Решение линейных задач на ЭВМ

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ НА ЭВМ (I) [c.130]

Вместе с тем использование интегральных соотношений между напряжениями и скоростями деформации, записанных в матричной форме, позволяет решить другую проблему — линеаризовать краевую задачу. Действительно, в общем случае ядра R i, т) и Ro t т)— функции инвариантов тензоров (девиаторов) напряжений, скоростей деформаций, температуры, степени деформации. Однако, организовав итерационный процесс при численном решении краевой задачи на ЭВМ, можно в каждой очередной итерации считать, что эти величины определены предыдущим приближением. В этом случае определяющие уравнения становятся линейными. Применяя проекционно-сеточные методы решения краевых задач, в конечном счете приходим к линейной системе алгебраических уравнений для определения искомых параметров. [c.259]

К настоящему времени закончен первый важный этап развития метода граничных элементов как средства решения прикладных задач на ЭВМ. Основные его итоги подведены в монографии [26]. Суммируя эти итоги, можно заметить, что он ознаменовался, во-первых, систематизацией и представлением теоретических и вычислительных основ МГЭ в форме, доступной для очень широкого круга специалистов. Во-вторых, даны многочисленные яркие примеры, иллюстрирующие большие возможности метода в самых разных сферах приложений в плоских и пространственных, линейных и нелинейных, статических и динамических задачах для однородных и неоднородных, изотропных и анизотропных тел. В-третьих, достигнуто признание практиков, которые теперь быстро овладевают методом, стремятся его использовать, расширяют его применение и не отдают уже безусловного предпочтения методу конечных элементов. В-четвертых, начат переход к хорошо организованным коммерческим программам второго поколения, которые специально предназначены для инженеров-расчетчиков. И наконец, что также немаловажно, на смену первоначальной эйфории от успехов метода вместе с попытками применить его к очень сложным задачам, ранее вовсе не поддававшимся решению, пришло осознание необходимости усилить проработку его численных аспектов с тем, чтобы выявить и классифицировать условия, в которых происходит падение точности и устойчивости счета, и создать арсенал вычислительных приемов для преодоления типичных затруднений. [c.275]

До последнего времени в учебный план ФПК входили следующие курсы 1. Социальные и методологические проблемы современной науки (34 ч.). 2. Основы педагогики высшей школы (68 ч.). 3. Решение инженерных задач на ЭВМ (68 ч.). 4. Основы линейной алгебры и теории матриц (34 ч). 5. Дифференциальные уравнения (34 ч). 6. Общий курс теоретической механики и методика его преподавания (51 ч). 7. Теория механических колебаний и удара (68 ч). 8. Аналитическая механика и теория устойчивости движения (34 ч). 9. История механики (17 ч). 10. Динамика твердого и составного тела (34 ч). 11. Элементы механики сплошной среды (34 ч). 12. Научно-методическая работа на кафедре (34 ч). [c.63]

Указания к решению задачи на ЭВМ. Полученная система линейных алгебраических неоднородных уравнений приводится к стандартной матричной форме [c.6]

При расчете задачи на ЭВМ удобно систему линейных алгебраических уравнений (5.8), (5.9) представить в матричном виде. Система состоит из 2N уравнений с 2N неизвестными, т.е. является замкнутой и имеет однозначное решение. Матричный вид этой системы будет записан следующим образом [c.132]

В данной главе излагается теория упругости, в которой напряжения и деформации связаны линейными соотношениями. Дается общее представление о вариационных принципах и методах, нашедших свое наиболее плодотворное применение при практическом решении инженерных задач кручения и изгиба стержней, пластин и оболочек. В современных инженерных расчетах наиболее распространен численный метод решения задач, называемый методом конечных элементов (МК.Э). Подробное изложение метода и его применение к решению задач теории упругости на ЭВМ дано в работах [3, 8, 17]. [c.112]

Опишем кратко алгоритм решения задачи (5.1) —(5.2) с использованием метода конечных элементов. (Заметим, что этот способ был известен до изобретения метода конечных элементов под названием метода Бубнова — Галеркина метод конечных элементов дал лишь способ построения базисных функций, удобных для реализации метода на ЭВМ.) Итак, пусть xpi, фд —базис, построенный одним из описанных выше способов функции фь. ... .., Флг зависят только от пространственных координат. Будем искать приближенное решение задачи (5.1) —(5.2) в виде линейной комбинации функций pi,. .., фд. с коэффициентами, являющимися функциями времени [c.213]

