Релаксационные уравнения состояния

РЕЛАКСАЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ [c.231]

Релаксационные уравнения состояния 233 [c.233]

В этом отношении было бы привлекательным (но никоим образом не обязательным из физических соображений) конструировать релаксационные уравнения состояния так, чтобы гарантировать определенное значение следа (например, нулевое). На самом деле получить релаксационное уравнение состояния, обладающее такими свойствами, очень просто. Рассмотрим, например, уравнение (6-4.4). Применяя операцию взятия следа к уравнению (6-4.4), получаем [c.236]

Релаксационные уравнения состояния 237 [c.237]

Очевидно, что включение члена, определяемого уравнением (6-4.25), эквивалентно выбору значения Ь = — /3 а в общем операторе временного дифференцирования, определяемом уравнением (6-4.3). Очевидно также, что при таком выборе значение с становится несущественным, поскольку содержащий его член обращается в тождественный нуль. Было предложено несколько релаксационных уравнений состояния, построенных таким образом, что напряжение определялось в виде тензора с нулевым следом. Следует заметить, однако, что добавление к заданному релаксационному уравнению состояния членов типа (6-4.25) полностью изменяет скорректированное уравнение по сравнению с исходным. А именно, это не только преобразует рассматриваемый ранее тензор напряжений к тензору с нулевым следом, но и полностью изменяет реологическое поведение. Если, например, уравнение (6-4.12) предсказывает постоянство сдвиговой вязкости (см. (6-4.8)), то модификация уравнения (6-4.12) к виду уравнения с бесследным тензором, т. е. к виду [c.237]

Следовательно мы показали, что уравнение (6-4.36) эквивалентно (6-4.29) при выборе g (s) в виде (6-4.30). Аналогично, если выбрать g (s) в виде суммы п экспонент, то эквивалентный вид релаксационного уравнения состояния будет таким [c.238]

Релаксационные уравнения состояния [c.241]

Релаксационные уравнения состояния 243 [c.243]

Релаксационные уравнения состояния 245 [c.245]

Завершим этот раздел замечанием, касающимся релаксационных уравнений вообще. В самом общем виде релаксационное уравнение не определяет единственный материал, т. е. единственный функционал, который описывает напряжение в данный момент, если задана предыстория деформаций. Рассмотрим аналогичный случай для функций. Если функция определяется посредством дифференциального уравнения, должны быть заданы начальные условия. Если начальные условия не заданы, дифференциальное уравнение определяет целую систему функций. Вообще говоря, если не сделано дополнительных предположений, релаксационное уравнение состояния определяет одновременно ряд функционалов, т. е. ряд различных материалов. Возможно даже, что среди материалов, определенных таким образом, представлены жидкости и твердые тела одновременно. [c.246]

Уравнения второго типа можно представить себе как частные случаи уравнения (4-3.12) для простой жидкости, когда функционал определяется при помощи одного или нескольких интегралов. Уравнения состояния как дифференциального, так и интегрального тина разрешены относительно тензора напряжений. Этого нельзя сказать об уравнениях состояния релаксационного типа. Действительно, они содержат по меньшей мере одну производную по времени от тензора напряжений. Скорость изменения (или релаксация) напряжений, фигурирующая в уравнениях такого типа, дает название этому типу уравнений. [c.211]

Рассмотрим, наконец, ряд уравнений состояния релаксационного типа, имеющих вид уравнения Максвелла или обобщенного уравнения Максвелла, т. е. уравнения, включающего систему времен релаксации, в котором константы (обычно X и ji) заменены функциями . В качестве аргумента этих функций выбирается какой-либо инвариант скорости деформации, обычно второй инвариант. Примеры уравнений этого типа можно найти в работах [33] и [34]. [c.246]

Далее необходимо привлечь к рассмотрению уравнение состояния. Если иметь в виду либо релаксационное уравнение первого порядка, подобное уравнению Максвелла, либо простое интегральное уравнение, то при соответствующей линеаризации относительно возмущения скорости Ve — v можно получить [c.275]

