Тензоры напряжений при малых деформациях

Тензоры напряжений при малых деформациях. Если при изучении напряженного состояния в окрестности произвольной точки сплошной среды пространственный и материальный градиенты деформации удовлетворяют соотношениям [c.60]

Тензоры напряжений при малых деформациях 61 [c.61]

Использование в теории пластичности.деформационной теории, уравнения которой, в сущности, описывают нелинейную упругость, обосновано только при нагружениях, близких к простым. Можно показать, что пропорциональное возрастание внешних нагрузок — объемных f, = pFf и поверхностных /, = p/f — приводит к простому нагружению (т. е. к пропорциональному возрастанию компонентов тензора напряжений Qij = pa j), если при малых деформациях и несжимаемости материала интенсивности напряжений и деформаций связаны степенной зависимостью [c.746]

Количестве 1но У. выражается в том, что компоненты тензора напряжений (см. Напряжение ме.ханическое) в изо.-термич. условиях являются ф-циями компонентов тензора деформации (см. Деформация), к-рые универсальны для данного материала и не зависят от того, в каком порядке происходит изменение разл. компонентов деформации до достижения ими рассматриваемых значений. В большинстве материалов (напр., в металлах, керамике, горных породах, древесине) при малых деформациях зависимости между напряжениями и деформациями можно считать линейными и описывать обобщённым Гука законо.м. Законам нелинейной У. можно придать форму, подобную обобщённому закону Гука, заменив модули упругости нек-рыми универсальными ф-циями (см. Упругости теория). [c.235]

Процесс деформирования пластичных материалов может быть разделен на две стадии. Первая — упругое деформирование при малых деформациях. Компоненты тензоров напряжений и деформаций при этом связаны законом Гука (гл. 6). Прежде чем перейти к установлению физических зависимостей на второй стадии — пластического деформирования, следует определить условия возникновения пластических деформаций. В простейшем случае одноосного напряженного состояния это условие соответствует равенству напряжений пределу текучести От, при котором на диаграмме ст 8 имеется площадка текучести. При сложном напряженном состоянии условие появления пластических деформаций устанавливается на основании двух критериев, соответствующих двум теориям прочности ( 12.5). [c.503]

Компоненты тензоров условных напряжений приобретают более ясный механический смысл при малой деформации окрестности материальной точки в силу выполнения равенств (1.84). В этом случае [c.51]

Как и при геометрически линейном деформировании, все три определения упругого материала, рассмотренные в 2.1.2, теоретически эквивалентны при малой деформации тела, материал которого подчиняется закону Гука. Тензоры напряжений s, S и деформаций е, Е связаны преобразованиями поворота (см. 1.3.4 и 1.4.1) [c.77]

В литературе [8, 41, 98] используются методы решений физически нелинейных задач, но линейных геометрически, основанные на законе упругости (1.3.9), где модули упругости С и К являются функциями инвариантов тензора деформаций или напряжений. Например, считают их зависящими от гидростатического давления [180]. Объясняют нелинейный эффект тем, что уже при малых деформациях в сжатом слое развиваются значительные напряжения типа гидростатического давления, которые сказываются на механических свойствах материала, [c.57]

Ограничиваясь расчетом оболочек из анизотропных упругих материалов при малых деформациях, для компонент тензора напряжений и их приращений Дз имеем [c.286]

Опыт показывает, что при малых деформациях напряжение пропорционально де( юрмации. Этот факт, установленный Гуком для простейших деформаций, составляет формулировку известного закона Гука, справедливого только для достаточно малых деформаций и напряжений. Применительно к акустике бесконечно малых амплитуд мы можем ограничиться рассмотрением идеально упругих сред, для которых связь между напряжением и деформацией линейна. Поскольку в общем случае напряжение и деформация определяются тензорами второго ранга, имеющими по шесть независимых компонент, то естественным обобщением закона Гука будет линейная зависимость между ними. Тогда обобщенный закон Гука можно сформулировать так компоненты напряжения в данной точке тела являются линейными и однородными функциями всех компонент деформации, т. е. [c.20]

