Матрица гамильтонова

Исчисление вариационное 190 Матрица гамильтонова 451 - кососимметрическая 74 [c.474]

Т е о р е м а (Л я и у н о в а — П у а н к а р е). Характеристическое уравнение (14) линейной гамильтоновой системы (3) с 2л-периоди-ческой по t матрицей H(Z) возвратное. [c.396]

Линейная гамильтонова система (3) устойчива тогда и только тогда, когда все ее мультипликаторы pj расположены на единичной окружности р = 1 и матрица Х(2п) приводится к диагональной форме. [c.396]

Устойчивость линейных гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами. Пусть в системе (3) матрица Н является непрерывной 2тг-периодической по вещественной симметрической матрицей. Задача об устойчивости линейных гамильтоновых систем обладает рядом специфических особенностей по сравнению с задачей об устойчивости общих линейных систем, рассмотренных в предыдущем пункте. Эти особенности вытекают из теоремы Ляпунова-Пуанкаре о характеристическом уравнении гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами. [c.547]

Так как преобразование фазового пространства, задаваемое движениями гамильтоновой системы, является унивалентным каноническим преобразованием, то (см. п. 171) матрица Х( ) фундаментальных решений системы (3) является симплектической, т. е. при всех t справедливо равенство [c.548]

Алгоритм нормализации гамильтоновой системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами. Снова рассмотрим систему (3), предполагая матрицу Н( ) вещественной и непрерывной 2тг-периодической по t. Согласно теореме Ляпунова, система (3) приводима. Но матрица L( ) замены переменных (15), приводящей систему (3) к системе с постоянными коэффициентами, определяется неоднозначно. Опишем алгоритм построения такой матрицы L( ), чтобы соответствующее ей преобразование (15) было вещественным, каноническим, 2тг-периодическим по и приводило бы систему (3) к нормальной форме. Будем предполагать, что характеристические показатели Л/, системы (3) чисто мнимые (Л/. = где [c.549]

Задача о параметрическом резонансе. Линейные гамильтоновы системы, содержащие малый параметр. В приложениях матрица Н( ) системы (3) обычно зависит от одного или нескольких параметров. Задача о параметрическом резонансе дли системы (3) состоит в определении тех значений параметров, при которых ее характеристическое уравнение (14) имеет корни (мультипликаторы) с модулями, большими единицы. Иными словами, эта задача состоит в нахождении тех значений параметров, при которых система (3) неустойчива. Ограничимся рассмотрением того частного случая, когда функция Гамильтона соответствующая системе (3), представляется в виде сходящегося ряда по степеням малого параметра е [c.550]

Уравнения в вариациях для системы Гамильтона. Если исходные уравнения движения имеют гамильтонову форму и допускают периодическое решение, то два характеристических показателя равны нулю. Кроме того, если ft есть собственное значение матрицы монодромии, то 1/pi и [х также являются собственными значениями. Таким образом, если характеристический показатель % не является ни вещественным, ни чисто мнимым, то другие характеристические показатели равны — к, к и —А,. Если же характеристический показатель % является вещественным или чисто мнимым, то другой характеристический показатель равен —X. [c.469]

В рамках гамильтонова подхода к Ш. у. н. широкое распространение получил метод /--матрицы, первоначально возникший в теории квантового метода обратной задачи. В основе данного метода лежит возможность представить скобки Пуассона матричных элементов матрицы U(x, у) в виде [c.473]

Гамильтонова модель Ш. у. н. является вполне интегрируемой и обладает бесконечным набором интегралов движения J , производящей ф-цией для к-рых является след матрицы монодромии 1гГ(А.). Все интегралы движения записываются в виде локальных функционалов от и и их производных, напр. [c.473]

Следующий вопрос состоит в том, каким именно образом следует задавать начальное состояние системы в НТП. Из рассмотрения соотношений (19)-(22) непосредственно вытекает, что в НТП дело обстоит в этом отношении так же, как и в локальной теории. Начальное состояние системы можно фиксировать, задав произвольную функцию Ф (сго). Последующая эволюция состояния, за которой можно проследить от поверхности к поверхности, определяется матрицей 5 (сг,сго) = 8 а)8 [ао). Как и в локальной теории, задание функции Ф (сго) с одной стороны произвольно, с другой — определяет эволюцию системы однозначным образом. Это свидетельствует о возможности гамильтонова описания системы полей в НТП. [c.128]