Термическим уравнением состояния называют уравнение, связывающее давление с плотностью и температурой, а калорическим — уравнение, определяющее зависимость внутренней энергии (энтальпии) от температуры и давления. В большинстве случаев течения газа сопровождаются разного рода неравновесными процессами, для описания которых уравнения газовой динамики дополняются соответствующими кинетическими или релаксационными уравнениями. Кроме того, в уравнения вводят дополнительные члены, учитывающие воздействия неравновесных процессов на газодинамические параметры. Неравновесные процессы весьма разнообразны. Наиболее часто приходится иметь дело с неравновесным возбуждением колебательных степеней свободы, неравновесной диссоциацией и рекомбинацией, неравновесным движением жидких или твердых частиц в условиях неравновесной конденсации или испарения. [c.32]

Система уравнений в частных производных (2.25) — (2.29) совместно с соответствующими термическим и калорическим уравнениями состояния является достаточно общей и описывает неизоэнтропическое вихревое течение совершенных газов при наличии релаксационных процессов, имеющих различную энтальпию торможения вдоль линий тока. [c.38]

Если имеют место релаксационные процессы, то необходимы феноменологические уравнения (38) и (39) и закон сохранения массы в виде (2). Необходимо также уравнение состояния, которое представляет сродство А как функцию независимых переменных, среди которых вновь появляется . С помощью полной системы уравнений можно развить теорию дисперсии и адсорбции звука, вызванных релаксационными процессами, теплопроводностью и вязким потоком. Важный результат, который затем может быть получен , заключается в том, что для звуко вых частот V, для которых vt < 1, где т — время релаксации (41), релаксационное явление формально может быть описано как эффективная объемная вязкость. [c.13]

Обмен энергией между двумя подсистемами. Предположим, что интересующую нас систему можно разделить на две подсистемы, обмен энергией между которыми происходит достаточно медленно ). Тогда можно считать, что процесс релаксации протекает в два этапа. Длительность первого этапа примерно равна времени релаксации = max ri,T2 , где и Г2 — характерные времена установления частичного равновесия в подсистемах. В конце этого этапа макроскопические состояния подсистем характеризуются неравновесными температурами Ti t) и T2 t). Второй, более медленный, этап релаксации всей системы описывается на шкале времени с физически бесконечно малым интервалом А , удовлетворяющим неравенству > г ,. Тогда вообще нет необходимости рассматривать, как именно возникает частичное равновесие в подсистемах, и эволюцию системы можно описать релаксационными уравнениями для температур Ti t) и Т 2( ), которые при t оо стремятся к равновесной температуре Т. Нашей задачей будет вывод закона изменения со временем неравновесных температур подсистем. Для определенности рассмотрим квантовый случай. [c.90]

Следует отметить, что относительное движение жидкости п пузырьков, помимо уже обсуждавшихся эффектов, может вызвать интенсификацию теплообмена в пузырьке, нарушение сферичности пузырьков, и, как крайнее проявление последнего эффекта, дробление пузырьков. Тем не менее существует значительная область режимных параметров волновых движений, когда эти эффекты не проявляются. И в то же время имеется область режимных параметров, когда эти эффекты могут стать определяющими. В частности, дробление исходных пузырьков на мелкие, происходящее, как правило, уже на переднем фронте достаточно сильной волны, приводит к тому, что волна распространяется по среде с более мелкими (чем в исходном состоянии) пузырьками, что во много раз сокращает толщину релаксационной зоны волпы. В результате для анализа может стать достаточной равновесная схема смеси, сводящаяся к модели идеальной сжимаемой жидкости с заранее определяемым уравнением состояния (см. конец 5 гл. 1). [c.80]

