Системы слабо нелинейные

Это вытекает из доказательства теоремы, но не оговорено авторами. Системы с малым значением е иногда называются слабо нелинейными. [c.286]

Уравнение (93,7) описывает распространение возмущений в слабо диссипирующей, слабо нелинейной среде. В применении к слабой ударной волне оно описывает ее распространение в системе отсчета, в которой невозмущенный газ (перед волной) неподвижен. Требуется найти решение со стационарным (не зависящим от времени) профилем, в котором вдали от волны, при jt oo, давление принимает заданные значения рг и рь разность р2 — Р есть скачок давления в разрыве ). [c.492]

Метод медленно меняющихся амплитуд и его применение к расчету колебаний в слабо нелинейных системах с малым затуханием [c.70]

В предыдущем параграфе мы рассмотрели вынужденные колебания, возбуждаемые в слабо нелинейной консервативной системе гармоническим внешним воздействием. Определение слабой нелинейности в нашем толковании основано на близости исследуемого колебательного процесса к соответствующему колебательному процессу, происходившему в линейной системе. Поэтому, как указывалось ранее, даже для существенно нелинейных консервативных систем в большинстве случаев ) можно найти такую область амплитуд свободных или вынужденных колебаний, оставаясь внутри которой, нам удается с требуемой точностью описывать [c.106]

Рассмотрение вынужденных колебаний в слабо нелинейных диссипативных системах при гармоническом силовом воздействии методом гармонического приближения [c.112]

Обратимся к особо важному случаю гармонического воздействия и из всего многообразия нелинейных диссипативных систем с одной степенью свободы выберем слабо нелинейные системы, в которых вынужденные колебания при таком воздействии также близки к гармоническим. Требование малости диссипации не столь уж принципиально, но поскольку нас интересуют в основном системы с отчетливо выраженными колебательными свойствами, а не апериодические, то мы в нашем рассмотрении ограничимся случаями небольшого затухания (малой диссипации). [c.112]

С учетом всех этих оговорок можно сформулировать задачу следующим образом требуется найти параметры (амплитуду и фазу) приближенно гармонического колебания, возбуждаемого в слабо нелинейной колебательной системе с малым затуханием, при заданной гармонической внешней силе. С подобной задачей мы встречаемся не только при рассмотрении механических систем, но и при анализе различных колебательных цепей в радиотехнических устройствах при наличии нелинейных диссипативных элементов (полупроводниковые приборы, радиолампы), а также при использовании ферромагнитных или сегнетоэлектрических материалов в катушках индуктивности и конденсаторах этих цепей. [c.113]

В 2.5 были описаны основы метода медленно меняющихся амплитуд применительно к анализу автономных слабо нелинейных систем с малым затуханием. Там же были даны примеры применения этого метода для исследования свободных колебаний в некоторых нелинейных системах. Однако исходные положения, на которых основана возможность получения упрощающих задачу укороченных уравнений, допускают также применение этого метода к случаю систем, находящихся под внешним воздействием. [c.119]

Практически следствием попадания вала в условия неустойчивости может оказаться появление самовозбуждающихся незатухающих колебаний, амплитуда которых в результате фактически имеющейся (хотя и слабой) нелинейности системы может сохранить ограниченное значение. [c.126]

Метод малого параметра. В основе метода лежит предположение о том, что система обладает слабой нелинейностью. Такова, например, система, колебания которой описываются дифференциальным уравнением [c.77]

С увеличением интенсивности воздействия появляются еще два решения. Одно из них (й = uj характеризует класс движений с охватом обоих устойчивых положений равновесия. Другое решение (й = й ) соответствует неустойчивым промежуточным режимам. Дальнейшее увеличение параметра нагрузки s приводит сначала к трем,, а затем к одному решению для математического ожидания й и дисперсии Oq. При высокой интенсивности воздействия особенности нелинейной характеристики системы слабо влияют на поведение всего статистического ансамбля. [c.78]

Для сред с относительно слабой нелинейностью (у1 1) незаменимым является замкнутый линейный резонатор, который обеспечивает минимальный порог генерации. Однако уже при 7/ > 1,1 более эффективной становится обращающая система с петлей обратной связи, кото- [c.152]

В нелинейной феде волны взаимодействуют друг с другом, порождая комбинационные тона. В случае слабой нелинейности наиболее эффективный обмен энергией между различными спектральными компонентами поля возникает при выполнении условий синхронизма, когда отклик среды на комбинационной частоте распространяется со скоростью собственной волны системы на этой частоте. Другими словами, должен иметь место резонанс в пространстве—времени. [c.120]

Система слабо взаимодействующих гармонических осцилляторов и система с быстро вращающимися фазами. До сих пор все приводимые нами модели дискретных динамических систем были не более чем трехмерные. Ограничиться столь простыми моделями удается далеко не всегда. Если изучение моделей большей размерности при сильных нелинейностях только начинается, то при малых нелинейностях такие исследования достаточно продвинуты, и здесь уже успели сформироваться некоторые типовые модели. В этой связи прежде всего можно указать на систему слабо взаимодействующих осцилляторов и роторов и на систему с так называемыми быстровращающимися фазами. [c.19]

Система уравнений нелинейна, однако эта нелинейность слабая. При поверочном расчете теплообменника известны любые две температуры продуктов сгорания и рабочего тела, В принципе могут быть заданы различные варианты граничных условий. [c.421]

На рис. 4.1 показан график спектральной плотности выхода системы (штриховая линия) с соблюдением поставленных условий. Максимум основной полосы пропускания за счет нелинейности в данном случае сдвинут вправо. Для слабо нелинейных [c.151]

При анализе нелинейных задач широко используются методы теории возмуш ений вместо исходной динамической системы изучается близкая к ней интегрируемая система, на которую действует возмущение . Характеризуя различие между этими системами малым параметром е и располагая невозмущенным решением, мы ищем возмущенное решение в виде разложения по степеням е. Например, в случае слабой нелинейности линейная система интегрируется непосредственно, а возмущенное решение можно получить в виде ряда. [c.81]

Поведение вырожденной системы иллюстрируется на рис. 2.8, б. Грубо говоря, оно похоже на невырожденное, если только G Ф 0. Различия между ними, существенные для отображений и теории KAM, обсуждаются в п. 3.2а там же кратко рассмотрен особый случай G = 0. Вообще говоря, характерная для вырождения слабая нелинейность приводит к сложному поведению системы, тогда как невырожденный случай оказывается обычно более простым для анализа. [c.130]

Подчеркнем еще раз, что на основе сложившихся представлений теории колебаний и волн можно связать те или иные явления в конкретной системе с ее характеристиками, фактически не решая задачи. Например, когда речь идет о преобразовании энергии одних колебаний в другие в слабо нелинейной системе или среде, будь то волны на воде, электромагнитные колебания в ионосфере или колебания маятника на пружине, можно сказать сразу, что такое преобразование возможно только в случае, когда выполнены определенные резонансные условия между собственными частотами подсистем. [c.12]

Если же при слабой нелинейности дисперсия велика (как, например, для сред, в которых распространяются нелинейные световые волны), то в синхронизме могут оказаться лишь несколько волн, и поэтому можно воспользоваться прямыми аналогиями с процессами в колебательных системах с небольшим числом степеней свободы. Таким образом, эти прямые аналогии возможны, когда фиксирована структура взаимодействующих волн и их немного. Подчеркнем здесь, что эти волны вовсе не обязательно должны быть, как в приведенном примере, синусоидальными в пространстве. Эти волны могут быть сами по себе уже установившимся результатом взаимодействия большого числа гармонических волн (например, нелинейные стационарные волны в средах со слабой дисперсией). Важно лишь, чтобы при взаимодействии друг с другом во времени они вели себя как хорошо детерминированные объекты с известными характеристиками. [c.273]

Рассмотрим одну из основных и в то же время элементарных задач теории нелинейных колебаний и волн — взаимодействие трех связанных осцилляторов с квадратичной нелинейностью. При отсутствии нелинейности, как мы знаем, в системе из трех связанных осцилляторов будут происходить движения, представляющие собой просто суперпозицию колебаний на трех нормальных частотах Ш2, и>з). Уравнения системы, записанные в нормальных координатах, имеют вид -Ь -I- = О (j = 1, 2, 3). Наличие слабой нелинейности приведет к [c.350]

Анализируя взаимодействие в системе трех связанных осцилляторов, мы уже упоминали, что в среде с дисперсией при слабой нелинейности три волны с фиксированной пространственной структурой будут взаимодействовать так же. Правда, условие резонанса должно выполняться теперь и для частот, и для волновых чисел. Однако в методе исследования многоволновых взаимодействий в среде с дисперсией есть свои особенности, которые требуют обсуждения. [c.360]

Итак, задача о распространении волн в слабо нелинейных средах С дисперсией сводится к решению системы укороченных уравнений (1.36) для комплексных амплитуд волн, волновые векторы [c.165]

Как следует из приведенного выше обсуждения, этот метод основан на наличии параметра задачи, зависящего от величины возмущений. В следующих параграфах показано, что этим параметром может быть частота в слабо нелинейной системе, энергетические уровни в задачах квантовой механики, характеристический показатель в нормальном решении линейной задачи с периодическими коэффициентами, волновое число или частота в колебаниях плазмы и волновая скорость или частота поверхностных волн конечной амплитуды. [c.69]

При изучении колебаний слабо нелинейной системы уравнения, описывающие эти колебания, обычно преобразуются к стандартному виду [c.216]

Строго говоря, реальные системы всегда нелинейны, Но если действующую на систему внешнюю силу, можно считать малой, а возникающие под ее влиянием в системе возмущения слабыми,, то. эту систем можно приближенно рассматривать как линейную. [c.12]

Резонансное взаимодействие волн наблюдается во многих физических системах. Общий подход к описанию взаимодействия слабо нелинейных волн развит в работах, посвященных физике плазмы [8-10], а также теории поверхностных и внутренних волн в жидкостях [11-16]. В данной работе этот подход применен к изучению нелинейного взаимодействия поверхностных волн в широких каналах. [c.137]

Эти высшие гармонические компоненты достаточно малы пока система для данной амплитуды колебаний слабо нелинейна, но возрастают по мере роста амплитуды вынужденных колебаний. Если частота одной из возникших за счет нелинейности системы гармонических компонент близка к собственной частоте колебаний системы, то амплитуда этой компоненты может существенно возрасти. В итоге при исходной гармонической вынуждающей силе результирующий колебательный процесс может иметь характер весьма далекий от гармонического с резким увеличением амплитуды тех компонент, частоты которых лежат в резснансной области. При этом, естественно, от вида нелинейных зависимостей (тип нелинейности) существенно зависит возможный характер результирующего процесса. [c.107]

Задачу о распространении такой волны в слабо нелинейной среде можно решать методом ММА. В применении к распределенным системам он имеет некоторые особенности. В сосредо- [c.382]

Схемотехническое проектирование радиотехнических (RF) схем отличается рядом особенностей математических моделей и используемых методов, прежде всего в области СВЧ-диапазона. Для анализа линейных схем обычно применяют методы расчета полюсов и нулей передаточных характеристик. Моделирование стационарных режимов нелинейных схем чаще всего выполняют с помощью метода гармонического баланса, основанного на разложении неизвестного рещения в ряд Фурье, подстановкой разложёния в систему дифференциальных уравнений с группированием членов с одинаковыми частотами тригонометрических функций, в результате получаются системы нелинейных алгебраических уравнений, подлежащие решению. Сокращение времени в случае слабо нелинейных схем достигается при моделировании СВЧ-устройств с помощью рядов Вольтерра. Анализ во временной области для ряда типов схем выполняют с помощью программ типа Spi e путем интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.136]

Особенности волновых процессов в нелинейных системах удобно пояснить на примере одномерных возмущений в энергетически пассивной, слабонелине1шой однородной среде, когда спектральный язык ещё не утрачивает свою пригодность. В линейном приближении поле В. есть суперпозиция нормальных гармонич. В. с частотами й) и волновыми числами к, подчиняющихся дисперс. ур-нию (8). А в нелинейном режиме гармонич, В. взаимодействуют, обмениваясь энергией и порождая В, на новых частотах. В частности, затравочное возмущение на частоте ш сопровождается появлением высших гармоник на частотах 2<в, Зи и т. д. Энергия колебаний как бы перекачивается вверх по спектру. Эффективность этого процесса зависит от дисперс. свойств системы м может быть велика даже при очень слабой нелинейности. Действительно, если дисперсии нет. то В. всех частот распространяются синхронно с одинаковыми Уф, и их взаимодействие будет иметь резонансный, накапливающийся характер, поэтому на достаточно больших длинах (в масштабе к) перекачка энергии может осуществляться весьма эффективно. Если дисперсия велика, то фазовые скорости гармонич. возмущений, имеющих разные частоты, не совпадают, с.т1едовательно, фаза их взаимных воздействий будет быстро осциллировать, что приведёт на больших длинах к ничтожному результирующему эффекту. Наконец, возможны специальные, промежуточные случаи, когда я системе с сильной дисперсией только две (или несколько) избранные В. с кратными частотами имеют одинаковые 1 ф и поэтому эффективно взаимодействуют. В ряде случаев достигается своеобразное спектральное равновесие, когда амплитуды всех синхронных гармоник сохраняются неизменными и суммарное поле имеет вид стационарной бегущей Б, вида (1), при этом в случае сильной дисперсии ф-ция f x—vt) близка к синусоиде, а при слабой — она может содержать участки резкого изменения поля (импульсы, ступеньки и др.), поскольку число гармоник в её спектре велико. [c.324]

Наиб, полно развита теория С. к. для квазигармони-ческих колебаний в слабо нелинейных системах [2—4]. [c.526]

В большинстве случаег определяют голько члены нуле1юго и первого приближения. Практически мате.матические ожидания в правых частях (214) вычисляются для специальных классов случайных возмущений и некоторых нелинейных функций ( ), Асимптотические методы Крылоиа — Боголюбова. Часто приходится исследовать колебательные системы со слабыми нелинейностями и малыми случайными возмущениями типа белого шума. Такие возмущенные системы обычно содержат [c.135]

При отсутствии нелинейных эффектов такой пакет размывает-зя, но наличие слабой нелинейности приводит к стабилизации пакета, а упорядочивающаяся система представляет собой слабодиспер-рирующую среду (малое число звезд) со слабой нелинейностью. Лто-5ы отыскать функцию распределения атомов по узлам в-такой сре-а е, необходимо рассматривать соответствующую нелинейную задачу. В трехмерном случае анализ такой задачи невозможен, но ее одномерный аналог мон<но проанализировать без особого труда. [c.13]

МОЩЬЮ чрезвычайно слабой медно-бериллиевой спиральной пружины. Пружина покрывалась слоем кадмия, который имеет достаточно большой механический гистерезис, что позволяет ей рассеивать энергию в период увеличения амплитуды отклонения массы-наконечника относительно спутника. При максимальном растяжении пружины масса отклоняется от конца штанги на расстояние около 12 м, Штанга длиной 24,5 м предназначена для увеличения гравитационных моментов и относительных перемеш,ений при наличии колебаний спутника. Эта система демпфирует колебания по оси тангажа вследствие ускорения Кориолиса, воз-никаюш,его из-за орбитальной угловой скорости враш,ения относительно оси тангажа. Однако по оси крена процесс демпфирования с помош,ью этой системы носит нелинейный характер и становится относительно нечувствительным к колебаниям с амплитудой ниже 10°. Поэтому в этой системе дополнительно используются стержни с магнитным гистерезисом, которые демпфируют колебания с малыми амплитудами путем взаимодействия с магнитным полем Земли. Более подробные сведения об этой системе стабилизации приведены в работе [52] на рис. 10 показан вид на спутники в полете. [c.197]

Оба приведенных выше примера распространения волн в неоднородной среде были рассмотрены Асано и Оно [1971]. В дополнение к двум этим примерам они рассмотрели также наклонное распространение магнитоакустической волны. Таниути и Вэй [1968] описали два примера распространения волн в однородной среде, а именно волн в движущемся газе и ионно-акустических волн. Используя метод сингулярных возмущений, они развили стройную теорию сведения данной системы уравнений в стандартной форме (ПА.12) без последнего члена, т. е. пренебрегая неоднородностью среды, к одному нелинейному уравнению в частных производных, причем это было сделано при предположениях слабой нелинейности, умеренности эффектов дисперсии и диссипации, а также большой длины волны. Ниже (приложение ИВ) для учета умеренной неоднородности мы обсудим теорию сведения в форме, предложенной Асано и Оно. [c.58]

Это условие разделяет системы на невырожденные fHoldJ Ф 6) или сильно нелинейные, и вырожденные d HJ f О), или слабо нелинейные. Именно невырожденные системы удовлетворяют условиям теоремы KAM. Покажем эквивалентность условий (3.2.16) и (3.2.12). Представляя (3.2.16) в виде [c.189]

Может показаться естественным, что если уже поведение системы с малым числом степеней свободы может быть сложным, то система с бесконечным числом степеней свободы заведомо должна демонстрировать случайное поведение. Однако в общем случае это не так. В свое время была выдвинута гипотеза о том, что в системах с очень большим числом степеней свободы наличия даже слабой нелинейности достаточно, чтобы энергия, запасенная в отдельных степенях свободы, распределилась по всем модам и таким образом установилось термодинамическое равновесие. Для поддержания этих представлений в конце 40-х годов была проведена серия численных экспериментов с моделями нелинейных цепочек из большого числа частиц, но термализации не обнаружилось — система периодически возвращалась в состояние с начальным распределением энергии (парадокс Ферми-Паста-Улама). В действительности нелинейные волновые системы бывают двух типов — интегрируемые (или близкие к ним), они демонстрируют лишь простое периодическое или квазипериодическое поведение, и неинтег-рируемые. Неинтегрируемые системы при достаточно большой начальной энергии стохастизуются. По случайному стечению обстоятельств цепочка, с которой работали Ферми, Паста и Улам, при выбранных ими значениях параметров оказалась близкой к интегрируемой. [c.15]

Таким образом, при слабой нелинейности взаимодействие трех осцилляторов в системе с сосредоточенными параметрами или трех нормальных мод резонатора может быть эффективным лишь в случае, когда выполнено условие (17.2). Причем, если мы рассматриваем среду с дисперсионной характеристикой такой, как на рис. 17.16, в, то условие резонанса в этом случае должно быть выполнено не только для частот, но и для волновых чисел и>1 + Ш2 = з, к1 -Ь кг = кз [1]. Итак, для слабонелинейной консервативной системы с тремя степенями свободы исходные уравнения можно записать в виде (17.1). Воспользуемся для их решения асимптотическим методом (см. гл. 16), отыскивая решение в виде [c.352]

Если же начальное возмущение не локализовано в пространстве, а, например, периодическое, характер его эволюции будет совершенно иной — нарастающие в результате модуляционной неустойчивости синусоидальные волны модуляции будут нелинейным образом искажаться на периоде волны образуются одни или несколько солитонов, но затем солитоны сглаживаются, и волна вновь приходит в начальное состояние, потом все повторяется и т. д. Явление возвращаемости наблюдалось экспериментально и для обсуждаемого нами примера — гравитационных волн на глубокой воде [11, 17, 45]. Соответствующие численные результаты представлены на рис. 20.3 [11, 18, 19, 45]. На рис. 20.4 показаны результаты физических экспериментов с нелинейными ЬС-цепочками, которые приближенно описываются уравнениями типа КдВ с кубичной нелинейностью. При синусоидальном возбуждении цепочки на границе наблюдалась почти полная возвращаемость вдоль цепочки синусоида трансформировалась в периодическую последовательность солитонов, т. е. возбуждалось большое число осцилляторов-гармоник, затем солитоны вновь превращались в синусоиду — все гармоники возвращали энергию первой гармонике. Впервые этот эффект в численном эксперименте наблюдали Ферми, Паста и Улам [20]. Они пытались подтвердить гипотезу о том, что в системах с очень большим числом степеней свободы наличия даже слабой нелинейности достаточно, чтобы энергия, запасенная в отдельных степенях свободы (модах), равнораспределилась по всем модам (перемешивание) и таким образом установилось бы термодинамическое равновесие (тер-мализация). Ферми, Паста и Улам экспериментировали с моделями нелинейных линейных цепочек из большого числа частиц и термализации [c.420]

Несмотря на то что этот метод дает равномерно пригодные разложения для периодических решений в слабо нелинейных колебательных системах, Найфэ [1966] показал, что эти разложения не содержат никакой информации, кроме предельных циклов и предельных точек. Вообще, если амплитуда изменяется, то метод растянутых координат неприменим. [c.114]

Соотношения (7.5.4) и (7.5.5) показывают ), что в автоколебательной системе с двумя контурами всегда осуществляется сильная связь (612621 = 4Р1Р2)- Поэтому бигармонический режим в такой системе невозможен. В газовом лазере преимущественно реализуется случай слабой связи. Это различие обусловлено тем, что в системе с двумя контурами (см. 7.5) усиление колебаний обеих частот происходит в одном и том же нелинейном активном элементе, например в полевом транзисторе или лампе. В газовом же лазере с неоднородным уширением линии поглощения усиление накаждой из генерируемых мод происходит за счет энергии различных атомов активной среды. Поэтому взаимное влияние колебаний различных частот оказывается малым и возможна одновременная генерация двух независимых колебаний. [c.367]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...