Методы одношаговые

Рассмотренные методы при р 2 являются многошаговыми. К одношаговым методам относится метод Рунге — Кутта. [c.238]

Общие замечания. Простейшие одношаговые методы. Рассмотрим задачу Коши для одного уравнения первого порядка [c.14]

Многошаговые методы. Метод Адамса. Обш,им для рассмотренных методов является то, что для вычисления решения в узле Xi+i необходимо знать решение лишь в узле хи Такие методы называются одношаговыми. Они удобны для вычислений, так как при решении задачи Коши (1.30) переходы от узла Хо, где заданы начальные данные, к узлу Xi, от узла xi к Х2 и т. д. [c.18]

Рассмотренные два вида схем обладают общей чертой — при определении значения в узле x +j используется только значение и/ в предыдущем узле Xj. Такие схемы называют одношаговыми. Ясно, что в общем случае возможно для определения ui+ использовать не только и>, но и ui , и т. д. В этом случае мы приходим к многошаговым методам, среди которых наибольшее распространение получили линейные. [c.33]

Остановимся на ряде особенностей многошаговых (при /г 2) методов по сравнению с одношаговыми k = 1). [c.35]

Для одношаговых методов существуют два основных способа оценки локальной погрешности на шаге. При первом — интегрирование от точки Tj до точки Ту+1 осуш,ествляется по схеме одного и того же порядка точности р дважды с шагом Лт и с шагом Ат/2. Можно доказать, что в этом случае для локальной погрешности решения, найденного с шагом Ат/2, справедлива следующая приближенная оценка [c.37]

Методы Рунге—Кутта. Методы Рунге— Кутта суть одношаговые методы решения задачи Коши (4.72). Расчетные формулы этих методов имеют следующую форму [c.123]

Среди множества численных методов решения дифференциальных уравнений наиболее простые - это явные одношаговые методы. К ним относятся различные модификации метода Рунге-Кутта. [c.268]

Главное достоинство одношаговых методов численного интегрирования задачи [c.121]

Метод Эйлера — простейший одношаговый метод решения задачи Коши (188) — (189) — сводится к вычислительному процессу [c.121]

Метод Эйлера—Коши с итерациями является методом второго порядка. Методы Рунге — Кутта — наиболее распространенные среди одношаговых методов численного интегрирования и строятся по формуле [c.121]

Значение решения в точке t = задают условия Коши (189). Недостающие значения решения вычисляют, как правило, по одному из одношаговых методов, причем их точность должна быть по крайней мере в 5—10 раз большей, чем требуется для всего решения. [c.125]

Методы Рунге—Кутты. Наиболее популярны среди классических одношаговых методов явные т-этапные. методы Рунге—Кутты [c.144]

При решении задач такого класса широко применяют шаговые методы, сводящие решение исходной задачи к последовательности решений нелинейных краевых задач на временных слоях. Наибольшее распространение получили одношаговые методы (приращений, прогноза и коррекции). В настоящее время применяют также многошаговые методы (методы Адамса), хотя они не являются само-стартующими. При этом используют как явные, так и неявные схемы. [c.249]

Решение нелинейной задачи выполняется на основе метода продолжения решения по параметру и одношаговой модификации алгоритма Ньютона—Канторовича. На каждом шаге вычислительного процесса происходит пересчет метрики деформированной срединной поверхности оболочки. При этом используется метод Лагранжа, согласно которому вводится координатная система, вмороженная в тело оболочки. [c.174]

Из-за различия ядер релаксации материалов слоев структура функциональной матрицы Г( ) такова, что разделение переменных в общем случае невозможно. В связи с этим для решения системы (9.16) воспользуемся одношаговым численным методом [102]. В указанной работе рассмотрена задача Коши для системы п линейных интегро-дифференциальных уравнений следующего вида [c.499]

Дельта-функция осложняет представление вектора нагрузок при решении задачи одношаговым численным методом. Возможны ее аппроксимации с помощью дельта-последовательностей, но адекватное представление, подобное задаче для упругой оболочки с использованием фильтрующих свойств функции, вряд ли осуществимо. [c.502]

