Тензор растяжения

Вязкость ньютоновских жидкостей определяется уравнением (1-9.4) как половина коэффициента пропорциональности в зависимости, связывающей тензор напряжений т с тензором растяжения D. Уравнение (1-9.4) предполагает, что компоненты тензора напряжений должны быть пропорциональны соответствующим компонентам тензора растяжений для любого заданного участка течения. Одним из хорошо известных следствий уравнений Навье — Стокса (уравнение. (1-9.8)) является закон Хагена — Пуазейля, связывающий объемный расход Q в стационарном прямолинейном течении жидкости по длинной круглой трубе с градиентом давления в осевом направлении [c.55]

Компоненты тензора растяжения D для линейного течения Куэтта суть [c.56]

Рассмотрим теперь кинематические тензоры, такие, как градиент скорости Vv и тензор растяжений D. Из определения градиента скорости имеем [c.61]

Преобразование тензора растяжений D получается из его определения ) [c.62]

После установления принципа объективности поведения материала можно проанализировать нелинейное реологическое уравнение состояния, устанавливающее соответствие между тензором напряжений т и тензором растяжения D ) [c.63]

Это является определенным недостатком уравнения (2-3.4), который не может быть преодолен без использования реологических соотношений, более сложных, чем уравнение (2-3.1). Иными словами, поведение реальных материалов, имеющих в вискозиметрическом течении, отличную от нуля разность первых нормальных напряжений (тц — Х22 фО), не может быть объяснено на основе предположения, что тензор напряжений однозначно определяется тензором растяжения. [c.66]

Неадекватность уравнения (2-3.1) в отношении корректного предсказания поведения реальных материалов даже в течениях столь простого типа, как линейное течение Куэтта, выдвигает проблему построения реологического уравнения состояния более общего вида, в котором тензор напряжений т уже не является однозначно определенной функцией тензора растяжения. [c.73]

В противоположность этому под жидкими материалами понимают такие материалы, которые не имеют предпочтительной формы, так что попытка соединения интуитивных понятий упругости и текучести приводит, по крайней мере на первый взгляд, к внутреннему противоречию. Действительно, та идея, что текучие материалы нечувствительны к деформации, приводит к концепции, что внутренние напряжения должны определяться скоростью деформации,— концепции, которая воплощена в уравнении (2-3.1). (Тензор растяжения D, как будет показано в следующей главе, описывает мгновенную скорость деформации.) [c.74]

Из уравнений (3-2.17) и (3-2.19) следует, что тензор растяжения D характеризует скорость растяжения в момент наблюдения — понятие, которое было использовано в гл. 2. Разумеется, если рассматривать уравнение (3-1.34), то тензор D также можно отождествить со скоростью деформации. Продифференцируем теперь уравнение (3-1.11) [c.101]

Заметим, что верхняя и нижняя конвективные производные некоторого тензора получаются суммированием его вращательной производной с простыми комбинациями этого тензора и тензора растяжения. Фактически любая линейная комбинация J и D, прибавленная к вращательной производной, дает выражение. [c.110]

Выражение (87.12) дает связь между тензором нормальных напряжений <а5 н, тензором растяжений с и величиной е (или о). Далее мы покажем, что е (как и о) — скаляр, т. е. не зависит от выбранной системы координат, несмотря на то, что каждая из величин 1, е2,... и Оц, а22."- зависит от системы координат. [c.309]

Если МЫ возьмем в качестве отправной величины относительный градиент деформации Р(, определенный соотношением (II. 8-5), и применим к нему теорему о разложении, мы получим относительный поворот Rt, относительные тензоры растяжения Ui и V( и относительные тензоры Коши—Грина С( и В [c.102]

Покажем теперь, как воспользоваться теоремой 3 для доказательства необходимости в теореме 2. Из теоремы 1 мы знаем, что если конфигурация х неискаженная, то = о. Если к переводит X в другую неискаженную конфигурацию х, то по теореме 3 характеристические пространства теизора Uo — правого тензора растяжения, соответствующего градиенту деформации VX, —должны оставаться инвариантными при воздействии любого ортогонального тензора. Поэтому характеристическим пространством для Uo может быть только само Т. Следовательно, [c.195]