Добавим, что при соблюдении предыдущих предположений тензоры упругой, пластической и результирующей деформаций должны быть соосны тензору напряжений, причем это требование должно удовлетворяться в течение всего процесса пластического деформирования (при малых деформациях). [c.436]

Первое из этих соотношений показывает, что рассматриваются малые деформации, т. е. кинематически линейная деформация упругого тела второе является определением тензора напряжений при помош и [c.447]

Конечно, норма А тензора А, например тензора напряжений или градиента деформаций, определяется, как обычно, формулой I А 1= АА , и два тензора А и В близки друг к другу, если норма А- В мала. Однако предыстории представляют собой функции, заданные на О, с ), и топология линейного пространства таких функций / может быть задана введением некоторой нормы или полунормы ) . Различные выборы нормы или полунормы приводят к различным интерпретациям общей аксиомы. Например, если мы рассматриваем упругий материал и считаем его реакцию функцией от Р—1, то при выборе Р — 1 = 1 Р(/)—11 эта аксиома тривиально удовлетворяется для каждого упругого материала, реакция которого представляет собой функцию, непрерывную при Р=1. Однако выбор такой полунормы не был бы полезен в теориях материалов с памятью, поскольку он никак не учитывает значений Р (5) при 5 > 0. Аналогично жидкость Навье —Стокса удовлетворяет нашей аксиоме при выборе Р — 1 Ц = Р( ) — [c.377]

Рассмотрим соотношения Сц — Оц для изотропного линейно-упругого тела при малых деформациях. Для изотропного тела потенциал напряжений 7(e ) может зависеть лишь от трех инвариантов тензора деформаций. В качестве трех независимых инвариантов выберем следующие [c.15]

Если рассматривать уравнение (6-3.1) как справедливое для любой предыстории, а не только в предельном случае малых деформаций, оно представляет собой пример интегрального уравнения состояния. Физическая предпосылка, лежащая в основе уравнения (6-3.1), ясна предполагается, что все деформации, которые имели место в прошлом и измеряются при помощи тензора Коши, дают линейный вклад в текущее значение напряжения. Весовая функция / (s) представляет собой материальную функцию, которая полностью определяет Частный тип материала, удовлетворяющего такому правилу линейности. Линейное соотношение, выражаемое уравнением (6-3.1), известно также как принцип суперпозиции Больцмана. [c.216]

Однако следует представлять себе, что при рассмотрений деформаций произвольной величины концепция линейной связи между напряжениями и деформациями уже не может однозначно определяться из физических соображений. Это происходит потому, что деформации можно измерить бесконечным числом способов, которые являются равно обоснованными и среди которых не существует средств априорного выбора на основе соображений механики сплошной среды. Мы можем использовать тензоры U, С или либо ввести другие меры деформации. При этом линейная связь между напряжением и, скажем, С соответствует нелинейной связи между напряжением и, скажем, С" . Таким образом, линейное соотношение можно найти лишь после того, как мы знаем результаты измерения деформаций, для которых устанавливается это соотношение. Однозначная концепция линейности существует только в предельном случае бесконечно малых деформаций, поскольку в этом случае линейность соотношения между т и одной из величин, определяющих деформацию, означает также линейность связи между т и любой из них ). [c.216]

Ранее отмечалось, что уравнения теории малых упругопластических деформаций, строго говоря, справедливы только при простом нагружении, т. е. в том случае, когда компоненты тензора напряжений меняются при увеличении нагрузок пропорционально одному параметру. Как было показано ранее на примере однородного напряженного состояния (напряженное состояние одинаково во всех точках тела), простое нагружение реализуется в том случае, когда внешние нагрузки меняются пропорционально одному параметру. Однако пока не известно, можно ли осуществить в случае произвольного тела такое нагружение, при котором направляющий тензор напряжений останется в процессе нагружения от начала и до конца неизменным, будучи различным в разных точках те.па. [c.309]