Для численной реализации одношагового метода при решении нашей задачи необходимо обнулить следующие матрицы [c.502]

Из анализа приведенных кривых следует, что при 4 их совпадение вполне удовлетворительное. Это позволяет в указанном интервале времени предполагать достоверным и решение динамической задачи для линейно вязко-упругой трехслойной цилиндрической оболочки, полученное одношаговым методом. [c.503]

Помимо этого структурное моделирование дало возможность реализовать современные численные методы, оперирующие большим числом исходных данных, настроек и т. п., обеспечивающих необходимый уровень инструментальных погрешностей. Возвращаясь к примеру с методами численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений подчеркнем, что в данном случае могут быть использованы современные одношаговые вложенные и экстраполяционные [c.197]

Одношаговые методы используют информацию о функции f z, у, у ) внутри интервала, на котором ищется решение. Эти методы требуют обычно вычисления значений функции не только в граничных точках интервала, но также и в точках, лежащих внутри. Наиболее важный представитель этого класса методов — метод Рунге — Кутта (разд. 6.2.1). [c.358]

Естественная идея повышения точности метода Эйлера могла бы заключаться в использовании большего числа членов разложения в ряд Тейлора (6.5) и (6.6). Однако методы рядов Тейлора высших порядков [195, 196] имеют малое практическое значение, так как основаны на отыскании высших производных функции f в заданных точках. Как известно, численное дифференцирование является весьма неточной процедурой, особенно если ее необходимо повторять много раз. Поэтому мы ищем процедуру, которая была бы аналогична разложению в ряд Тейлора до членов кр (где р называется порядком метода). Но которая не требовала бы вычисления каких-либо производных функции /(2, у, у ). Наиболее элегантная одношаговая процедура, которая удовлетворяет этому требованию, — метод Рунге — Кутта [194]. Ниже будет рассмотрен метод Рунге—Кутта четвертого порядка для решения дифференциального уравнения второго порядка (6.1). [c.359]

Одношаговые методы, в которых для нахождения следующей точки на кривой г/=/(х) требуется информация лишь об од- [c.73]

НОМ предыдущем шаге. Одношаговыми являются метод Эйлера и методы Рунге— Кутта. [c.74]

ОДНОШАГОВЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ [c.74]

Относительную точность одношаговых методов продемонстрируем на следующем примере. [c.78]

Общая характеристика одношаговых методов [c.80]

В основе всех одношаговых методов лежит разложение функции в ряд Тейлора, в котором сохраняются члены, содержащие к в степени до к включительно. Целое число к называется порядком метода. Погрешность на шаге имеет порядок й+1. [c.80]

Все одношаговые методы не требуют действительного вычисления производных — вычисляется лишь сама функция, однако могут потребоваться ее значения в нескольких промежуточных точках. Это влечет за собой, конечно, дополнительные затраты времени и усилий. [c.80]

Чтобы решить эту задачу одношаговым численным методом, необходимо свести дифференциальное уравнение второго порядка к двум дифференциаль- [c.81]

По сравнению с одношаговыми методами методы прогноза и коррекции имеют ряд особенностей [c.89]

Интегрирование системы конечно-элементных уравнений (1.35) можно осуществить различными способами [55, 177, 178], наибольшее применение среди которых получили методы центральных разностей, Вилсона, Галеркина, Ньюмарка. Нельзя формально подходить к использованию того или иного метода,, так как каждый из них имеет свои сильные и слабые стороны, которыми и определяется область их рационального применения. Так, применение центральных разностей имеет несомненное преимущество при использовании сосредоточенной (диагональной) матрицы масс, однако устойчивость его зависит от выбора шага интегрирования во времени Ат. Выбирая безусловно устойчивые и более точные двухпараметрические методы интегрирования Ньюмарка и Галеркина, мы значительно увеличиваем время счета. Оптимально и достаточно просто реализуемое интегрирование уравнения (1.35) можно провести с помощью модифицированной одношаговой процедуры Вилсона по двум схемам, отличающимся числом членов разложения в ряд Тейлора функций (т) , (й т) , ы(т) в момент времени т [7]. [c.25]

