Тензор напряжений Лагранжев

Тензор с компонентами Т / называют тензором напряжений Лагранжа этот тензор несимметричен (упражнение). [c.19]

Заметим, что, как вытекает из (1.118), (1.119), тензор напряжений Лагранжа несимметричен, тензор Пиола — Кирхгоффа симметричен. [c.25]

Условия (4.247) позволяют дать механическую интерпретацию введенным множителям Лагранжа совокупность множителей представляет собой совокупность координат тензора напряжений, la —плотность вектора напряжений на части поверхности 5 . [c.205]

Тензор напряжений И, 20, 25, 31, 55, 63, 78, 136, 1 4G, 252 --Лагранжев 142 [c.460]

Следующим новшеством этой книги является включение в нее механики непрерывных систем и полей (гл. 11). Вообще говоря, эти вопросы охватывают теорию упругости, гидродинамику и акустику, однако в таком объеме они выходят за рамки настоящей книги и, кроме того, по ним имеется соответствующая литература. В противоположность этому не существует хорошей литературы по применению классических вариационных принципов к непрерывным системам, хотя роль этих принципов в теории полей элементарных частиц все время возрастает. Вообще теорию поля можно развить достаточно глубоко и широко еще до рассмотрения квантования. Например, вполне возможно рассматривать тензор напряжение — энергия, микроскопические уравнения неразрывности, пространство обобщенных импульсов и т. д., целиком оставаясь при этом в рамках классической физики. Однако строгое рассмотрение этих вопросов предъявило бы чрезмерно высокие требования к студентам. Поэтому было решено (по крайней мере в этом издании) ограничиться лишь элементарным изложением методов Лагранжа и Гамильтона в применении к полям. [c.9]

Здесь Еж,. . , Yzx — линейные формы компонент тензора напряжений Т, определяемые по (3.2.8) гл. III и выражаемые формулами (3.1.8) гл. III е—тензор, задаваемый этими формами его компонент и, значит, представимый формулой (1.1.4). Вариации компонент тензора бГ под знаком интегралов в (2.5.10) не независимы, а должны удовлетворять зависимостям (2.5.3). Пришли к связанной задаче вариационного исчисления и, следует известному правилу, вводим в объеме V лагранжев вектор X это позволяет, представив теперь (2.5,10) в виде [c.158]

Действительно, пусть тензор напряжений а[е и) может иметь разрывы на поверхности G, которая разбивает объем V на конечное число частей. Вариация функционала Лагранжа имеет вид [c.90]

Сначала сформулируем инкрементальную теорию, которая основана на подходе Лагранжа и в которой используются тензоры напряжений Кирхгофа и тензоры деформаций Грина. Начнем с определения напряжений, деформаций, перемещений, массовых и поверхностных сил, действующих на S , и заданных на перемещений в состояниях и как показано в табл. [c.389]

Сформулируем другой вариант инкрементальной теории с помощью модифицированного подхода Лагранжа, в котором используются модифицированные тензоры напряжений Кирхгофа и модифицированные тензоры деформаций Грина. Обозначим напряжения, деформации, перемещения, массовые силы, внешние силы, действующие на 5,,, и заданные на перемещения в состояниях Q(N) и Q(A/-fi) .дк, как показано в табл. 16.2. Отметим, что напряжения и внешние силы на отнесены к единичной площади, а массовые силы — к единичному объему состояния Q< ). Тогда принцип виртуальной работы в состоянии запишется в виде [c.392]

Они связывают компоненты второго тензора напряжений Пио-ла — Кирхгофа S с компонентами тензора деформаций Грина — Лагранжа Е. Альтернативные формы определяющих соотношений гиперупругого материала можно получить, используя другие пары сопряженных (необязательно инвариантных) тензоров напряжений и деформаций. Получим, например, такие соотношения с помощью несимметричных тензоров напряжений и деформаций. Пользуясь (1.47), запишем следующие выражения для удельной потенциальной энергии деформаций [c.72]

Утверждение. Определяющие соотношения для любых материалов (упругих и неупругих), справедливые при геометрически линейном деформировании тела, обобщаются на случай геометрически нелинейного деформирования при условии малости деформаций прямой заменой тензора напряжений Коши а, тензора деформаций Коши е и их скоростей , к соответственно вторым тензором напряжений Пиола — Кирхгофа S, тензором деформаций Грина — Лагранжа Е и их материальными производными S, Е. При такой деформации тензоры S и Е имеют простую механическую интерпретацию компоненты этил тензоров приближенно равны компонентам тензоров и ё, полученных из тензоров а и е операцией поворота, осуществляемой ортогональным тензором R. Такие же приближенные равенства справедливы для материальных производных компонент-зтих тензоров, т. е. S w сг, Е 6, S сг, Ё 6. [c.78]