Анизотропным однородным будем считать такое тело, упругие свойства которого в разных направлениях различны, т. е. соотношения ежду напряжениями и деформациями (между и в случае малых деформаций определяются тензором упругих постоянных , компоненты которого изменяются при преобразованиях системы координат. Такими свойствами обладают кристаллы и конструктивно-анизотропные тела. Среди последних, например, стеклопластики (тела, образованные густой сеткой стеклянных нитей, скрепленных различными полимерами—смолами), многослойные фанеры и др. (рис. 15 а — полотняное переплетение стеклоткани б—многослойные модели армированных стеклопластиков). В случае конструктивной анизотропии предполагается, что малый объем бУ содержит достаточное число ориентирующих элементов, т. е., по выражению А. А. Ильюшина, является представительным. [c.42]

Под действием внешних сил форма твердого тела меняется. Если величина напряжения меньше некоторого критического значения, называемого пределом упругости, то после снятия напряжения первоначальные его размеры и форма восстанавливаются. Предел упругости зависит от типа веш,ества и находится непосредственно из эксперимента. При малых напряжениях, как показывает громадный экспериментальный материал, деформация пропорциональна напряжению. Для многих твердых тел при этом достаточно хорошо выполняется обобщенный закон Гука, согласно которому компоненты тензора деформации ец в данной точке тела являются линейными функциями компонент тензора напряжений в той же точке. Справедлив и обратный закон. Математическая формулировка обобщенного закона Гука имеет вид [c.195]

За точкой А, т. е. при дальнейшем увеличении внешнего растягивающего усилия, осуществляется участок АВ нелинейной обратимой зависимости р от бц. Деформации на этом участке диаграммы также обычно весьма малы (меньше 1%). Изображающая состояние образца точка на участке АВ (и соответственно на А В как при нагрузке, так и при разгрузке двигается по одной и той же кривой АВ и А В . Следовательно, при рц (И)< Р11 <С Р11 В) образец ведет себя тоже как упругое тело, но с динамически нелинейной зависимостью напряжений от деформаций. Понятие динамической нелинейности в данном случае относится к геометрически малым деформациям, для которых можно еще пользоваться приближенными линейными формулами для компонент тензора деформаций при их вычислении через компоненты вектора перемещений. [c.411]

Связи между напряжениями и деформациями для различных пропорциональных путей нагружения вообще различны и зависят от параметрического тензора р . При геометрически малых деформациях в линейно-упругом по Гуку конечном фиксированном теле пропорциональное изменение внешних нагрузок ведет к пропорциональному изменению компонент напряжений и компонент тензора деформаций во всех точках тела. При конечных деформациях пропорциональное изменение компонент тензора деформаций во всех точках тела в общем случае геометрически невозможно ). [c.433]

Пусть (г), 81 (г), г4 (г) — решение граничной задачи для упругого тела, деформации которого сопровождаются большими углами поворота при малых удлинениях и сдвигах, не превосходящих предела пропорциональности. Тогда компоненты тензора деформации e j (г) и напряжений о (г), а также вектора перемещений И (г) будут удовлетворять закону упругости (5.1), нелинейные уравнениям равновесия (5.4), соотношениям (5.5) и граничным условиям (5.6). Прямой подстановкой можно показать, что решение 8 ( , г), t, г), t,r) граничной задачи для такого [c.297]

На первом этапе поликристаллический материал с микродефектами моделируется при помощи некоторой сплошной, но регулярно неоднородной среды, например i), при помош,и однородной упругой изотропной среды со сферическими анизотропными включениями. Таким образом, модель первого этапа —это композитный материал. Далее выделяется так называемый характерный объем ). Это минимальный объем, содержаш,ий такое число включений, которое позволяет считать, что тело в рассматриваемом объеме макроскопически однородно. Последнее понятие трактуется так. Если на поверхности макроскопически однородного тела в рассматриваемом объеме задать нагрузки, которые в абсолютно однородном теле вызвали бы однородное напряженное состояние, то длина волны флуктуаций полей тензоров напряжений и деформаций должна быть пренебрежимо мала по сравнению с линейными размерами тела, имеющего обсуждаемый объем. [c.594]