Указания к решению задачи иа ЭВМ. Нелинейная система дифференциальных уравнений (4), (5) с заданными начальными условиями интегрируется на интервале времени т. Одновременно с вычислением ф( по формулам (3) находятся величины Мвг, Мог-Шаг печати выбирается равным Д =т/24 = 0,01 М. На печать выводятся переменные /, а и, 2i, шзг, фь фг, Фз, Мвг, Afo и скорость точки С. Для упрощения программы линейные размеры звеньев вводятся как числовые константы. [c.82]

Выбор метода решения на ЭВМ системы линейных алгебраических уравнений зависит от свойств матрицы А, числа уравнений N и возможностей ЭВМ — объема оперативной памяти, быстродействия и числа значащих цифр, с которыми ведутся вычисления. В настоящее время в прикладном программном обеспечении ЕС и СМ ЭВМ имеется достаточно большое число программ, реализующих прямые методы. Здесь мы рассмотрим только один прямой метод — метод Гаусса. Некоторые другие прямые методы — метод прогонки, метод квадратного корня — будут рассмотрены ниже в главах 3 и 4 при обсуждении алгоритмов решения тех задач, где их использование наиболее эффективно. [c.10]

Для расчета конструкций в упругой области применяются различные методы и программы решения на ЭВМ основных краевых задач теории упругости (см. гл. 3). При выполнении упругопластического расчета возникающая физически нелинейная задача решается итерационным путем таким образом, чтобы на каждой итерации задача была линейной. Такая процедура соответствует решению последовательности краевых задач для неоднородных упругих тел с одинаковыми граничными условиями и внешней объемной нагрузкой (метод переменных параметров упругости) либо задач для исходного тела с меняющейся объемной и поверхностной нагрузкой (метод дополнительных нагрузок). [c.129]

Исследование сложных расчетных моделей машиностроительных конструкций аналитическими методами статистической динамики нелинейных систем встречает в ряде случаев принципиальные математические трудности. В особенности это относится к динамическим системам со случайными параметрами или случайными изменениями структуры даже в том случае, когда система является линейной во временной области. Поэтому для решения многомерных задач широко используют мощные средства вычислительной математики и вычислительной техники. В данной работе для исследуемого класса динамических систем принято сочетание аналитических методов с методами статистического моделирования (метод Монте-Карло) на ЭВМ, что позволяет более достоверно оценить полученные результаты и одновременно дать практические методы расчета. [c.4]

Дальнейшее уточнение методики приводит к решению объемной задачи теории упругости. Расчет пространственно-напряженного состояния диска сложной конфигурации с эксцентричными отверстиями неправильной формы требует разбиения области решения на большее число элементов. Хотя принципиальных трудностей при решении пространственной задачи МКЭ не возникает, для реализации ее требуются ЭВМ, обладающие значительным объемом оперативной памяти и быстродействием. Например, решение пространственной задачи для РК ДРОС методом конечных элементов с использованием достаточно простого разбиения на элементы (линейные призмы) и решением системы уравнений методом исключения Гаусса потребует приблизительно 2-10 байт оперативной памяти. Сокращения необходимого объема оперативной памяти можно достигнуть применением метода сопряженных градиентов вместо метода Гаусса, однако в этом случае резко увеличивается время счета (до нескольких десятков часов для ЭВМ серии ЕС). [c.106]

Применение вариационной формы решения позволило свести объемную краевую задачу с краевыми условиями контактного типа к разрешающей системе обыкновенных линейных неоднородных уравнений, решение которой удобно проводить на ЭВМ. [c.17]

В целом перечисленные методы решения во временной области позволяют реализовать расчет системы теплообменников на ЭВМ. Однако время расчетов слишком велико для того, чтобы их можно было проводить в массовом порядке. Эти методы целесообразно применять для решения нелинейных динамических задач, возникающих при больших возмущениях или пусках и остановах парогенераторов. Как указывалось выше, для достижения поставленных целей достаточно ограничиться линейным приближением для малых отклонений от исходного ста- [c.97]

С С2,..., с —коэффициенты загрузки всего оборудования линии изготовлением детали соответствующего наименования. Задача решается симплексным методом линейного программирования на электронно-вычислительной машине (в рассматриваемом примере была использована машина Урал-2 ). Выдаваемое ЭВМ решение сводится к перечню наборов деталей (по номенклатуре и количеству, которые должны быть запущены в каждый из оперативных отрезков времени, составляющих в сумме период комплектования (цикл) стандарт — плана. [c.567]

