Вековое уравнение

Все корни Г[ векового уравнения — действительные числа. Если обе формы, приводимые к сумме квадратов, являются положительно определенными, как в рассматриваемом случае, то все числа Г положительны. Это доказывается в линейной алгебре, но можно установить и непосредственно — в противном случае форма (47) не была бы положительна в малой окрестности начала координат, а это свойство должно сохраняться при преобразованиях координат (45). [c.237]

Сравним теперь вековое уравнение det IIС - г АII = О [c.238]

Из того факта, что в рассматриваемом случае все корни г, векового уравнения являются действительными положительными числами, следует, что все 2п корней характеристического уравнения консервативной системы — чисто мнимые. Обозначим их так [c.238]

Раскрывая определитель (14 ) или из (15 ) находим уравнение частот, иначе называемое вековым уравнением [c.596]

Здесь Ху- - горни вековою уравнения или уравнения частот [c.121]

Большие периоды полураспадов (несколько дней и больше) измерить непосредственно очень трудно, а очень большие — невозможно, потому что точное определение периода должно длиться время, равное нескольким периодам. В этом случае период полураспада может быть определен методом абсолютного счета частиц, испускаемых известным количеством исследуемого препарата или при помощи векового уравнения (см. ниже). [c.104]

Напряжения о , а , Пз в этом случае называют главными. Они являются корнями векового уравнения [c.8]

Главные компоненты тензора напряжений являются корнями векового уравнения [c.465]

Уравнение (5) называется характеристическим или вековым уравнением для матрицы коэффициентов [c.215]

После раскрытия определителя мы получим в левой части многочлен и-й степени относительно X. Таким образом, квадрат частоты Х = оз искомого гармонического решения (10) должен удовлетворять алгебраическому уравнению й-й степени (13). Уравнение (13) называется вековым уравнением или уравнением частот. [c.233]

Если X — корень векового уравнения det (С — Ху4) = 0, а и — соответствующий ему амплитудный вектор [см. (18)] [c.236]

Покажем теперь, что для любых двух амплитудных векторов и и а, соответствующих различным корням векового уравнения X и У (к ф 1 ), выполняется соотношение ) [c.236]

Докажем теперь, что из симметричности матриц А и С и аз положительной определенности матрицы А следует, что вековое уравнение (13) [или (19)] имеет только вещественные корни. [c.237]

Действительно, пусть X — комплексный корень векового уравнения (X X) и ему соответствует комплексный вектор ифО. Тогда X также корень векового уравнения с амплитудным вектором и. Поскольку то, по дока- [c.237]

Таким образом, вековое уравнение (13) имеет п положительных корней Ху, которым соответствуют вещественные положительные частоты u)y = / и вещественные амплитудные векторы Uj (У = 1,. .., и). [c.237]

Рассмотрим сначала случай, когда все корни векового уравнения различны. Каждому Х соответствует частное решение [c.237]

Таким образом, при отсутствии у векового уравнения кратных корней формула (30) охватывает все колебания системы ). [c.239]

В нормальных координатах это колебание осуществляется, когда все 6,- = О при 1ф j изменяется только координата 6у.) В предыдущем параграфе было установлено, что квадрат частоты Xj = (iij удовлетворяет уравнению частот. Так как других гармонических колебаний вида (9), кроме тех, которые входят как слагаемые в общую формулу (8), для q не существует, то Ij — uij (У=1,. .., л) — все корни векового уравнения. Кроме того, если какой-либо корень повторяется здесь р раз, то ему соответствуют р линейно независимых амплитудных векторов Иу, определяемых из системы линейных уравнений (28) или (29) предыдущего параграфа. [c.243]

В предыдущем параграфе эта формула была установлена лишь для случая, когда вековое уравнение не имеет кратных корней. [c.243]

В качестве приложения последнего предложения можно показать, что корни X, Xj, еС Х векового уравнения Д (X) = det ( jj, — Хд ) =0 разделяются корнями X X j уравнения [c.252]

Действительно, уравнение Д, (Х) = 0 является вековым уравнением для консервативной системы, получающейся из исходной наложением одной связи =0. Поэтому, полагая Х . = ш (/ = 1,и), [c.252]