Крайним проявлением потери сферической формы пузырьков является их дробление. Реализация дробления кардинально влияет на структуру волны в пузырьковой среде. В частности, интенсивное дробление исходных пузырьков на мелкие, происходящее в достаточно сильных волнах, как правило, уже при первом сжатии пузырьков на переднем фронте волны приводит к тому, что в релаксационной зоне волны находятся мелкие пузырьки, имеющие много меньшие, чем у исходных пузырьков, период пульсаций и время охлаждения. Это во много раз сокращает толщину релаксационной зоны волны. В результате может стать достаточной равновесная схема смеси, сводящаяся к модели идеальной баротропно сжимаемой жидкости с заранее определяемым (см. (1.5.26)) уравнением состояния р(р). [c.107]

Прежде чем переходить к рассмотрению нелинейных задач, покажем, как релаксационные процессы влияют на распространение волны в линейном приближении. Воспользуемся линейными уравнениями гидродинамики (В.1.9), (В.1.10) и уравнением состояния (IV.1.19), в котором отбросим нелинейный член. Исключая переменные [c.87]

До сих пор, рассматривая распространение волн в кристаллах, мы не принимали во внимание дискретную структуру кристаллической решетки. Так можно поступать до тех пор, пока длина акустической волны X остается много большей, чем постоянная решетки а, или до частот 100 ГГц. Выше этого предела дисперсионные кривые, получаемые из уравнений классической теории упругости, уже плохо согласуются с микроскопическими расчетами, базирующимися на уравнениях динамики решетки. Поэтому, если оставаться в рамках феноменологических моделей механики сплошных сред, то уравнения состояния кристалла необходимо модернизировать для учета дискретности среды, макроскопически проявляющейся в нелокальности ее реакции на приложение переменного в пространстве внешнего воздействия. Это можно сделать с помощью так называемой нелокальной теории упругости [19], представляющей собой феноменологическое обобщение классической механики сплошной среды. Одно уравнение состояния элемента сплошной среды, описывающее как пространственную, так и временную нелокальность, уже приводилось нами при рассмотрении релаксационных процессов. Если не учитывать временную нелокальность (которая, в частности, ответственна за диссипацию энергии в среде), то для твердого тела нетрудно получить следующее уравнение состояния (нелокальный закон Гука) [c.231]

При интегрировании релаксационных уравнений (1.102), (1.103) предполагается, что в начальной плоскости s=So при всех -ф и 9 существует некоторая связь a,=/°(P, Т), ep = f p, Т), которая задается из феноменологических соображений, например, принимается равновесие или замороженное состояние потока при s=Sq. [c.34]

Здесь Уп — релаксационный кинетический параметр, который в соответствии с учитываемыми процессами может быть концентрацией химических компонент смеси, энергией колебательных степеней свободы и массовых долей конденсирующейся компоненты. Излагаемый ниже метод расчета применим как для случая, когда в смеси протекают одновременно все указанные процессы, так и для случая, когда имеет место лишь один из них. Метод применим также и в случае, когда протекают и другие процессы, описываемые системой уравнений типа (3.24. .. 3.27). Конкретная запись правых частей кинетических уравнений (3.27), а также термического (3.28) и калорического уравнений состояния приведена в разд. 1.3. [c.111]

Метод решения цепочки уравнений (6.10) для неравновесных функций распределения был развит Боголюбовым на основе существования различных временных масштабов, характеризующих релаксационные процессы в статистических системах. При этом на каждом этапе в процессе приближения системы к равновесию ее состояние определяется различным числом параметров и описывается детерминированным уравнением для соответствующей функции от этих параметров. Действительно, в любом реальном газе существуют три резко разграниченных масштаба времени. [c.100]

Выражение для описания релаксационного процесса можно получить при помощи какой-либо модели, отражающей поведение материала в упругопластическом или пластическом состоянии. Например, используют представление об упруговязком теле Максвелла, описываемом уравнением [c.109]

Система кинетических уравнений для релаксационного процесса в модели двух состояний диполя без упрощающего предложения о слабости поля, как показано в /77/, может быть сведена к одному дифференциальному уравнению первого порядка [c.128]