На рис. 22. .. 23 сплошные кривые соответствуют расчету по формуле (4.198), а пунктирная — по формуле (4.210). Как показывают расчеты, для решения динамических задач в линейных вязкоупругих средах метод рядов весьма эффективен в смысле реализации полученных теоретических результатов на современных ЭВМ. [c.113]

Основная процедура при численной реализации МКЭ, даже в случае нелинейной задачи, — процедура расчета линейно деформируемой системы. Здесь можно выделить следующие основные этапы решения задачи, которые обусловливают много проблем, требующих решения как при ее алгоритмизации, так и при ее реализации на ЭВМ [c.96]

При построении канонических уравнений может быть целиком использован опыт реализации на ЭВМ расчета стержневых систем. Определенная специфика здесь может быть внесена сложным физическим смыслом некоторых степеней свободы МКЭ. Алгоритмизация решения систем линейных уравнений требует особой тщательности, так как успешная реализация этой процедуры в основном определяет качество вычислительного комплекса — его быстродействие, точность решения задачи. [c.97]

Оба метода при использовании вариационного принципа и соответ-ствуюш,их разностных схем могут быть сведены к одним и тем же уравнениям [9] и одинаково пригодны для решения задач подобного типа. С точки зрения практической реализации на ЭВМ МКЭ целесообразно использовать для задач с контуром сложного очертания, для которых необходима сильно нерегулярная структура сетки получающуюся при этом систему линейных алгебраических уравнений практически можно решать только одним из прямых методов. Метод конечных разностей для подобных задач требует сгущения сетки, однако структура уравнений в этом методе упрощается, и даже частичное использование регулярной сетки позволяет сильно уменьшить количество различных коэффициентов уравнений систему уравнений при этом можно решать как прямым, так и итерационным методом. [c.103]

Реализация рассматриваемого варианта МГЭ на ЭВМ при решении осесимметричной задачи термоупругости в дальнейшем не отличается от реализации плоской задачи (см. 6.2). Если принять, что в пределах каждого граничного элемента с номером у зависимости Ui N) и pi N), N i = , 2 изменяются линейно, то узловые точки целесообразно расположить на стыке соседних элементов. Если узлы т и /п -Ь I принадлежат элементу с номером 7, то [c.246]

Структура исходных уравнений нелинейной теории многослойных анизотропных оболочек довольно сложна, получить аналитическое решение уравнений (1.42), (1.43) непросто, позтому будем ориентироваться на их численное решение на ЭВМ, В последние годы самое широкое распространение и признание получила методика решения задач прочности оболочек вращения, согласно которой исходная система уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние конструкции в геометрически линейной постановке, сводилась к решению краевой задачи для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Этот прием в сочетании с методом ортогональной прогонки оказался настолько плодотворным, что проблема расчета осесимметричных оболочек вращения в классической постановке оказалась в основном завершенной [ 1.16]. [c.23]

За время, прошедшее после выхода в свет первого издания книги, в развитии численных методов произошли существенные изменения. Сформировалось новое научное направление — вычислительная механика деформируемого твердого тела, целью которого является получение решения задач с заданной степенью точности с помощью ЭВМ. Создаются методы, позволяющие наиболее эффективно использовать преимущества новых поколений ЭВМ. С увеличением числа решаемых уравнений приходится отказываться от ряда методов, хорошо зарекомендовавших себя при решении сравнительно небольшого числа уравнений. В самом деле, если для решения системы линейных алгебраических уравнений второго или третьего порядка можно обойтись методом Крамера, то уже для решения системы 30 уравнений на ЭВМ с быстродействием 1 миллиард операций в секунду потребуется времени в 1.5 миллиарда раз больше, чем время существования Земли [82]. Поэтому очевидно, что говорить об универсальности того или иного метода, например метода конечных элементов, наиболее распространенного среди инженеров, не имеет смысла. Разумеется, не претендуют на универсальность и методы, излаженные в настоящем издании. [c.5]

Заменяя значение интеграла в (III.78) его приближенным значением по какой-либо квадратурной формуле, приводим задачу определения функции oj к решению системы линейных алгебраических уравнений, что дает возможность составить таблицу значений этой функции с необходимой степенью точности. Расчет проводился на ЭВМ Мир-2 . [c.73]