Теорема Пуанкаре-Ляпунова. Характеристический многочлен р ) матрицы монодромии периодического решения гамильтоновой системы (1.4) возвратный р)Х = = ЛХ1/Л). [c.76]

Теорема 3, Предположим, что гамильтонова система на симплектическом многообразии M имеет п + к интегралов Fl, F2,..., F +k, причем на поверхности Мс = х е F,(x) = = i, 1 i п + к эти функции независимы, а в ее окрестности постоянен ранг матрицы скобок Пуассона [c.88]

Оригинальное доказательство теоремы 4, данное самим Пуанкаре, основано на другой идее. Пусть f p) — Р—рЕ —характеристический многочлен матрицы монодромии периодического решения гамильтоновой системы с п степенями свободы. Положим f p) = = (р — 1)д р). Согласно известной теореме Пуанкаре—Ляпунова, многочлен д возвратный р дО /р) = д р). Следовательно, если уравнение д р) = О имеет корень р = 1, то его кратность четна и не ниже двух. Таким образом, если уравнения Гамильтона допускают независимый интеграл F, то пара мультипликаторов становится равной единице, причем один из этих мультипликаторов равен единице из-за наличия нетривиального гамильтонова поля симметрий Vf. [c.225]

Применим теорему 3 к гамильтоновой системе с п степенями свободы, обладающей нерезонансным А, -мерным инвариантным тором. Предположим, что эта система допускает г независимых интегралов в инволюции. Утверждается, что спектр соответствующей матрицы Q содержит не менее 2г - к чисел вида г Х, и>), X е Z При к = 1 получаем теорему 4 из 8. Доказательство основано на том факте, что гамильтоновы поля v// ,..., vh являются полями симметрий, причем для них справедливы соотношения (9.9). Для получения нужной оценки остается воспользоваться заключением теоремы 3. [c.235]

Роль возмущающей функции играет Я , причем для вычисления матрицы V надо усреднить Я, по траекториям гамильтоновой системы с гамильтонианом Щ. [c.242]

Определение. Матрицу вида "З В, где - симплектическая единица, а 5 - симметрическая матрица, называют гамильтоновой матрицей. [c.451]

Рассмотрим характеристический полином d(k) гамильтоновой матрицы З В [c.451]

Таким образом, характеристический полином гамильтоновой матрицы имеет вид [c.451]

Теорема 2. Для устойчивости тривиального решения гамильтоновой системы необходимо, чтобы все характеристические числа матрицы были чисто мнимые. [c.452]

Устойчивость гамильтоновых систем связана с устойчивостью симплектических преобразований. Рассмотрим линейное симплектическое преобразование /о /1, определяемое матрицей А [c.452]

Рассмотрим гамильтонову систему с двумя степенями свободы и конфигурационным пространством М, являющимся гладким двумерным многообразием. Предположим, что функция Гамильтона Н = = Н д,р) на фазовом пространстве принадлежит классу является строго выпуклой по импульсу т. е. матрица Нрр д,р) положительно определена, и Н д,р) оо при 9 ос. [c.147]

Обобщенные гамильтоновы системы. В общем случае матрица и зависит от координат и = П г). В этом случае выполняются условия 1-3 п. 25.5, а тождество Якоби имеет вид [c.261]

Пример 5. Рассмотрим задачу о движении материальной точки в центральном поле. Соответствующая гамильтонова система имеет четыре независимых интеграла Я, Мх, Му и М . Функции Мх, Му, Мг порождают алгебру Ли, изоморфную 5о(3), а функция Н коммутирует с Мх, Му, Мг. Если постоянные интегралов площадей М не все равны нулю, то ранг матрицы скобок Пуассона а(1 равен, очевидно, двум. В этом случае выполнено равенство (4) и, следовательно, применима теорема 10. Д [c.133]

Алгоритм нормалшшции гамильтоновой системы линейных уравнений с периоднческнмп коэффициентами. Снова рассмотрим систему (3), предполагая матрицу 11(0 вещественной и ненрерыи-пой 2л-периодической по t. Согласно теореме Ляпунова, система [c.396]