Для обобщения моделей предыдущего параграфа на случай сложного напряженного состояния удобно исходить из геометрической интерпретации процесса нагружения. Выделим в исследуемом теле элемент в форме параллелепипеда настолько малого размера, что его напряженное состояние допустимо считать однородным. Отнесем этот элемент к осям х , лгз, (рис. 10.7) и обозначим компоненты напряжений, действующих по его граням, через Oij i, /=1, 2, 3). Так как тензор напряжения с компонентами 0,7 симметричен (ajy = ay,), то для характеристики напряженного состояния выделенного элемента достаточно задания шести величин ст,у. Сопоставим напряженному состоянию элемента точку с декартовыми координатами в шестимерном пространстве, которое будем называть пространством напряжений. Ненагруженному состоянию элемента отвечает в пространстве напряжений начало координат. Нагружение образца сопровождается изменением значений и, значит, в пространстве напряжений точка, изображающая напряженное состояние исследуемого элемента, вычерчивает некоторую траекторию —путь нагружения. При одноосном напряженном состоянии все 0 у, кроме одного, например, Сц, равны нулю. В этом случае путь нагружения совпадает с осью СТц. Появление пластической деформации согласно моделям предыдущего параграфа связано с достижением Оц значения характерного для данного материала. Таким образом, на оси Ои можно выделить такую содержащую начало координат область, внутри которой состояние материала при первоначальном нагружении упруго. На рис. 10.8 эта область обозначена Q ее границами являются точки с координатами 1 а,, что соответствует случаю равных пределов текучести при растяжении и сжатии. [c.729]

Предположим, что поперечные сечения при деформировании остаются плоскими и перпендикулярными к деформированной оси стержня, а нормальные напряжения на площадках, параллельных оси, пренебрежимо малы. Существенными из компонент тензоров напряжений и деформаций являются только (Тц и вц. Растяжением оси пренебрегают. Потенциальная энергия деформации и кинетическая энергия связаны с прогибом стержня w следующим образом [c.152]

В соответствии с теоремой Адамара, для того чтобы конфигурация упругого тела была устойчива по отношению к малым деформациям для любой смешанной граничной задачи, приведенное локальное неравенство должно выполняться в каждой точке [274]. В работе [227] приведено обобщение этой теоремы на случай упругопластических тел, которое распространяет данное ограничение на тензоры, определяющие связь между приращениями напряжений и деформаций как при разгрузке, так и при активном нагружении. [c.195]

T. e. тензор напряжений Коши при бесконечно малой деформации материальной частицы. [c.49]

При бесконечно малой деформации материальной частицы все скорости тензоров напряжений превращаются в материальную производную тензора напряжений Коши, которая в декартовой системе отсчета, записанная через компоненты, имеет следующий вид [c.55]

Например, если принять, что материал пластически несжимаем, то при малых деформациях компоненты тензора eg образуют девиатор и размерность соответствующего пространства допустимых значений для компонент равна пяти. Однако в этом случае обычно принимается, что в условия пластичности входит только девиатор напряжений Если же допустить, что в (3.1) компоненты девиатора е у могут зависеть только от компонент девиатора напряжений р ч, то и в этом случае исключаются взаимнооднозначные соотношения вида (3.1), так как размерности пространств допустимых значений компонент е у и р У равны соответственно пяти и четырем. [c.429]

Если материал пластически несжимаем, то при малых деформациях тензор пластических деформаций еу является девиа-тором. Легко видеть, что предыдущие общие выводы распространяются и на этот случай, когда по предположению в соотношениях (3.1) в аргументах функций фигурируют только компоненты девиатора напряжений рУ, а совокупность пределов упругости образует четырехмерную поверхность в пятимерном пространстве девиатора тензора напряжений. [c.432]

Равенство J2(S ) Jiir ) справедливо только при малых деформациях материальной частицы (но перемещения и повороты могут быть большими). Из физических соображений следует, что критерием появления пластических деформаций должно быть выполнение некоторого условия в пространстве компонент девиато-ра тензора истинных напряжений s, а не условных напряжений S. Из (2.89) следует, что определяющие соотношения (2.85) имеют механический смысл только при малой деформации тела . [c.101]