Время решения задания TORI на ЭВМ ЕС-1060, включая трансляцию и редактирование, равно 3 мин 15 с. Результаты решения геометрически линейной (NN = 0) и нелинейной (NN = 4) задач сведены в табл. 7.4. Сравнетие соответствующих данных табл. 7.3, 7.4 убеждает нас в том, что использование алгоритма сглаживания сплайнами не приводит к существенным неточностям при определении напряженно-деформированного состояния оболочки. [c.148]

Отсюда следует, что при наличии сосредоточенного груза необходимо добавить его массу к тем диагональным элементам общей матрицы масс, которые соответствуют его линейным смещениям. Если бы, в частности, вся масса конструкции была сосредоточена в узлах конечноэлементной модели, то матрица масс оказалась бы диагональной и решение динамичес-ской задачи на ЭВМ потребовало бы меньшего объема памяти и затрат машинного времени. [c.337]

Занятия по теме Методы решения задач на ЭВМ для преподавателей механики проводятся в виде курса лекщ1й, в котором излагаются численные методы, наиболее часто использующиеся в задачах теоретической механики. К ним относятся методы решения систем линейных алгебраических уравнений, нахождения корней функций, вычисления определенных интегралов, решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений [1,2]. [c.20]

Деформированное состояние оболочки компенсатора определялось на основе метода [140] решения задачи о длительном циклическом нагружении данной конструкции. Задача решалась в ква-зистациоиарной несвязанной постановке путем численного интегрирования на ЭВМ Минск-32 системы нелинейных дифференциальных уравнений, определяющих напряженно-деформированное состояние неупругих осесимметрично нагруженных оболочек вращения. Решение линейной краевой задачи производилось на основе метода ортогональной прогонки [52]. Рассматривалась только физическая нелинейность. Учет геометрической нелинейности при расчетах сильфонов, работающих как компенсаторы тепловых расширений в отличие от сильфонов измерительных приборов [193], обычно не производится [32, 150, 222], как не дающий существенного уточнения при умеренных перемещениях. Предполагалось, что все гофры сильфона деформируются одинаково. Поэтому расчет производился только для одного полугофра. Эквивалентный размах осевого перемещения полугофра, вызывающий те же деформации, что и полное смещение концов сильфона, определялся по формуле [c.200]

Распространенным методом аппроксимации является дискретизация — приближенная замена исходной задачи конечномерной задачей, т.е. задачей, входные данные и решение которой могут быть однозначно заданы конечным набором чисел. Для задач, не являющихся конечномерными, этот шаг необходим для последующей реализации на ЭВМ, так как вычислительная машина в состоянии оперировать лишь конечным набором чисел. При решении нелинейных задач широко используются рашпчные методы лымеаризации, состоящие в приближенной замене исходной задачи более простыми линейными задачами. [c.123]

Более детальное исследование задачи содержится в работе [23.8], в которой решались уравнения в смещениях. Смещения задавались рядами, уравнение устойчивости решалось методом Бубнова. В результате задача сводилась к вычислению собственных чисел системы линейных алгебраических уравнений. Вычисления на ЭВМ производились с проверкой сходимости решения при увеличении порядка определителей. Наибольший порядок определителей равнялся 31. Погрешность вычислений при этом не превосходила 17о- В табл. 23.1 показаны значения-отношения p = NlN-B, где Л в берется согласно (2.8), для четырех вариантов граничных условий 51—S4 для оболоч-ки с го/Л = 100, V = 0,3. [c.280]

Однотипность простых повторяющихся вычислительных операций делает метод локальных вариаций удобным для реализации на ЭВМ и позволяет при решении нелинейной пространственной задачи термоупругости избежать многократного решения громоздкой системы линейных алгебраических уравнений вида (6.40), хотя для поиска достаточно точного решения требуется обычно большое число итераций. Поскольку для устойчиво деформируемого материала dajde >0, минимумы функционалов (6.77) и (6.78) единственные (см. 1.4), что позволяет помимо метода локальных вариаций для поиска решения эффективно применять различные методы оптимизации и, в частности, градиентные методы. [c.253]

При применении прямых методов получение достаточно точных решений связано с решением больших систем уравнений, решение которых затруднено из-за ограниченных возможностей вычислительных машин (память, быстродействие, ошибки округления). Поэтому при составлении программ решения больших систем линейных алгебраических уравнений, полученных при дискретизации вариационных задач, стремятся учесть особый вид магриц таких систем например, их малую заполненность, ленточную структуру и т. д. Такие системы можно решать на ЭВМ точными методами (Гаусса, Жордана), если использовать внешние запоминающие устройства и применять специальные приемы, направленные на экономию памяти и времени счета, например блочный метод Гаусса. [c.180]