В 26 было установлено, что движение любой гамильтоновой системы может рассматриваться как свободное унивалентное каноническое преобразование. Следовательно, его якобиева матрица симплекти чна и ее определитель I (см. стр. 142—143) равен 1. [c.185]

В 12 гамильтоновы обозначения (i, /, к) использованы для кватерниониых единиц но если ]/ — 1 имеет обычный смысл как в матрицах (14.1), то путаницы можно избежать, переменив обозначения (i, /, к) на (/, J, К) или (е , 31 з)- [c.54]

Теория Дирака. К гамильтонову формализму со связями обычно приходят, отправляясь от лагранжиана, вырожденного по скоростям (определитель матрицы производных лагранжиана по скоростям равен нулю). Требование непротиворечивости дияамич. ур-ний означает, что подмногообразие связей F в С. м. М ин-волютивно пространство / связей (ф-ций на М, нулевых на F) замкнуто относительно скобки Пуассона [c.522]

Левая часть равенства (37) часто называется [91, 158] фазовым потоком гамильтоновой системы. Таким образом, теорема Лиувилля утверждает, что поток гамильтоновой системы постоя-пещ. Введение симплектической матрицы Якоби, а также матриц Пуассона и Лагранжа позволяет в удобной и компактной форме написать основные свойства канонических систем и преоб-разоваиий. [c.200]

Выяснена возможность пространственно-временного (в частности, гамильтонова) описания системы полей, взаимодействующих друг с другом нелокальным образом. В основу динамического аппарата теории положены перенормированные гейзенберговские уравнения поля, видоизмененные таким образом, что они автоматически приводят к унитарной матрице рассеяния. С этой целью использовано введенное в предыдущей работе [1] представление 5-матрицы в виде упорядоченной по заряду экспоненты. Найден вид операторов энергии-импульса и заряда, а также вид операторов поля в представлениях Шредингера и взаимодействия. Показано, что нелокальная теория поля не вызывает трудностей с отрицательной энергией ни при каком выборе форм-фактора. [c.119]

Действительно, матрица (4.3) кососимметрична и функция Га-лильтона коммутирует со всеми интегралами, поэтому ранг мат-,жцы (4.3) не превосходит 2п-4 = 2(п —2) = 2к. Интегрируемость л квадратурах гамильтоновой системы с п степенями свободы, допускающей 2п — 2 независимых интеграла, установлена Якоби с (юмощью метода интегрирующего множителя Эйлера [174]. Теорема Якоби уже использовалась нами в п. 7 2. [c.89]

Предположим, что гамильтонова система (ПЛ) допускает такие т инволютивных интегралов Fi,...,Fm, что ранг матрицы [c.245]

Согласно результатам п. 2, в предположении 1) система с гамильтонианом ехр 7 0 невырождена. Далее, пусть П — матрица вторых производных функции ехр Tio по импульсам у,ф. Несложно показать, что К иК совпадает с числом 6 из условия 2), которое (по предположению) отлично от нуля. Теперь можно воспользоваться теоремой 1 из 10. Условия 1) и 3) этой теоремы заведомо выполнены. Так как /i"(Ao)o < О, то выполнено условие 2). Следовательно, возмущенная гамильтонова система с гамильтонианом (11.4) при малых значениях е > О имеет п-мерный гиперболический инвариантный тор, заполненный траекториями условно-периодических движений. Этот тор аналитичен по [c.247]

Зафиксируем значение интеграла энергии, отвечающее частному решению zo(-), и ограничим уравнения Гамильтона (5.15) на (2п — 1)-мерную энергетическую поверхность H z) = H zo -)) = = onst, в результате получим автономную систему дифференциальных уравнений с тем же частным решением. Этому решению отвечают приведенные уравнения в вариациях (порядка 2п — 2) и приведенная группа монодромии. Из теоремы Уиттекера о понижении с помощью интеграла энергии порядка уравнений Гамильтона вытекает гамильтоновость приведенной системы уравнений в вариациях. Следовательно, матрицы из приведенной группы монодромии также являются симплектическими. [c.364]