Для более полного и адекватного описания поведения металлов при ударно-волновом нагружении и разгрузке из ударно сжатого состояния широко применяются различные релаксационные модели упругопластического тела, в которых предполагается, что девиаторная составляюш ая напряжения зависит от скорости сдвиговой пластической деформации. Эти модели относятся ко второй группе определяющих уравнений. Для релаксационных моделей определяющие уравнения рассматривались и обсуждались в работах [9—22]. Остановимся далее на основных особенностях этих моделей. [c.182]

Обратимся теперь к более подробному анализу свойств релаксационных уравнений состояния, предложенных в литературе. Олдройд [25] исследовал поведение материалов, описываемых уравнениями (6-4.39) или (6-4.47) для частного случая, когда а = Ь = с = О, т. е. когда в обеих частях уравнения состояния используется вращательная производная [c.245]

Следуя Трусделлу и Ноллу [1], мы подразделяем уравнения состояния на три тина дифференциальные, интегральные и релаксационные. К первому типу принадлежат уравнения, определяющие тензор напряжений как функцию дифференциальных кинематических величин, относящихся лишь к моменту наблюдения. Тем не менее эти уравнения отражают концепцию памяти жидкости, поскольку деформационные тензоры более высокого порядка содержат некоторую информацию о прошлых деформациях в смысле, уже обсуждавшемся в разд. 3-2. [c.211]

Если жидкость удовлетворяет релаксационному уравненин> состояния первого порядка, оказывается возможным решить, по крайней мере в принципе, ряд задач, которые не могут быть поставлены в рамках теории простой жидкости. Для примера рассмотрим задачу об истечении струи жидкости из фильеры (сопровождаемом, вообще говоря, хорошо известным явлением разбухания). Измеряя силу, можно измерить напряжение в сечении фильеры. Если жидкость удовлетворяет уравнению состояния релаксационного типа, этой информации вполне достаточно для оценки напряженного состояния в струе. При этом не обязательна знать предысторию деформирования до достижения выходного сечения фильеры. [c.236]

Метод, принятый в термодинамике неравновесных процессов, состоит прежде всего в том, что устанавливают различные законы сохранения микроскопической физики законы сохранения материи, импульса, момента импульса и энергии. В 2 этой статьи мы дадим формулы этих законов применительно к изотропным жидкостям, в которых имеют место тепло- и массоперенос и вязкое течение. В 4 и 5 рассмотрены эффекты, вызванные химическими реакциями, релаксационными процессами и действием внещних сил. С помощью законов сохранения описан закон энтропии Гиббса и введено уравнение баланса, которое содержит в себе как основной термин величину прироста энтропии. Выражение для прироста энтропии в этом случае является суммой членов, обусловливаемых теплопроводностью, диффузией, вязким течением и химическими реакциями ( 3—5). Каждый из этих членов состоит из произведения потока (например, потока тепла или диффузионного потока) и термодинамической силы (например, градиента температуры или градиента концентрации). Можно установить линейную зависимость (называемую феноменологическими уравнениями) между этими потоками и термодинамическими силами ( 6). Коэффициенты, появляющиеся в этих уравнениях, суть коэффициент теплопроводности, коэффициент диффузии и тому подобные. Между ними существует определенная зависимость как результат временной инвариантности (соотношение Онзагера) и возможности пространственной симметрии (принцип Кюри). Окончательно включением феноменологических уравнений в законы сохранения и законы энтропии а также с помощью приведенных ниже уравнений состояния ( 7) получают полную систему дифференциальных уравнений, описывающих поведение объекта. [c.5]

Пусть имеется двумерное плоское движение жидкостей Максвелла (У2 = 0) и Олдройда (7,)<2 0) с реологическим уравнением состояния (1.6), в котором применяется оператор субстанциональной производной по времени (1.7), /и = О, / = О. Несовершенство этой модели в том, что для нее не выпо н1яется принцип материальной объективности (подробное обсуждение этого вопроса имеется в обзоре [88]). Вместе с тем вариант т О является предельным для моделей Максвелла и Олдройда и содержит все основные гиперболические черты общей модели, когда т О. Подробный сравнительный анализ этих операторов дифференцирования показал [89]. что существует диапазон гидродинамических параметров, где простая конвективная производная дает результаты, которые качественно и количественно близки к производной Олдройда. Этот вывод подтверждается и нашими расчетами, см. п. 1.5.2, рис. 1.21. Отметим также, что оператор конвективной производной успешно применяется при описании релаксационных свойств ту рбулентных сдвиговых течений в пограничном слое [15], [c.40]