В заключение отметим, что для консервативной системы В = II bik if = О, а Л = II а,- If и С —1 с,- )f — симметрические положительно определенные матрицы. Вековое уравнение det (А[х -j- С) = О переходит в уравнение det (С — ХЛ) = О из 40, если положить — i = Y — 1). Но, как было показано в 40, уравнение det (С — ХЛ) = 0 имеет только положительные и вещественные корни. Поэтому уравнение (П) в случае консервативной системы имеет чисто мнимые корни. [c.262]

В рассматриваемом случае можно установить простые формулы для оценки корней векового уравнения. Будем снова искать решение вида ие . Для определения столбца и получаем уравнение [см. стр. 261] [c.263]

Таким образом, любой корень р. векового уравнения удовлетворяет квадратному уравнению (5) с положительными коэффициентами. Отсюда сразу следует, что Re[i-< 0. [c.264]

Приравнивая нулю определитель этой системы, найдем вековое уравнение [c.265]

Раскрывая этот определитель и отбрасывая члены, содержащие произведения малых коэффициентов р , представим вековое уравнение в следующем виде [c.266]

Корни векового уравнения в первом приближении имеют вид [c.266]

Уравнение (4.77) известно под названием характеристического или векового уравнения матрицы А корнями его являются искомые собственные значения. Следовательно, теорема Эйлера сводится к утверждению, что для рассматриваемых вещественных [c.137]

Это утверждение непосредственно следует из вещественности коэффициентов векового уравнения (4.83). Действительно, если X есть некоторое решение уравнения (4.83), то, образовав уравнение, комплексно сопряженное уравнению (4.83), мы увидим, что к есть решение того же самого уравнения. Таким образом, комплексные собственные значения всегда входят попарно и являются комплексно сопряженными по отношению друг к другу. [c.141]

Няавание вековое уравнение связано с тем, что такое уравнение впервые было выведено в небесной механике в связи с исследованием вековых колебаний орбит планет. [c.237]

Вековое уравнение широко используется для определения периодов полураспада долгоживущих радиоактивных веществ. Этим уравнением можно пользоваться при сравнении двух взаимно превращающихся веществ, из которых второе имеет много меньший период полураспада, чем лервое Т С T l) при условии, что это сравнение производится в момент времени (Т г С [c.109]

Для того чтобы выяснить, что корни X векового уравнения (19) всегда вещественны и полом<ителыш, рассмотрим предварительно некоторые свойства квадратичных форм е вещественными коэффициентами. [c.234]

Таким образом, мы снова доказали, что все корни Xj векового уравнения вещественны и положительны и установили, что п частотам соответствуют п линейно независи- [c.243]

Д1 (X)—главный минор (п—1)-го порядка в определителе Д (X). Иногда говорят, что неравенства (23) выражают теорему разделения для корней векового уравнения. Неравенства (23) могут быть использовяны для нахождения нижних и верхних границ корней векового уравнения (см., например, Бабаков И. М., Теория колебаний, Гостехиздат, 1958, стр. 106—107). [c.252]

Уравнение (11) называется вековым уравнением для данной системы. Это алребраическое уравнение степени Чп относительно [X. [c.261]

Если вековое уравнение имеет комплексный корень = то это же уравнение имеет и комплексно сопря- [c.264]

Если вековое уравнение имеет кратные корни, то в сумме, стоящей в правой части равенства (2), могут появитьсй вековые члены вида + Однако и в этом случае [c.267]

Если некоторые корни векового уравнения являются кратными, то соответствующие собственные векторы нельзя найти таким простым путем (см. 5.4 и 10.2). Действительно, если не все собственные значения матрицы общего вида являются различными, то ее не всегда можно диагонализировать. Однако здесь нас это не должно беспокоить, потому что, как показывает теорема Эйлера, у каждой нетривиальной ортогональной матрицы корень 4-1 является простым. [c.141]

Классическая механика (1980) -- [ c.237 ]

Колебательные и вращательные спектры многоатомных молекул (1949) -- [ c.87 , c.95 ]

Электронные спектры и строение многоатомных молекул (1969) -- [ c.51 , c.399 ]

Теория гидродинамической устойчивости (1958) -- [ c.144 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...