Систему трех обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (7.5) можно решить на ЭВМ с помощью численных методов. Для решения задачи реализуем стандартную подпрограмму DLBVP [184], которая сводит решение краевой задачи к решению задачи Коши, где модифицированным предиктор-корректор методом Хэмминга четвертого порядка решают дополнительные задачи Коши и определяют перемещения Uz, 0, Ч " завершающей задачи Коши. Интеграл вычисляется по интегральной формуле Эрмита четвертого порядка. Выбираем начальный шаг интегрирования Ды=0,01 м и задаемся допустимой погрешностью вычислений е=МО- [c.204]

На современном научном уровне излагаются математические основы моделирования процессов пластической деформации металлов и сплавов основы линейной алгебры, теории. отображений, механики твердого деформируемого тела в матричной записи, методов аппроксимации с применением теории сплайнов и конечных элекентов. Теоретический материал иллюстрируется примерами решения многочисленных задач. Приводятся результаты исследования с применением ЭВМ процессов прокатки и прессования. Ил. 141. Табл. 5. Библиогр. список 16 назв. [c.2]

Изучение методов математического моделирования процессов обработки металлов давлением предусматривает приобретение комплекса знаний и практических навыков в таких разделах прикладной математики и механики, как линейная алгебра, теория отображений, теория аппроксимаций, термодинамика и механика деформируемого твердого тела, обладающего сложными реологическими свойствами. Этот материал включен в лекционный цикл, читаемый проф. Г. Я. Гуном в Московском институте стали и сплавов с 1965 г. В указанный цикл входят лекции по курсам Дополнительные главы высшей математики , Механика сплошных сред , Теория обработки металлов давлением . К основной особенности этих лекций следует отнести последовательное и достаточно строгое изложение механикоматематических основ специальности, сочетание корректных методов постановки и решения на ЭВМ краевых задач пластического течения с инженерным подходом к указанным задачам. , [c.5]

Метод сводится к следующему. Физическая область задачи делится на непересекающиеся подобласти или конечные элементы. Зависимая переменная (их может быть несколько) локально аппроксимируется функцией специального вида (например, полиномом невысокой,степени) на каждом конечном элементе и в дальнейшем глобально — во всей области. Параметры >тих аппроксимаций в дальнейшем становятся неизвестными параметрами задачи. Подстановка аппроксимаций в уравнения метода Галеркина или Ритца (или эквивалентные им, например, в уравнения начала виртуальных скоростей в механике сплошной среды) с последующей линеаризацией дает систему линейных алгебраических уравнений относительно указанных параметров, матрица которой обладает замечательным свойством—ова- является ленточной, очень удобной для решения системы-на ЭВМ. [c.13]

На рис. 8.28 показана трехмерная дискретизация конечными элементами геометрии четверти краевой прорези с отверстием для охлаждения, выполненная с использованием восьми узловых изо-параметрических элементов. Это привело к очень грубому моделированию задачи и потребовало 1.5 ч времени для расчета на ЭВМ IBM 370/168. Для того чтобы получить более детальное представление о поведении решения в краевой прорези и отверстии для охлаждения, были проведены дискретизации МГЭ (рис. 8.29) области AB D (рис. 8.28). В первой из них использовались 436 плоских треугольных элементов с линейными изменениями на них сил и смещений (BINTEQ), в то время как во второй — 97 изо-параметрических поверхностных элементов с квадратичными изменениями (BASQUE). Смещения, полученные методом конечных элементов, были использованы в качестве граничных условий на верхней и нижней поверхностях моделей МГЭ. [c.239]

После реализации композиционного плана построение регрессионной модели осуществляется в той же последовательности, что и рассмотренное выше построение линейной регрессионной модели. Но поскольку система нормальных уравнений в этом случае не распадается на самостоятельные уравнения, то решение этой системы осуществляется на ЭВМ. Исходные уравнения регрессии при этом удобно представить в матричной форме. После вывода уравнения регрессии исследуемого процесса его можно использовать для решения ря/1,а задач (например, для выявления оптимальных условий проведения процесса, для чего обычно методами аналити- [c.59]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...