В отличие от одношаговых методов многошаговые не являются са-мостартующими. Действительно, в одношаговых методах вычисления можно начать с ы = Го, получить на его основе и , затем на основе и найти и т. д. При использовании же многошаговых методов при й > 2 вычисления могут начаться только лишь с и при условии, что каким-то образом определены и ,. ....и " . Эти стартовые значения находят с помощью какого-либо одношагового метода, в качестве которого обычно используют одну из схем Рунге—Кутта. [c.35]

Программное обеспечение решения систем уравнений. Для численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений имеется достаточно большое число стандартных подпрограмм, реализующих различные одношаговые и многошаговые методы [15]. При применении этих подпрограмм гюльзователь должен составить подпрограмму, в которой производится вычисление правых частей конкретной системы уравнений, а также организовать вывод результатов — значений искомых функций u i при интересующих значениях аргумента Xj. Особенности использования стандартных подпрограмм разберем на примере подпрограммы R KGS из математического обеспечения ЕС ЭВМ, которая реализует схему Рунге—Кутта четвертого порядка для системы N обыкновенных дифференциальных уравнений с автоматическим выбором шага интегрирования. Пример применения этой подпрограммы приведен в следующем параграфе для решения задачи расчета нестационарного теплового режима системы тел. [c.41]

Для решения задач динамики с помощью прямого интегрирования чаще всего используются метод центральных разностей метод Хаболта метод Вильсона метод Ньюмарка. В частности, широко применяется одношаговая процедура Вильсона, под которой понимается процедура, обеспечивающая определение всех характеристик движения системы для времени = по их значени- [c.75]

Доказано, что при основных и дополнительных начальных условиях решение системы дифференциальных уравнений (43) существует и является единственным [23]. Поэтому можно применять методы численного интегрирования. Широкое распространение получили одношаговые методы, особенно формулы Рунге—Кутта четвертой и второй степени [23. В последнее время применяют разностные формулы Адамса—Башфорта. Эти формулы сильно устойчивы и дают возможность решать системы дифференциальных уравнений на длинных отрезках. [c.431]

Численные методы решения задачи Коши. Наиболее широко применяют одношаговые методы типа Рунге—Кутта, а также многошаговые явные и неявные разностные схемы. Последние особое распространение получили при решении так называемых жестких или сиигулярно-возмущенных систем дифференциальных уравнений, характеризуемых наличием малого параметра при старшей производной. Очевидно, на практике следует использовать такие численные схемы, которые обеспечивали бы требуемую точность решения задачи, гарантировали бы численную устойчивость счета при достаточно крупных шагах интегрирования, позволяли бы легко реализовать автоматический выбор шага дискретизации. [c.120]

При к = 1 метод называют одношаговым. Значение у 1 вычисляется здесь с использованием только одного предыдущего значения эти методы часто называют самостартующыми. При к > 1 численный метод называется многошаговым. Многошаговый метод не является самостартую-щим, так как он требует задания начальных значений у т,, не содержащихся в постановке задачи Коши (5.43), (5.44). Для преодоления этой трудности нужны специальные подходы. [c.144]

Итерационные методы называют р-шаговыми, если при построении очередной итерации используются результаты р предыдущих точек. Например, одношаговыми являются методы градйента и наискорейшего спуска. В некоторых методах используется лишь информация о значениях функции Ф и не используются значения ее производных. Эти методы получили название нуль-шаговых, например, метод Гаусса—Зайделя (покоординатного спуска). [c.210]

От класса TOneStep образованы два класса-потомка, реализующих современные одношаговые методы интегрирования семейства Рунге-Кутты. Наиболее простой из них — классический метод Рунге-Кутты 4 порядка с постоянным шагом интегрирования (правило 2/6) представлен классом TRungeKutta26. Ниже, в таблицах 6.7 и 6.8 приведены названия и описания новых или перекрытых по отношению к родительскому полей и методов данного класса. [c.210]

Одношаговые методы предназначены для решения дифференциальных уравненш первого порядка вида [c.74]

Всем одношаговым методам присуш,и определенные общие черты [c.80]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...