Тензор функций напряжений

Для того, чтобы подтвердить сказанное, во-первых, покажем, что в пространственной задаче теории упругости компоненты напряжений могут быть выражены через шесть некоторых функций напряжений (наподобие функции Эри в плоской задаче теории упругости), образующих так называемый тензор функций напряжений, а во-вторых, представим все основные уравнения и зависимости пространственной задачи теории упругости в матричной форме. [c.451]

НИИ известны все компоненты тензора деформаций. В случае свободной поверхности в локальной системе координат, связанной с точкой поверхности тела, в которой одна ось ( з) совпадает с нормалью к поверхности, а две другие (sj и ij) — с касательными к линиям кривизны поверхности, три компоненты тензора деформаций получаются непосредственно из изме-рений(ец, 22, е 12), одна ( 33) - из закона Гука, а две остальные (ei з, баз) равны нулю. Для соответствующего тензора напряжений отличными от нуля компонентами являются i, ffa 2. 2 В этих случаях естественно и целесообразно установить связь искомого вектора напряжений на Z, не с компонентами вектора перемещений, а с тензором напряжений на S. Для этого определим тензор функций напряжений Грина s, х), соответствующий тензору перемещений (j, х) [c.67]

Тензор функций напряжений. Уравнения равновесия сплошной среды (1.5.4) линейны относительно компонент тензора напряжений, и их решение представляется суммой какого-либо частного решения уравнения [c.25]

Б плоской задаче теории упругости напряжения не зависят от координаты а компоненты t z, тензора напряжений отсутствуют. Инвариантное относительно поворота вокруг оси ОХз. выражение тензора функций напряжений можно взять в виде [c.27]

Из представления (1.6.6) видно, что по заданному тензору напряжения Т тензор функции напряжений определен с точностью до слагаемого —-симметричного тензора, операция Ink над которым равна нулю. Таким тензором, как увидим ниже, в п, 2.1 гл. II, и что легко проверить, является линейный тензор деформации над любым вектором а [c.27]

Теперь выражение тензора напряжений Т через тензор функций напряжений, основываясь на формуле (1.5,4), можно записать в виде [c.134]

Функция напряжений. Тензор функций напряжений (п. 1.6 гл. I) задается в виде [c.756]

Значение Х°, соответствующее точке условной стационарности и°, может быть не единственным. Чтобы обеспечить единственность Х°, обычно накладывают требование независимости на уравнения, содержащиеся в дополнительном условии (2) это требование выражается в том, что матрица Якоби множества функций, сокращенно записанных ф(и), должна иметь соответствующий ранг (см., например, [0.9, 1.6]). В данной книге нет необходимости заботиться об единственности множителей Лагранжа. В гл. 3 и 4 будут часто встречаться случаи, когда существует бесконечное множество Х° (например, функционал Эпз (е, ф), где тензор функций напряжений ф является множителем Лагранжа, гл. 3). В этих случаях нас устраивает любое из бесконечного множества значений так как все они определяют одно и то же решение исходной задачи (I), (2). [c.37]

Уравнение равновесия (1.6) имеет и другие общие решения [3.3, 3.9], которые могут служить основой для других разновидностей функционала Кастильяно в функциях напряжений. В частности, ряд разновидностей общего решения (1.7) можно получить, полагая некоторые компоненты тензора функций напряжений ф равными нулю [3.3]. В декартовой системе координат существует пять, а в криволинейной системе — больше различных общих решений, в которых напряжения выражены через три компонента [c.60]

МОЖНО получить полные функционалы (табл. 3.9), аналогичные табл. 3.3. Их условием стационарности, кроме обычных уравнений теории упругости, приведенных в табл. 3.3, служат условия отсутствия статических и кинематических разрывов на D. Разрывы тензора функций напряжений ф и его нормальных производных также будем называть статическими разрывами. [c.93]

Кроме того, введем первый и второй тензоры функций напряжения соответственно с помощью равенств [c.81]

Равным образом из (6.39.5), (6.39.6) следует правильность выбора физических составляющих первого и второго тензоров функций напряжения. [c.82]

Какие преимущества получаются при определении тензора напряжений с помощью тензоров функций напряжений Э.Бельтрами, Дж.Максвелла и функции напряжения Дж.Эри [c.116]

Тогда уравнения равновесия удовлетворяются тождественно, если ввести симметричный тензор функций напряжений ф по правилу [c.111]