В начале тридцатых годов важные опыты были поставлены Дж. Тейлором и X. Квинни, Р. Шмидтом, Ф. Одквистом, К. Хоэнемзером. В опытах Тейлора и Квинни изучались взаимная ориентация главных осей тензоров напряжения и скорости деформации и упрочнение. Опыты Шмидта были одними из первых экспериментов, посвященных специально упрочнению при сложном напряженном состоянии (Ingг-Ar h., 1932, 3 О, 215—235 см. сборник Теория пластичности ). Подвергнув анализу ряд вариантов условия упрочнения, Шмидт обнаружил, что наиболее удовлетворительным из них является тот, по которому интенсивность касательных напряжений — функция плотности работы напряжений 8. = к (ю), Ли = о ар (к такому же выводу на основании своих опытов пришли Дж. Тейлор и X. Квинни). Оказалось, что диаграмма процесса на плоскости в координатах и мало изменяется даже с переходом от опытов с пропорциональным нагружением к нагружениям с резкими поворотами главных осей. Ф. Одквист почти сразу отметил, что не менее удовлетворительным является условие, в соответствии с которым [c.83]

Характерпстиками механических свойств сред являются константы и — тензоры четвертого ранга. Если свойства среды в разных направлениях различны, т. е. среда анизотропна, с учетом симметрии тензоров напряжений, деформаций и скоростей деформаций, тензоры и имеют 36 независимых компонент (вместо 81 = 3 для тензора четвертого ранга). При симметрии различных типов число компонент сокращается. Если свойства среды одинаковы по всем направлениям (среда изотропна, или гиро-тропна), то вместо А >°- и появляются только два определяющих параметра. Для линейного упругого тела при малых деформациях ими являются коэффициенты Л яме Я и л, связанные с соотношениями [c.25]

Анизотропные упругие среды. Волны Гуляева - Блюштейна. При малых деформациях тензоры напряжений и деформаций м связаны линейно [c.148]

Феноменологическое исследование механических свойств композиционных материалов может быть проведено двумя путями. Первый основан на рассмотрении армирующего материала как конструкции и учитывает реальную структуру композиции. В этом случае задача состоит в установлении зависимостей между усредненными напряжениями и деформациями. Второй путь основан на рассмотрении армированных материалов как квазноднородных сред и использовании традиционных для механики твердых деформируемых тел средств и методов их описания. Краткая схема аналитического расчета упругих констант композиционного материала методом разложения тензоров жесткости и податливости в ряд по объемным коэффициентам армирования приведена в монографии [60, 83]. Установлено, что при малом содержании арматуры можно ограничиться решением задачи для отдельного волокна, находящегося в бесконечной по объему матрице. Однако такой подход заведомо приводит к грубым погрешностям при расчете упругих характеристик пространственно армированных материалов, объем которых заполнен арматурой на 40—70 %. К тому же следует учесть, что пространственное расположение волокон в этих материалах приводит к росту трудностей при решении задачи теории упругости по определению напряженно-деформированного состояния в многосвязанной области матрица—волокно. Коэффициент армирования при этом входит в расчетные выражения нелинейно, что приводит к очередным трудностям реализации метода разложения упругих констант материала по концентрациям его компонентов. [c.55]

Приведенные выше определения мало помогают при фактическом вычислении эффективных модулей, хотя они и полезны для нахождения их верхних и нижних границ (см., например, Хашин и Розен [6]). Несколько иное определение (Адамс и До-нер [1]) можно дать следующим образом. Предположим, что распределение деформаций и напряжений одинаково во всех ТИ1ТИЧНЫХ геометрических элементах неоднородной среды. Далее, предположим, что на поверхностях раздела между смежными элементами удовлетворяются условия непрерывности поверхностных сил и перемещений. Тогда эффективные модули определяются равенствами (5), где усреднение можно, очевидно, проводить по объему типичного элемента. В качестве примера рассмотрим граничные условия для типичного элемента в виде квадрата, удобные для вычисления эффективных модулей растяжения, связывающих усредненные по объему нормальные напряжения и деформации. Для этой цели достаточно рассмотреть класс граничных задач о так называемом обобщенном плоском деформированном состоянии, при котором компоненты тензоров напряжений и деформаций являются функциями только Xi и Х2, а S33 постоянна. Задаются следующие граничные условия (см. рис. 2) [c.19]

Для построения моделей упругопластического тела в настоящее время применяют теории течения и малых упругопластических деформаций (последняя является следствием теории течения, применимой при простом нагружении). Простым нагружением называют процесс, при котором в каждой точке тела компоненты девиатора оД теюора напряжений Д = а- а Е изменяются пропорционально. Здесь То = = (l/3)/i(a) = (1/3) --а - среднее напряжение Л(5) - первый инвариант тензора напряжений а. [c.69]

Всю историю нагружения представим в виде ряда последовательных достаточно малых этапов. Пусть в некоторый момент времени tn, соответствующий окончанию п-го этапа нагружения, решение задачи получено. Решение задачи на (п + 1)-м этапе нагружения ведется по следующей схеме. В первом приближении решается упругая задача от заданного приращения температуры, граничных условий и массовых сил с учетом накопленного напряженного состояния. При этом все коэффициенты и свободные члены в (5) вычисляются с учетом изменения температуры. По полученным в предположении упругого материала приращениям перемещений определяются приращения полных деформаций. Учитывая историю предшествующего нагружения (полученные в конце п-го этапа значения тензора напряжений, гензора микронапряжений, параметра упрочнений) с учетом изменения температуры, определяется новое положение поверхности текучести. [c.124]

Циклическое упругопластическое нагружение относится к типу сложных нагружений, когда в процессе нагружения происходит изменение направляющих тензоров напряжений и деформаций. В [21 вводится класс так называемых простых циклических нагружений, при которых направляющий тензор напряжений не изменяется, а направляющий тензор деформаций только один раз меняет знак . Простое циклическое нагружение, как оказалось, довольно часто имеет место в реальных условиях работы конструкций. Для этого класса в [2] были разработаны уравнения состояния в конечных соотношениях, базирующиеся на теории малых упругопластических деформаций [Ц. Достаточная точность предложенных в [21 уравнений была подтверждена многочисленными экспериментальными данными [3—8]. Подтверждением правильности разработанной теории [9—121 для простых циклических нагружений явилось и экспериментальное обоснование наличия обобщенной диаграммы малоциклового нагружения (см. гл. 2). При нормальных и повышенных температурах обобщенная диаграмма позволяет учесть эффект Баушингера, поцикловую трансформацию свойств материалов, выражающуюся в цикличе- [c.53]

Ki является характеристикой материала только в тех случаях, когда зона пластической деформации у вершины трещины при разрушении материала мала по сравнению с длиной трещины и толщиной образца. При малой пластической зоне поперечная де( х)рмация у вершины трещины отсутствует (е = 0) и сохраняется подобие тензоров напряжений в окрестности вершины трещины при разруи1ении тел с трещинами различных форм и размеров. Это дает возможность, определив по результатам испытаний образцов характеристику сопротивления хрупкому разрушению материала, сделать расчетную оценку предельной несущей способности конструктивного элемента с тре- [c.20]

При записи последнего неравенства принято, что связь малых приращений напряжений и малых приращений деформаций может быть представлена дифференциально линейными соотношениями (9.19). Коэффициентами пропорциональности на стадии упрочнения являются компоненты тензора С, а на закритической стадии де.формирова-ния — компоненты тензора модулей разупрочнения D, взятые со знаком минус, [c.207]

При бесконечно малой деформации материальной частицы все тензоры деформаций превращаются в тензор деформаций Коши е, который связан линейными соотношениями (1.56) с тензором градиента перемещений Н, а все тензоры напряжений превращаются в тензор напряжений Коши сг. Предположим, что условие бесконечно малой деформации выполнено для всех материальных частиц тела В. Деформацию тела при выполнении этого условия назовем геометрически линейной или бесконечно малой . Подход к формулировке уравнений с использованием тензоров деформаций е и напряжений сг назовем геометрически линейным или MNO (material nonlinear only) подходом. При этом наряду с геометрически линейным деформированием тела допускается физическая нелинейность деформирования, которая может присутствовать в определяющих соотношениях, связывающих тензоры напряжений и деформаций и/или их скорости. [c.65]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...