Мы завершаем определение тем, что при произвольном выборе одной из частей тела выбираем внешнее направление нормали к ее поверхности, а в качестве соответствующей силы выбираем ту, с которой другая часть воздействует на выбранную нами (рис. 1-2). Если принять такое соглашение, то сразу становится очевидным, что нормальные компоненты тензора напряжений (например, Гц) положительны, если вдоль выбранного направления осуществляется растяжение, и отрицательны, если осуществляется сжатие. [c.24]

Уравнения для кинематических тензоров, справедливые для течения растяжения, сведены для удобства в табл. 3-3. [c.122]

Таблица 3-3. Уравнения для кинематических тензоров в течении растяжения

Течения растяжения (разд. 3-5) представляют собой течения с предысторией постоянной деформации, для которых тензор N симметричен [c.191]

Согласно Колеману [33], точное определение течения растяжения состоит в следующем движение является растяжением вплоть до момента t, если существует ортогональный базис е , не зависящий от s, такой, что матрица компонент тензора U (или С , (С ) , Н ) в этом базисе имеет диагональный вид, а именно [c.288]

Шаровой тензор соответствует всестороннему растяжению или сжатию, а девиатор напряжений — формоизменению. Главные направления девиатора напряжений 5ц) совпадают с главными направлениями тензора напряжений (сг,/). Поэтому главные направления девиатора определяются из системы уравнений [c.52]

Для определения коэффициентов Ламе X и в эксперименте образцы, изготовленные из соответствующего материала, подвергают таким испытаниям, при которых создаются достаточно легко контролируемые виды напряженного и деформированного состояний, Наиболее простым из этих испытаний является растяжение образца — прямого цилиндра равномерно распределенной по основаниям нагрузкой напряжения интенсивности q. Если выбрать систему координат так, чтобы ось Oxi была параллельна образующей цилиндра, а две другие оси лежали в плоскости поперечного сечения, то легко видеть, что матрица компонентов тензора напряжений будет иметь вид [c.48]

Если тело подвергается малой деформации, то все компоненты тензора деформации, определяющего, как мы видели, относительные изменения длин в теле, являются малыми. Что же касается вектора деформации, то он может быть в некоторых случаях большим даже при малых деформациях. Рассмотрим, например, длинный тонкий стержень. Даже при сильном изгибе, когда его концы значительно переместятся в пространстве, растяжения и сжатия внутри самого стержня будут незначительными. [c.11]

Предварительно выведем выражение для тензора деформации, определяющего растяжение пластинки (рассматриваемой как поверхность), подвергнутой одновременному изгибу и растяжению в своей плоскости. Пусть и есть двухмерный вектор смещения (с компонентами при чистом растяжении t, по-прежнему [c.76]

Тензор напряжений а 5, увязанный с растяжением пластинки, определяется формулами (13,2), в которые вместо Ыдр надо подставить полный тензор деформации, определяемый согласно формуле (14,1). Энергия чистого изгиба определяется формулой [c.76]

Растяжение, сопровождающее изгиб плоской пластинки, является эффектом второго порядка малости по сравнению с величиной самого прогиба. Это проявляется, например, в том, что тензор деформации (14,1), определяющий такое растяжение, квадратичен по Совершенно иное положение имеет место при деформациях оболочек здесь растяжение есть эффект первого порядка и потому играет существенную роль дал<е при слабом изгибе. Проще всего это свойство видно уже из самого простого примера равномерного растяжения сферической оболочки. Если все ее точки подвергаются одинаковому радиальному смещению С, то увеличение длины экватора равно 2п . Относительное растяжение 2n /2nR = yR, а потому и тензор деформации пропорционален первой степени Этот эффект стремится к нулю при R -> [c.80]

Исключением является только простое растяжение стержня без изменения его формы, — при слабом растяжении наряду с тензором Uih всегда мал также и вектор U. [c.86]

В продольной волне в каждом малом участке стержня происходит простое растяжение или сжатие компоненты тензора деформации [c.185]

Уравнение (2-3.4) представляет собой уравнение, определяющее жидкость Рейнера — Ривлина. Оно является столь же общим, как и уравнение (2-3.1). Приведение последнего к менее общей форме (2-3.4) диктуется принципом объективности поведения материала. Следовательно, если поведение реальной жидкости не описывается адекватно уравнением (2-3.4), мы можем заключить, что в такой жидкости напряжения не определяются однозначно тензором растяжений. [c.64]