При = О собственные значения матрицы монодромии уравнения (5.17) при отображении за периоды 2тг и 2т равны соответственно Л12 = и /Х12 = Очевидно, что /х12 Ф 1 при о О и Л1,2 Ф если о 1/4 -Ь /гтг, к е Ъ. Из соображений непрерывности ясно, что при о 1/4 -Ь тг и малых О собственные значения /Х1,2 не являются корнями из единицы, и А1 2 ф г (это свойство, в действительности, имеет место для почти всех о и ). Следовательно, по теореме 1, уравнение (5.17) в этих случаях неинтегрируемо в комплексной области. Отметим, что в действительной области это уравнение вполне интегрируемо оно имеет аналитический интеграл Г г, г, I), 2тг-периодический по Ь. Дело в том, что линейной канонической заменой переменных, 2тг-периодической по I, уравнение (5.17) можно привести к линейной автономной гамильтоновой системе с одной степенью свободы тогда в качестве функции Г можно взять функцию Гамильтона автономной системы. [c.367]

Оказывается, на римановой поверхности (5,24) нмдутся два замкнутых цикла, для которых соответствующие матрицы монодромии Т1 и Тг нерезонансны и не коммутируют. По теореме С, Л. Зиглина эти свойства влекут неинтегрируемость гамильтоновой системы с гамильтонианом (5,19). Связь условий нерезонансности со свойствами показателей Ковалевской вытекает из анализа гипергеометрического уравнения Гаусса (детали см, в работе [238], где на самом деле доказано более сильное утверждение об отсутствии в предположениях теоремы 2 дополнительного голоморфного интеграла, независимого от интеграла энергии). [c.369]

Применим теорему 2 к гамильтоновым уравнениям Янга — Миллса для однородного двухкомпонентного поля (см, 8 гл, I), Функция Гамильтона имеет вид (5,19), где V = х х2. Уравнения (5,21) допускают решение с = (1/ /2,1/ /2) -, собственные значения матрицы Гессе Г равны —1 и 3, Следовательно, Др1 = —7 и Др2 = 5, Эти числа рационально несоизмеримы, поэтому по теореме 2 уравнения Янга— Миллса не допускают нового голоморфного интеграла. Этот результат получил впервые С, Л, Зиглин в [64], Аналогичный результат имеет место и для трехкомпонентной модели Янга — Миллса, где V = х х -Ь х х -Ь х х. Здесь с = = (l/V ,l/V ,0)T, а числа Др равны соответственно /17, 5, В силу их рациональной несоизмеримости гамильтонова система неинтегрируема. [c.369]

Вообгце говоря, для произвольных линейных систем с условнопериодическими коэффициентами приводимость может не иметь места. Однако, как показал Г.А. Красинский [77], уравнения в вариациях, соответствуюгцие условно-периодическим движениям гамильтоновых систем, построенным с номогцью метода А.Н. Колмогорова и его модификаций, всегда приводимы, причем матрица соответствуюгцей линейной замены переменных имеет условно-периодические коэффициенты, а сама замена будет канонической. Следовательно, в этом случае можно надеяться на успешный анализ устойчивости нелинейной системы методом нормальных форм Пуанкаре. [c.124]

Методы Пуанкаре получили многочисленные приложения в задаче трех тел. Шварцшильд доказал [12] существование периодических решений в ограниченной круговой задаче трех тел, периоды которых в общем случае несоизмеримы с периодом порождающего решения. Эти периодические решения вырождаются при (1 = О во вращающиеся эллипсы вокруг центрального тела (периодические решения с вращающейся линией апсид). Следует также сказать о работе Цейпеля [13], содержащей детальное исследование периодических решений третьего сорта, о книге К. Зигеля [6], в которой доказывается существование периодических решений гамильтоновых систем, когда матрица линеаризованной части имеет пару чисто мнимых собственных значений, Г. А. Мермана [14], в которой приведены новые четырехпараметрические множества периодических решений в огра- [c.794]

Если элемент S находится в общем положении (ранг матрицы а максимален ), то группа G коммутативна понижение порядка, проведенное по этой схеме, дает тот же результат, что и понижение по Картану (Е. artan). Если с=0,то ранг матрицы Ца,Л падает до нуля и интегральное многообразие Мо устроено наиболее симметрично стационарная подгруппа Go совпадает со всей группой G. В этом случае происходит максимально возможное понижение порядка гамильтоновой системы на 2/5 = 2dimG единиц (ср. с теоремой 13). [c.108]

Следующее утверждение заменяет для гамильтоновы.х систем теорему о приведении матрицы линейного дифференциального уравнения к жордановой форме. [c.270]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...