Рассмотрим постановку задачи о вычислении поправки Au(m) иа основе формулировки принципа возможных перемещений (1.133). Все компоненты деформаций и напряжений будем относить к исходному недеформированно-му базису. В этом случае деформации будут определяться компонентами тензора деформаций Лагранжа, а напряжения—компонентами тензора напряжений Пиола—Кирхгофа 2-го рода [38]. Рассмотрим отдельно каждое слагаемое в уравнении (1.133). [c.39]

Для решения задачи механики деформируемого тела используются цилиндрические лагранжевы координаты. Интегрирование по области при вычислении энергии деформирования тела осуществляется по исходной геометрии, постоянной для каждого шага [120, 121, 148]. Деформированное состояние характеризуется тензором деформаций Лагранжа, который вводится с помощью меры деформаций Коши — Грина. Для характеристики напряженного состояния используется тензор напряжений Пиола. Возможны и другие подходы решения физически и геометрически нелинейных задач [164]. [c.93]

Заметим, что при выводе уравнения (45) конкретная форма зависимости напряжений от деформаций не использована, так что это уравнение годится как для линейно упругих материалов, так и для материалов с нелинейными определяющими соотношениями в геометрически линейной постановке (а также для геометрически нелинейной теории при использовании переменных Лагранжа и соответствующего тензора напряжений). [c.102]

Некоторые применения тензорного анализа в механике 84 Уравнения движения материальной точки (84). Уравнение Лагранжа 2-го рода (84). Формула Громеки (86). Уравнения равновесия в криволинейной системе координат (87). Тензор скоростей деформаций (87). Связь между тензорами напряжений и деформаций (88). [c.6]

Поскольку V — вектор и — скаляр, то из (6.10) следует (по обратному признаку тензора), что представляют контравариантные компоненты тензора напряжений 3 в лагранжевом репере Эг в таком представлении 5 называется тензором напряжений Коши — Лагранжа. Касательная составляющая Р равна [c.97]

Таким образом, построенные на основе цепочек (7.11), (7.21) тензоры напряжений и деформаций представляют сопряженные в смысле Лагранжа пары обобщенных сил и перемещений. [c.116]

Адекватность методов Лагранжа и Эйлера в МСС позволяет пользоваться любым из них. Сначала будем следовать методу Лагранжа и систему координат Х1 в начальный момент времени считать декартовой ортогональной. Тензоры напряжений и дефор- [c.157]

Лагранжев и эйлеров тензоры линейных деформаций можно разложить на шаровые тензоры и девиаторы тем же самым способом, как в гл. 2 было выполнено разложение тензора напряжений. Если компоненты лагранжева и эйлерова девиаторов обозначить через йц и соответственно, то нужные выражения имеют вид [c.131]

Чтобы изложение было убедительнее, разберемся сначала с силовыми факторами. Введем соответствующие тензоры напряжений как множители Лагранжа. Запишем вариационное уравнение принципа виртуальной работы для тела с нагрузками в объеме и на поверхности [c.106]

В начале двадцатого века Эйнштейн показал, что соотношения (2.23) тождественно удовлетворяют однородным уравнениям движения (2.79), (2.80). Конечно, Эйнштейн не рассматривал движение сплошной среды. При распространении результатов Эйнштейна на механику сплошной среды предполагается отождествление тензора множителей Лагранжа с тензором кинетических напряжений 7 согласно формулам (2.77), (2.78). Утверждение Эйнштейна справедливо, если тензор кривизны и символы Кристоффеля, входящие в уравнения движения, определены в одинаковой метрике, соответствующей естественной или физической геометрии пространства. [c.52]

Эта форма функции соответствует содержанию задач гидромеханики. Напомним, что гидродинамическое давление р, согласно гл. 2, выражается через множители Лагранжа т. е. через тензор напряжений, связанный с переменными второго рода для вязкой жидкости формулами Навье — Стокса. [c.76]

Сравнивая дивергентные части уравнений (3.47), (3.48) и (2.75), принимая во внимание связь между тензором множителей Лагранжа и тензором кинетических напряжений, выраженную равенствами (2.77), (2.78), находим, с точностью до постоянного множителя и аддитивных компонент некоторого тензора N 4, с равной нулю дивергенцией, новые выражения компонент тензора кинетических напряжений [c.79]

Будем исходить из вариационного уравнения Лагранжа в форме (16). Заменим в этом уравнении тензор напряжений через тензор деформации по формуле (7), учитывающей влияние температуры. Компоненты тензора деформаций в криволинейно-ортогональной системе координат равны [40] [c.24]

Ввиду того что в момент t лагранжевы координаты являются криволинейными неортогональными и следящими во времени за физическими частицами, они приводят к довольно сложным выражениям и уравнениям для тензоров напряжений и деформаций, ио вместе с тем дают исчерпывающую информацию о поведении связанных с фиксированными частицами параметров. Но в теории напряжений и малых деформаций среды метод Лагранжа приводит к весьма простым и наглядным результатам. [c.57]