В работе [15] в уравнения среды включены упруговязкие члены Максвелла, описывающие процесс релаксации во времени касательных напряжений. На основе этой модели в [16] исследованг структура пррфиля ударной волны в упруговязкой среде с нелинейной зависитстью максвелловской вязкости (величины, обратной времени релаксации касательных напряжений) от параметров состояния вещества. Для одномерного движения вдоль оси я релаксационное уравнение записывается в виде [c.188]

Таковы были экспериментальные факты, которые требо вали объяснения. Объяснение им было найдено в релаксационной теории поглощения, разработанной Л. И. Мандельштамом и А. М. Леонтовичем (1937 г.). Релаксационная теория не входит в микроструктуру жидкости и не цоль-зуется молекулярными моделями, а представляет собой, по существу, феноменологическую теорию, описывающую неравновесные процессы. Сущность этой теории состоит в том, что уравнение состояния жидкости или газа, кроме дав ления р, плотности р и температуры Т, характеризуете еще некоторым параметром Е ). [c.294]

Нелинейная теория тиксотроппой вязкоупругости А. II. Леонова [30, 31, 80] дает удовлетворительное согласие полученного уравнения состояния с экспериментальными данными для расплавов и концентрированных растворов полимеров. В работе Леонова постулирован принцип соответствия , устанавливающий соотношения между термодинамическими параметрами, силами н потоками в равновесном и неравновесном состоянии. В теории учитываются тиксотропные свойства д1атериалов (обратимые изменения их характеристик при деформировании), в связи с чем релаксационные спектры усекаются со стороны больших времен релаксации (низких частот) при увеличении интенсивности деформирования и восстанавливаются при ее снижении. Помимо рассеяния энергии на необратимое течение и накопление ее на обратимые деформации происходит консервирование энергии, затрачиваемой на тиксо-тропное разрушение структуры материала, которая расходуется на восстановление структуры при разгрузке. [c.47]

Поскольку изменение колебательного состояния молекулы происходит при бинарных столкновениях, то скорость изменения колебательной энергии прямо пропорциональна давлению газа. Поэтому из релаксационных уравнений нетрудно установить, что для колебательного неравновесного течения газа в соиле параметр Т = рйЬй, где Ро, Ьо — характерные значения давления торможения и линейного размера, является параметром подобия. [c.284]

В осесимметричном или плоском случаях наличие двух дополнительных уравнений позволяет элементарно разрешить обратную задачу, сводящуюся к задаче Коши. А именно на некоторой кривой (начальном слое г1) = onst), являющейся линией тока, задается какая-либо из компонент скорости или распределение давления (плотности). Тогда из уравнений направления (1.100), движения (1.98), энергии (1.99), релаксационных уравнений и уравнения состояния путем совместного численного интегрирования их по s определяют оставшиеся компоненту скорости (или обе компоненты, 5сли задано распределение давления или плотности), давление, 1лотность, температуру а, и вр. В случае идеального газа с посто-шным показателем адиабаты расчет недостающих параметров на [c.33]

