разностных уравнений в общепринятой матричной форме записи систем линейных алгебраических уравнений и воспользоваться стандартными программами их решения. Выполним перенумерацию по горизонтальным прямым слева направо и снизу вверх. В этом случае неизвестные нижней горизонтальной прямой обозначаются и , и ч,. .., неизвестные второй горизонтальной прямой — [c.115]

Таким образом, при использовании неявной схемы сначала в соответствии с принятой перенумерацией неизвестных проводится формирование ленты матрицы А и столбца свободных членов, а затем с помощью обращения к какой-либо стандартной программе решения линейной системы уравнений с ленточной матрицей находятся искомые значения температуры. Пример использования такой стандартной программы рассматривается в следующей главе применительно к системе уравнений метода конечных элементов, которая также имеет ленточный вид. [c.117]

Сумма этих матриц дает матрицу жесткости элемента [/(]. Для построения общей матрицы жёсткости всей системы необходимо воспользоваться последовательностью, приведенной в 3.5. Нужно отметить,что при решении задач часто приходится стыковать элементы разных размеров. На участках оболочки, где ожидается быстрое изменение перемещений, например вблизи краевой зоны, длина элементов должна быть небольшой по сравнению с длиной элементов в остальных зонах оболочки. Стыковка элементов разной длины в МКЗ мало усложняет расчет, Jto является большим достоинством метода. Для заданной нагрузки из соотношения (9.46) и матрицы (9.49) на-хрдят вектор узловых сил, который соответствует. ..правой части линейной системы уравнений. Решение этой системы, при учете условий на границе оболочки, определяет все узловые перемещения. [c.266]

В работах Д. И. Шермана [37, 38] были построены вполне регулярные бесконечные алгебраические линейные системы для решения задачи изгиба равномерно нагруженной круглой пластинки, когда одна часть дуги круговой границы оперта, а по оставшейся части дуги пластинка заделана или свободна. В работах Зорского (Zorslii [1—4]) с помощью метода сингулярных интегральных уравнений и теории граничных задач линейного сопряжения решены задачи изгиба пластинок, когда пластинка имеет вид полуплоскости, квадрата или полуполосы и когда заданы смешанные граничные условия (край пластинки частично заделан, частично оперт или частично свободен). [c.600]

Линейно независимых решений указанного вида имеется ровно 2п. Общее решение позиционной линейной системы можно построить, найдя все такие линейно независимые решения. Следствие 8.8.5 может окс1заться полезным для исследования систем с большим числом степеней свободы. Чтобы проиллюстрировать сказанное, рассмотрим следующий пример. [c.581]

О линейных гамильтоновых системах дифференциальных уравнений. Пусть в системе (1) функция Гамильтона не зависит от времени и система допускает решение, для которого величпньс Qi, Pi (г—1, 2,. .., п) постоянны. Это решение отвечает положеппю равновесия механической системы, имеющей уравнения движения (1). Так как перепое начала координат является каноническим [c.316]

Именно устойчивость формы гармонических колебаний по отношению к широко распространенному классу линейных систем и определяет то исключительное положение, которое занимают гармонические колебания среди всех других форм колебаний. Устойчивость формы играет решающую роль не только в случае гармонической внешней силы, когда эта устойчивость позволяет заранее утверждать, что в линейной системе вынужденные колебания будут гармоническими, и тем самым свести задачу о вынужденных колебаниях только к определению амплитуды и фазы гармонического вынужденного колебания. Так как в линейных системах справедлив принцип суперпозиции, то и в случае негармопической внешней силы решение задачи [c.622]

Другим обстоятельством, затрудняюшим проведение количественного анализа многокомпонентных смесей, является ограниченность выбора длин волн, обеспечивающих достаточную точность измерений. Для выяснения требований при выборе оптимальных значений Яь Яг и Яз рассмотрим систему уравнений (4.24) —(4.25). Эта система имеет решение, если коэффициенты а , при неизвестных Сп линейно независимы, т. е. [c.193]

Рещение задачи, как мы видели, сводится к системе канонических уравнений. Несмотря на то что эти уравнения линейны и их решение не представляет принципиальных трудностей, при большом числе неизвестных решение становится достаточно трудоемким. Именно поэтому целесообразно использовать любую возможность для упрощения уравнений метода сил. Конечно, степень статической неопределимости системы мы изменить не можем. Она предопределена наложенными связями. Но с помощью надлежащего выбора основной системы можно обратить в нуль ряд коэффициентов 6 , И соответствснпо разбить систему п связанных уравнений на несколько независимых систем более низкого порядка. В частности, в стержневых системах, обладающих определенной регулярностью геометрических и жесткостных свойств, всегда можно упростить структуру канонических уравнений и снизить трудоемкость расчета. И среди таких систем в [c.116]

Решение систем нелинейных алгебраических уравнений. Ограничимся изложением только двух методов реп1ения, рассматривая их применительно к нелинейным системам частного, но наиболее часто встречающегося в разных теплофизических задачах квазилинейного вида. Такие системы записываются аналогично (1.8), но имеют коэффициенты ац, зависящие от искомых величин и. a,j = = a,j (и,,. .., u/v). Они возникают, например, при решении стационарных уравнений теплового баланса (1.2), в которых тепловые проводимости Ojj зависят от температур Т,-, Г,-. Для решения этих нелинейных систем обычно применяют итерационные методы, в которых на каждой итерации решается линеаризованная система, т. е. некоторая линейная система, полученная из исходной нелинейной задачи. Наиболее часто применяют два подхода к линеаризации. [c.15]

Для решения данной линейной системы с несимметричной ленточной матрицей используется стандартная подпрограмма GELB, описанная в главе 1. Особенностью этой подпрограммы является специфическая форма представления митрицы в виде одномерного массива, образованного коэффициент 1мя,. 1ежащими в пределах ленты матрицы и записанными в порядке ее обхода по строкам Например, коэффициенты матрицы aj,, Ui.,, а,д, 22 записываются в элементы массива ai, а , а . Формирование этого одномерного массива производится следующим образом. Сначала весь массив обнуляется, а затем в него заносятся отличные от нуля коэффициенты путем последовательного перебора строк матрицы. Первые две строки и последние две строки просматриваются отдельно (см. операторы 56—65 и 87—100), а строки, соответствующие уравнениям для внутренних точек стенки и жидкости, перебираются в цикле (операторы 67—85). Нетрудно увидеть, что номера для коэффициентов матрицы, стоящих в строках уравнений, 1ля л-й внутренней точки стенки, [c.175]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...