Для тензоров 7 и Р терминология не усталовилась. В некоторых исследованиях тензор V называется первым тензором напряжений Пиола — Кирхгофа, а в других работах, наоборот, тензор Р — номинальный тензор напряжений. В [67, 110] тензор Р называется тензором напряжений Лагранжа, а S — тензором напряжений Эйлера. [c.46]

Подстановка выражения (1.12) в (1.10) дает (1.9), что и доказывает достаточность условия (1.12). Набор величин Lij называется тензором напряжений Лагранжа ). Вообще говоря, ЬцфЬц. Обращение уравнения (1.2) дает [c.16]

Хорошо известно, что множители Лагранжа представляют собою реакции связей. Соответственно на уравнение (7.4.3) можно смотреть несколько иначе. Первые два члена представляют собою работу внешних сил, объемных и поверхностных. Третий член есть работа внутренних сил, величины 6e,j = А (би,, j + 6iij, i) представляют собою обобщенные перемещения, а Оу — соответствующие обобщенные силы. Очевидно, что ОцОец есть инвариант, поэтому Оц — симметричный тензор второго ранга, который называется тензором напряжений. Преобразуем третий интеграл в соотношении (7.4.3) интегрированием по частям. Заметим, прежде всего, что [c.220]

Эти уравнения выражают физический смысл множителей Лагранжа. Соотношения (14.44) и (14.45) показывают, что 5,у образуют тензор напряжен Пиолы (см. прилож ие Е). [c.369]

В настоящей и последующих главах упрощаем некоторые обозначения. Для второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа вместо вводим обозначение S, а для тензоров деформаций Грина — Лагранжа и Альманси вместо обозначений и используем Е и е соответственно. [c.68]

Таким образом, t ij — линейная часть приращений компонент тензора деформаций Грина — Лагранжа tEij, отнесенного к текущей конфигурации, является инкрементальным аналогом производной Коттера — Ривлина от тензора деформаций Альман-си или инкрементальным аналогом тензора скоростей деформаций. Кроме того, приращения компонент второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа, отнесенные к текущей конфигурации, являются инкрементальными аналогами компонент производной Трусделла от тензора напряжений Коши. [c.196]

При исследовании больших деформаций среды используются два подхода — Эйлера и Лагранжа. Определяющее уравнение теории пластичности содержит тензоры напряжений и приращений деформаций и описывает жесткоидеальнопластическое поведение тела. Если необходимо учесть влияние упругости, это уравнение предполагают применимым к пластической области скоростей деформации, к которой для вычисления общей скорости деформации добавляют упругую область. Скорость упругой деформации рассматривают как функцию скорости изменения напряжений. [c.153]

Потребуем тецерь, чтобы в неравенстве Мизеса (2.70) напряжения Gy, a-j принадлежали Xi. Такое сужение класса допустимых (Jij не снижает общности принципа Мизеса и не влияет на процедуру получения ассоциированного закона течения (1.13) из неравенства (2.70), поскольку в этой процедуре не учитывается зависимость от координат. В самом деле, по принципу Мизеса в классической трактовке действительный тензор напряжений а в некоторой точке тела дает максимум функции Gjj 6,J при действительных среди всех jj, удовлетворяющих неравенству текучести (2.71) в этой точке при действительных О и X- Следовательно, имеем задачу на условный экстремум функции aijZij, в которой выступают как аргументы. Именно поэтому зависимость от координат не имеет значения. Составляя функцию Лагранжа ф = 0 8й — [c.68]

В термодинамике удобнее тензор напряжений Коши — Лагранжа 5 отнести к плотности р, переобозначив а(х, /)/р, так что (10.4 ), (10.4") перепишем в виде [c.144]

Подводя итоги, следует отметить, что метод множителей Лагранжа оказался плодотворным в области механики сплошной среды. Этот метод позволил ввести в пределы лагранжевой механики классическое представление о тензоре напряжений и тензоре кинетических напряжений. Было обнаружено не рассматриваемое ранее поле напряжений, описываемое тензором ,1 . Это поле в линейном приближении не связано с законом движения элементов сплошной среды. При привлечении нелинейных членов в рассмотренных уравнениях эта связь может быть обнаружена. Такое утверждение основывается на составё ковариантных производных, входящих в уравнения движения и содержащих символы Кристоффеля, выраженные равенствами [c.51]

Наша конечная цель — определить поле деформации и поле тензоров напряжений Коши, возникаюш,ие в теле, которое подвергается действию заданной системы приложенных сил. Для решения этой задачи не удаётся эффективно воспользоваться уравнениями равновесия в деформированной конфигурации, поскольку они записаны в переменных Эйлера х = ф (х), которые сами относятся к числу неизвестных. Чтобы избежать трудностей такого рода, перейдём в уравнениях равновесия к переменным Лагранжа х, соотнесённым с отсчётной конфигурацией, которая считается заданной раз и навсегда. Точнее, преобразуем левые части div" 7 и TV, а также правые части f и уравнений равновесия для в величины того же типа, определённые на Q. [c.105]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...