Итак, задача В для упругого композита (3.32), (3.34) сводит--ся к решению двух рекуррентных последовательностей задач. Пер- вая из них (задачи Дв(й), к = 0, 1, 2,. ..) заключается в многократном решении краевой задачи (3.61), (3.62) по теории эффек- тивного модуля с входными данными, определяющимися из предыдущих приближений. Результатом решения каждой задачи Дв(й) служит тензор функций напряжений из которых формируется тензор функций напряжений ф (3.60) для усредненных г напряжений т°, а из них и сам тензор а (3.41). Правда для этого нужно еще решить вторую рекуррентную последовательность задач (задачи Жв( ), = 0, 1, 2,. ..) (3.57), при решении которой находятся локальные функции М<") и эффективные податливости п-го уровня Н<"). [c.116]

Если объемные силы обладают потенциалом (3.30), то можно ввести тензор функций напряжений <р (3.31) и для него сформулировать задачу (3.32) — (3.35). Решение этой задачи по теории нулевого приближения имеет вид [c.131]

Если объемные силы обладают потенциалом (4.3.30), то можно ввести тензор функций напряжений ф (4.3.31) и для него сформулировать задачу аналогично (4.3.32),— (4.3.35). Решение [c.271]

Т. е. тензор напряжений, удовлетворяющий однородным уравнениям статики, является ротором транспонированного ротора произвольного симметричного тензора ф. Тензор Ф называется тензором функций напряжений. Явное выражение напряжений через компоненты тензора Ф можно сразу же написать по формулам (4.11), заменив [c.28]

Тензор функций напряжений определён с точностью до тензора Ч , удовлетворяющего требованию [c.28]

Этим уравнениям при отсутствии объёмных сил можно согласно 5 удовлетворить, вводя симметричный тензор функций напряжений Фгг- > фср- Компоненты тензора напряжения а ,. .выражаются через функции напряжений так же, как соответствующие компоненты тензора а выражались через компоненты тензора деформации, т. е. с помощью формул (7.9). Возьмём, например, за тензор функций напряжений шаровой тензор, т. е. произведение скаляра Ф и единичного тензора [c.40]

Связь общих решений с тензором функций напряжений [c.58]

В 5 было показано, что уравнениям равновесия сплошной среды при отсутствии объёмных сил можно удовлетворить, выражая тензор напряжения Т через симметричный тензор функций напряжений ф [c.58]

Выражение тензора напряжений Т через тензор функций напряжений Ф по (12.1) и (11.7) имеет вид [c.60]

Преобразование Ю. А. Круткова. Рассматривая случай отсутствия массовых сил, представим, следуя (1.6,6) гл. I, тензор напряжений Т через тензор функций напряжений [c.133]

Полученные Ю. А. Крутковым (1949) формулы (1.6.10), (1.6.13) представляют одну из форм общего решения задачи линейной теории упругости ими определяются по тензору функций напряжений, удовлетворяющему дифференциальному уравнению (1.6.9), тензор напряжения Т и вектор перемещения и. Они оказались зависящими лишь от первого инварианта Ф и дивергенции 6 тензора Ф. Поэтому нет нужды в знании всех компонент этого тензора, а достаточно лишь связать 6 и Ф соотношением, являющимся следствием (1.6.9). [c.135]

Гес.метрические граничные условия (5) могут быть заданы в дифференциальной форме — в виде деформационных граничных условий [0.3, 3.8], а статические уравнения на поверхности (4) — в интегральной форме, в функциях напряжений. В этом случае могут быть заданы некоторые компоненты тензоров тангенциальной и иэгибной деформаций поверхности S и дополнительные компоненты тензора функций напряжений. [c.51]

В первое слагаемое входят известные, неварьируемые величины оно не нуждается в дальнейших преобразованиях. Чтобы избавиться от перемещений во втором слагаемом, выразим вектор напряжений f + e°-n через компоненты тензора функций напряжений Ф у и некоторые функции (а, Р=1, 2) от их нормальных производных в системе координат, связанной с поверх- [c.56]

Саусвелл первоначально дал вывод уравнений неразрывности, основанный на применении общих решений Максвелла и Морера, т. е. фактически использовал тензор функций напряжений ф. По-видимому, появление нового длинного и запутанного доказательства объясняется тем, что этот вывод его не удовлетворил по следующей причине. [c.61]

Условия стационарности функционала Эпз — геометрические уравнения в деформациях в объеме и на поверхности и зависимости между деформациями и функциями напряжений, которые одновременно играют роль статических и физических уравнений. