Тензор напряжений

Известным примером тензора может служить тензор напряжений, который может быть введен следующим образом. Один из методов обнаружения напряженного состояния в точке тела состоит в том, что делается разрез (разумеется, мысленный) через эту точку и наблюдается, с какой силой каждая из двух частей тела воздействует на другую. (Эта сила однозначно определяется как сила, которая должна быть приложена к поверхности разреза с тем, чтобы сохранить условия, которые существовали перед тем, как [c.20]

Разумеется, при использовании декартовой системы координат все типы компонент неразличимы. В случае тензора напряжений [c.23]

Мы должны теперь устранить ту неопределенность, которая осталась в определении тензора напряжений. Определяя тензор [c.24]

Мы завершаем определение тем, что при произвольном выборе одной из частей тела выбираем внешнее направление нормали к ее поверхности, а в качестве соответствующей силы выбираем ту, с которой другая часть воздействует на выбранную нами (рис. 1-2). Если принять такое соглашение, то сразу становится очевидным, что нормальные компоненты тензора напряжений (например, Гц) положительны, если вдоль выбранного направления осуществляется растяжение, и отрицательны, если осуществляется сжатие. [c.24]

Можно показать, что принцип сохранения момента импульса предполагает, что тензор напряжений симметричен, т. е. Т = Т . Это утверждение справедливо в так называемом неполярном случае, т. е. в случае отсутствия объемно-распределенных пар и внутренних моментов напряжений. [c.46]

В этой книге рассматривается только неполярный случай, для которого принцип сохранения момента импульса не налагает иных ограничений, кроме требования симметричности тензора напряжений. Таким образом, этот принцип не будет затрагиваться в последующем изложении, а тензор напряжений всегда будет предполагаться симметричным. [c.46]

Для жидкостей с постоянной плотностью реологическое уравнение состояния определяет тензор напряжений лишь с точностью до произвольного аддитивного изотропного тензора. Тензор полных напряжений Т можно разбить на следующие два слагаемых [c.47]

Вязкость ньютоновских жидкостей определяется уравнением (1-9.4) как половина коэффициента пропорциональности в зависимости, связывающей тензор напряжений т с тензором растяжения D. Уравнение (1-9.4) предполагает, что компоненты тензора напряжений должны быть пропорциональны соответствующим компонентам тензора растяжений для любого заданного участка течения. Одним из хорошо известных следствий уравнений Навье — Стокса (уравнение. (1-9.8)) является закон Хагена — Пуазейля, связывающий объемный расход Q в стационарном прямолинейном течении жидкости по длинной круглой трубе с градиентом давления в осевом направлении [c.55]

В литературе встречается довольно много уравнений состояния, не подчиняющихся принципу объективности поведения материала. В частности, некоторые работы по линейной вязкоупругости страдают от этого недостатка. Это весьма прискорбно, потому что имеющиеся экспериментальные данные оказываются бесполезными, поскольку эти результаты были опубликованы в форме, полученной после их обработки на основе неинвариантного (а следовательно, физически невозможного) уравнения состояния. В частности, в гл. 6 мы увидим, что в случае уравнений состояния, включающих производные по времени от тензора напряжений, удовлетворять указанному принципу следует с особой тщательностью. [c.59]

Рассмотрим вначале тензор напряжений Т. Будем помечать звездочкой векторы и тензоры в новой системе отсчета, как мы это делали в разд. 1-5. Тогда мы имеем, согласно определению Т, [c.60]

После установления принципа объективности поведения материала можно проанализировать нелинейное реологическое уравнение состояния, устанавливающее соответствие между тензором напряжений т и тензором растяжения D ) [c.63]

Это является определенным недостатком уравнения (2-3.4), который не может быть преодолен без использования реологических соотношений, более сложных, чем уравнение (2-3.1). Иными словами, поведение реальных материалов, имеющих в вискозиметрическом течении, отличную от нуля разность первых нормальных напряжений (тц — Х22 фО), не может быть объяснено на основе предположения, что тензор напряжений однозначно определяется тензором растяжения. [c.66]

Неадекватность уравнения (2-3.1) в отношении корректного предсказания поведения реальных материалов даже в течениях столь простого типа, как линейное течение Куэтта, выдвигает проблему построения реологического уравнения состояния более общего вида, в котором тензор напряжений т уже не является однозначно определенной функцией тензора растяжения. [c.73]

Физическая размерность тензора определяется при помощи интерпретации операторного определения тензора как операции умножения. Иными словами, равенство Ь = А-а правильно в смысле размерности, если произведение размерностей а и А дает размерность Ь. Например, из равенства dt = T-ds, определяющего тензор напряжений, мы заключаем, что размерностью Т будет размерность силы, приходящейся на единицу площади. [c.80]

Уравнение (5-1.23) означает, что тензор напряжений, не считая несущественного поворота, остается постоянным вдоль траектории любой материальной точки — концепция, которая, разумеется, интуитивно связывается с гипотезой предыстории постоянной деформации. Заметим, что это никоим образом не значит, что тензор напряжений является постоянным в точках, не лежащих на той же самой траектории. Фактически предыстории деформации различных материальных точек могут существенно отличаться друг от друга, даже если они постоянны во времени для любой заданной материальной точки. [c.172]

Тензор напряжений при f = О задается выражением [c.177]

Тензор напряжений при t = О дается выражением То = т (0) = Н (f N), [c.192]

Поскольку тензор F постоянен по пространственным координатам, то существует тензор напряжений т, и, следовательно, уравнение (5-1.37) сводится к виду [c.194]

Уравнения второго типа можно представить себе как частные случаи уравнения (4-3.12) для простой жидкости, когда функционал определяется при помощи одного или нескольких интегралов. Уравнения состояния как дифференциального, так и интегрального тина разрешены относительно тензора напряжений. Этого нельзя сказать об уравнениях состояния релаксационного типа. Действительно, они содержат по меньшей мере одну производную по времени от тензора напряжений. Скорость изменения (или релаксация) напряжений, фигурирующая в уравнениях такого типа, дает название этому типу уравнений. [c.211]

Перед записью других форм уравнения Максвелла полезно сделать следующее замечание. Релаксационные уравнения первого порядка, т. е. уравнения, не содержащие других производных тензора напряжений, кроме первой, разрешенные явно относительно скорости изменения тензора напряжений, имеют следующий общий вид [c.235]

Из этого уравнения следует явно, что для уравнения состояния, подобного уравнению (6-4.4), величина tr т не постоянна во времени, а зависит от D (t) и, следовательно, от истории движения. Уравнение (6-4.24) указывает также на то, каким образом нужно модифицировать (6-4.4) для того, чтобы получить уравнение состояния с тензором напряжений, всегда имеющим нулевой след. В левой части уравнения (6-4.4) мы должны добавить член [c.236]

Очевидно, что включение члена, определяемого уравнением (6-4.25), эквивалентно выбору значения Ь = — /3 а в общем операторе временного дифференцирования, определяемом уравнением (6-4.3). Очевидно также, что при таком выборе значение с становится несущественным, поскольку содержащий его член обращается в тождественный нуль. Было предложено несколько релаксационных уравнений состояния, построенных таким образом, что напряжение определялось в виде тензора с нулевым следом. Следует заметить, однако, что добавление к заданному релаксационному уравнению состояния членов типа (6-4.25) полностью изменяет скорректированное уравнение по сравнению с исходным. А именно, это не только преобразует рассматриваемый ранее тензор напряжений к тензору с нулевым следом, но и полностью изменяет реологическое поведение. Если, например, уравнение (6-4.12) предсказывает постоянство сдвиговой вязкости (см. (6-4.8)), то модификация уравнения (6-4.12) к виду уравнения с бесследным тензором, т. е. к виду [c.237]

Оказывается, что уравнения такого же типа, как уравнения (6-4.37) и (6-4.38), в которых используются ассоциированные-производные тензоров напряжений и скоростей деформаций отличные от верхней или нижней конвективных производных, не имеют эквивалентов в виде простых интегральных уравнений. Тем не менее остается справедливым утверждение, что уравнение-общего вида [c.239]

Это, однако, несправедливо для неньютоновских жидкостей. Действительно, для произвольного уравнения состояния, отличного от ньютоновского, уравнение (7-1.11) уже не будет означать, что дивергенция тензора напряжений равна нулю для несжимаемых жидкостей, и, следовательно, безвихревые поля течения, удовлетворяющие уравнению (7-1.6), не будут решениями полных уравнений движения. Следовательно, результаты классической гидромеханики применимы к неньютоновским жидкостям только в рамках ограничений, налагаемых неравенством (7-1.7). [c.257]

Таким образом, векторы базиса совпадают с так называемыми главными осями тензора напряжений. [c.289]

Очевидно, что, поскольку, вообще говоря, Ш (s) Ф О, главные оси тензора напряжений будут различаться в различные моменты времени t (т. е. базис не зависит от s, но зависит от t). Главные оси тензора напряжений будут неподвижными только при рассмотрении вращающейся системы отсчета. [c.289]

Вернемся к схеме, представленной на рис. В.1. Анализ зарождения макроразрушения проводится на основании данных о НДС (включая изменение НДС во времени) элементов конструкций и локальных критериев разрушения, сформулированных в терминах механики сплошной среды в компонентах тензоров напряжений и деформаций и (или) их инвариантов. Традиционно процедура анализа заключается в сравнении в каж- [c.5]

X, < р и р соответственно компоненты тензоров напряжений, скоростей пластических деформаций, микронапряжений, активных напряжений и девиатора микронапряжений в направлении действия одноосной нагрузки, (1.58) с учетом (1.59) будут иметь вид [c.35]

Рис. 1-2. К определению тензора напряжений. ds, — вектор, паправленпый во внешность области 2 dt — сила воздействия области 1 на область 2.

Необходимо обсудить роль динамического уравнения по отношению как к а, так ъкр. Предположим, что поле скорости определено и известно реологическое уравнение состояния для данной жидкости. Если это реологическое уравнение принадлежит к тину уравнений с девиаторным тензором напряжений, то т вычисляется на основании известной кинематики и далее из динамического уравнения (уравнение (1-7.13)) определяется Vp. Следовательно, поле давлений вычисляется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Если же, как это бывает наиболее часто, реологическое уравнение состояния принадлежит к типу уравнений, содержащих недевиаторные избыточные напряжения, то тензор т определяется по вычисленному т из уравнения (1-8.4), а Vp — из уравнения (1-7.13), как и ранее. [c.47]

Очевидно, что первым шагом в этом направлении является предположение о нелинейном характере зависимости между тензорами напряжений и растяжения. Однако, перед тем как рассматривать это предположение, уместно проанализировать требования инвариантности для уравнений состояния, чтобы можно было избежать физически неосуществимых форм этого уравнения. Следуюпщй раздел посвящен такому анализу. [c.57]

Рассмотрим теперь линейное течение Куэтта жидкости Рейнера — Ривлина. Из уравнения (2-3.4) получаются следующие выражения для компонент тензора напряжений (см. пример 2А) [c.65]

Следуя Трусделлу и Ноллу [1], мы подразделяем уравнения состояния на три тина дифференциальные, интегральные и релаксационные. К первому типу принадлежат уравнения, определяющие тензор напряжений как функцию дифференциальных кинематических величин, относящихся лишь к моменту наблюдения. Тем не менее эти уравнения отражают концепцию памяти жидкости, поскольку деформационные тензоры более высокого порядка содержат некоторую информацию о прошлых деформациях в смысле, уже обсуждавшемся в разд. 3-2. [c.211]

Следует хорошо понять физический смысл того обстоятельства, что V-T = 0. В теории идеальной жидкости полагают х = О и, следовательно, т = О, так что равенство V-т = О тривиально. Для ньютоновской несжимаемой жидкости в случае безвихревого течения V т = О (т. е. результирующая сила вследствие действия напряжений па любую замкнутую поверхность равна нулю), но сами напряжения не равны нулю. То, что дивергенция тензора напряжений может быть равна нулю, хотя сами напряжения и не равны нулю, не неожиданно действительно, в гл.. 5, например, это было показано для течения удлинения. Заметим, что диссипацрш энергии т Vv всегда равна нулю в идеальной жидкости, но отлична от нуля в ньютоновской жидкости, даже если последняя участвует в изохорном безвихревом течении, где V - т = 0. Фактически эта интересная задача ньютоновской гидромеханики была первоначально решена в работах [2, 3] при помощи вычисления полной скорости диссипации в безвихревом поле течения, удовлетворяющем уравнению (7-1.6). [c.256]

Для простой жидкости в общем случае можно показать, что матрица тензора напряжений в момент t в том же самом ортонормаль-ном базисе также имеет диагональный вид [c.289]

Современное состояние вопроса общего математического описания дисперсных систем нельзя признать до-статочло удовлетворительным, несмотря на растущий интерес к этой проблеме. Каж травило, в работах, шо-священных этому вопросу, фактически используется феноменологический подход к исследованию дисперсного потока в целом. Идея условного континуума п03(В0Ляет полностью использовать математический аппарат механики сплошных сред, но несет с собой погрешности физического порядка тем более существенные, чем значительней макроднскретность системы. Системы таких уравнений, полученные рядом авторов как общие, все же не охватывают класс дисперсных потоков во всем диапазоне концентраций (вплоть до плотного движущегося слоя). Они не учитывают качественного изменения структуры потока и в связи с этим изменения закономерностей распределения частиц, появления новых сил (например, сухого трения), изменения с ростом концентрации (до предельно большой величины) условий однозначности и пр. В основном большинство работ посвящено турбулентному течению без ограничений по концентрациям, хотя при определенных значениях р наступает переход к флюидному транспорту, а затем — плотному слою. Сама теория турбулентности применительно к дисперсным потокам находится по существу в стадии становления (гл. 3). Наиболее перспективные методы — статистические (вероятностные) применяются мало, по-видимому, в силу недостаточной изученности временной и пространственной структур дисперсных систем Общим недостатком предложенных систем уравнений является их незамкнутость, которая объясняется отсутствием конкретных данных о тензорах напряжений и [c.32]

Здесь — компоненты тензора напряжений 6ij — символ Кро-некера От — гидростатическая компонента тензора напряжений, От = Оц13. [c.14]

Будем полагать, что в момент начала процесса неустойчивого деформирования за счет наличия пор нагруженность материала такова, что его реология начинает подчиняться закону упругопластического, а не упруговязкого деформирования. При этом принимается, как и в подразделе 2.2.2, что локальное изменение деформации в характерном сечении не приводит к изменению соотношения компонент тензора напряжений (а следовательно, и параметров qn = a fOi и q,n omfoi) в структурном элементе. Окончательно условие достижения критической деформации при межзеренном разрушении формулируется аналогично условию предельного состояния в случае внутризеренного вязкого разрушения [c.156]

Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей (1978) -- [ c.21 , c.24 ]

Теоретическая физика. Т.4. Гидродинамика (1986) -- [ c.71 ]

Курс теоретической механики. Т.1 (1982) -- [ c.117 , c.129 ]

Основы теории упругости и пластичности (1990) -- [ c.11 ]

Методы и задачи тепломассообмена (1987) -- [ c.12 ]

Динамика многофазных сред. Ч.1 (1987) -- [ c.3 , c.20 , c.25 , c.31 , c.55 , c.78 , c.136 , c.146 , c.252 ]

Прикладная механика твердого деформируемого тела Том 2 (1978) -- [ c.464 , c.465 , c.469 , c.479 ]

Гидрогазодинамика Учебное пособие для вузов (1984) -- [ c.17 ]

Сопротивление материалов (1976) -- [ c.113 ]

Теплоэнергетика и теплотехника Общие вопросы Книга1 (2000) -- [ c.402 , c.405 ]

Теория пластичности (1987) -- [ c.113 , c.117 ]

Ползучесть в обработке металлов (БР) (1986) -- [ c.29 , c.81 ]

Ротационные приборы Измерение вязкости и физико-механических характеристик материалов (1968) -- [ c.11 ]

Механика сплошных сред (2000) -- [ c.89 ]

Механика жидкости и газа (1978) -- [ c.9 , c.59 ]

Конструкционные материалы Энциклопедия (1965) -- [ c.2 , c.227 ]

Математическое моделирование процессов обработки металлов давлением (1983) -- [ c.119 ]

Методы граничных элементов в механике твердого тела (1987) -- [ c.16 , c.59 ]

Механика слоистых вязкоупругопластичных элементов конструкций (2005) -- [ c.25 ]

Статистическая механика неравновесных процессов Т.2 (2002) -- [ c.164 ]

Динамика разреженного газа Кинетическая теория (1967) -- [ c.32 , c.150 ]

Основы физики и ультразвука (1980) -- [ c.16 ]

Лекции по гидроаэромеханике (1978) -- [ c.53 ]

Теоретическая гидродинамика (1964) -- [ c.530 ]

Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1955) -- [ c.53 , c.64 ]

Краткий курс сопротивления материалов Издание 2 (1977) -- [ c.104 ]

Теория обработки металлов давлением Издание 2 (1978) -- [ c.28 , c.35 , c.59 ]

Механические свойства металлов Издание 3 (1974) -- [ c.2 , c.33 , c.36 , c.39 , c.131 , c.292 , c.354 ]

Теория упругости и пластичности (2002) -- [ c.18 , c.20 ]

Теоретическая гидромеханика Часть2 Изд4 (1963) -- [ c.378 ]

Теория и задачи механики сплошных сред (1974) -- [ c.72 ]

Пластичность и разрушение твердых тел Том1 (1954) -- [ c.183 ]

Пластичность и разрушение твердых тел Том2 (1969) -- [ c.154 ]

Теория упругости (1975) -- [ c.42 ]

Курс теоретической механики для физиков Изд3 (1978) -- [ c.473 ]

Механика сплошной среды Часть2 Общие законы кинематики и динамики (2002) -- [ c.239 ]

Теория упругости Изд4 (1959) -- [ c.27 ]

Основы прогнозирования механического поведения каучуков и резин (1975) -- [ c.343 ]

Механика жидкости и газа Издание3 (1970) -- [ c.86 , c.90 ]

Краткий курс сопротивления материалов с основами теории упругости (2001) -- [ c.30 ]

Пластичность Ч.1 (1948) -- [ c.19 , c.20 ]

Механика сплошной среды Т.1 (1970) -- [ c.145 ]

Акустика неоднородной движущейся среды Изд.2 (1981) -- [ c.10 ]

Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек (1982) -- [ c.16 ]

Общие принципы волновой механики (1947) -- [ c.46 , c.51 , c.61 ]

Сопротивление материалов (1962) -- [ c.23 , c.80 ]

Механика сплошных сред Изд.2 (1954) -- [ c.640 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...