Второй инвариант По тензора растяжений является существенно отрицательной величиной, но IIId может иметь любой знак. Таким образом, уравнение (2-3.10) показывает, что, если [c.65]

Поскольку тензор Uafi симметричный, то он имеет три собственных вектора Эти векторы не вращаются при деформации U adX ". Говорят, что среднее вращение, соответствующее равно нулю. Тензор определяет жесткое вращение. Тензоры (/ р и И называют соответственно правым и левым тензорами растяжения, а тензоры и соответственно правым и левым тензорами деформации. [c.19]

Теорема 3 (Колеман Нолл). Деформация X переводит одну неискаженную конфигурацию х твердого тела в другую неискаженную конфигурацию в том и только в том случае, когда характеристические пространства правого тензора растяжений Uo градиента деформации VX- инвариантны относительно всех поворотов, входяи их в группу равноправности [c.195]

Очевидно, что первым шагом в этом направлении является предположение о нелинейном характере зависимости между тензорами напряжений и растяжения. Однако, перед тем как рассматривать это предположение, уместно проанализировать требования инвариантности для уравнений состояния, чтобы можно было избежать физически неосуществимых форм этого уравнения. Следуюпщй раздел посвящен такому анализу. [c.57]

Некоторые реометрические системы получаются в соответствии с различным выбором тензора N. К ним относятся вискозиметри-ческие течения, течения растяжения и т. п. Такие течения уже вводились в разд. 3-5. Для каждой такой системы функцию Н ( ) можно выразить через определенное число скалярных функций, известных под названием материальные функции . [c.169]

Следует помнить, что, когда речь идет о тензорах напряжений и деформаций дискретной фазы (Ар ) и 0р мы подраззгмеваем напряжения и деформации множества частиц, а не самой частицы. Например, растяжение частицы, если оно имеет место (случай множества паровых пузырьков в жидкости), проявляется в переходе частиц сорта (в) в сорт (г) с соответствующими изменениями свойств переноса (разд. 6.9). [c.283]

Пусть R есть порядок величины радиуса кривизны оболочки, совпадающей обычно с порядком величины ее размеров. Тогда тензор деформации растяжения, сопровождающего изгиб, — порядка соответствующий тензор напряжений E /R, а энергия деформации (отнесенная к единице площади), согласно (14,2), Eh tiRf. Энергия же чистого изгиба по-прежнему Eh% R. Мы видим, что отношение первой ко второй Rlh , т. е. очень велико. Подчеркнем, что это имеет место независимо от соотношения между величиной Z изгиба и толщиной h, в то время как при изгибе плоских пластинок растяжение начинало играть роль только при I h. [c.80]

Особого рассмотрения требует случай, когда оболочка подвержена воздействию сосредоточенных сил в поперечном к оболочке направлении. Такими силами могут являться, в частности, силы реакции, действующие на оболочку со стороны опор в точках (или линиях) закрепления. Сосредоточенные силы производят изгиб оболочки в небольшой области вокруг точек их приложения. Пусть порядок величины этой области для приложенной в точкэ силы f есть d (так что ее площадь d ). Поскольку изгиб i сильно меняется на протяжении расстояний d, то энергия изгиба (на-еди-ницу площади) — порядка величины Eh /d, а полная энергия изгиба (на площади d ) Eh t /d . Тензор же деформации растяжения по-прежнему и полная энергия вызванного [c.81]

Помимо Ua, отличны ОТ нуля еще две компоненты тензора деформации, так как при простом растяжении имеем = ицу = = —омгг- Зная тензор деформации, легко найти также и смещения точек. Пишем [c.95]

Продольная деформация стержня (однородная вдоль его сечения), на боковую поверхность которого не действуют никакие внешние силы, представляет собой простое растяжение или сжатие. Таким образом, продольные волны в стержне представляют собой распространяющиеся вдоль его длины простые растяжения или сжатия. Но при простом растяжении отлична от нуля только компонента сГгг тензора напряжений (ось z — вдоль длины стержня), связанная с тензором деформации посредством (см. 5) [c.138]

Е. Kroner, G. Rieder, 1956). Отметим, в частности, что если пластическая деформация происходит без нарушения сплошности тела, то след тензора ji равен нулю. Действительно, пластическая деформация не приводит к растяжению или сжатию тела (которые всегда связаны с возникновением внутренних напряжений), т. е. uiT = О, а потому и Д = —duiY ldt = 0. [c.166]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...