При расчетах неравновесных течений приходится проводить численное интегрирование дифференциальных уравнений, описывающих исследуемый неравновесный релаксационный процесс. Кинетические и релаксационные уравнения, описывающие этот процесс, вблизи равновесия являются, как правило, уравнениями с малым параметром при старщей производной, что существенно усложняет их численное интегрирование. К числу релаксационных относятся уравнения сохранения массы химической компоненты (1.15) для определения колебательной энергии (1.16) для определения скоростей и температур частиц в двухфазных потоках (1.18) для определения массы конденсата в течениях с конденсацией. Неравновесные течения в ряде случаев начинаются из состояния, где система близка к термодинамическому равновесию. В тех же областях, где система близка к равновесию и время релаксации, а следовательно, и длина релаксационной зоны малы, возникают значительные трудности с выбором шага интегрирования. Оказывается, что при использовании для численного интегрирования явных разностных схем типа метода Эйлера, Рунге — Кутта шаг интегрирования для проведения устойчивого счета должен быть настолько мал, что расчет становится практически невозможен даже при использовании современных вычислительных мащин. [c.104]

Уравнение медленного движения есть уравнение эволюции медленных переменных при условии, что быстрые поддерживаются в равновесных состояниях. Основной замысел теории релаксационных колебаний — построение асимптотик истинного-возмущенного движения из сменяющихся отрезков быстрого и медленного движений. [c.169]

В [Л. 113] численно решены уравнения (9-98) — (9-100) для нескольких случаев сжимаемых плоских и осесимметричных течений при dp dx = 0 с образованием на теплоизолированных поверхностях турбулентных пограничных слоев. При составлении программы для ЭВМ использован закон местного трения для течений с постоянной плотностью при dp dxфO, следующий из выражения дефекта скорости Коулса, и уравнение (9-96), учитывающее влияние сжимаемости на коэффициент трения. Пограничные слон рассчитаны при законах М1(х), имевших место в экспериментах Л. 220, 371]. По данным этих работ приняты исходные значения С/, я и б, а также удельное число Рейнольдса u /v , необходимые для начала интегрирования уравнений (9-98)-(9-100). Принято, что поток в исходном состоянии является равновесным. В этом случае для начала интегрирования достаточно иметь данные о размерах начального профиля. Для релаксационных потоков (потоков с сильно изменяющимся состоянием вблизи начала расчета) величина я должна быть определена по значениям Н и С/, полученным из эксперимента (или других данных по состоянию газа вверх но течению). [c.257]

Пакет прикладных программ для расчета теплофизических свойств высокотемпературных рабочих тел [7]. Предназначен для расчета теплофизических свойств продуктов нагрева или сгорания, представляющих собой многокомпонентные смеси индивидуальных веществ в газообразном и конденсированном состояниях. Химический состав смеси либо задается, либо определяется в результате решения уравнений химического равновесия с помощью программ пакета. При разработке пакета принято, что термодинамическое состояние рабочего тела полностью определяется двумя параметрами (из рассмотрения исключены неравновесные релаксационные процессы). В качестве параметров выбраиы температура, плотность (удельный объем), давление, энтальпия, энтропия, внутренняя энергия, потенциалы Гиббса и Гельмгольца. Допустимы любые парные сочетания из этих параметров, из чего возникает 28 возможных сочетаний. Предусмотрена возможность генерации программ для расчета отдельных свойств. Пакет разработан на языке Фор-тран-IV применительно к ЭВМ серии ЕС. [c.179]

При описании поведения конкретных материалов могут быть использованы различные математические модели. В зависимости от условий нагружения и эксплуатагрги исследуемых конструкций эти модели должны учитывать эффекты вязкоупругости, пластичности и ползучести, накопления повреждений, конечность скорости распространения теплоты и др. Для получения определяющих уравнений используют три основных варианта, базирующихся на рассмотрении сред скоростного типа, сред с памятью и сред с внутренними параметрами состояния. Основными особенностями сред скоростного типа являются присутствие в качестве аргументов активных переменных скоростей изменения реактивных и невозможность использования таких моделей для описания релаксационных свойств активных переменных. Среды с пам5ггью характеризуются тем, что связь между активными и реактивными переменными имеет вид функционалов, зависящих от истории изменения реактивных переменных. Этот подход является наиболее общим, предоставляет широкие возможности для учета разнообразных эффектов, но за математическим формализмом при этом не всегда видна физическая природа изучаемого явления. [c.184]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...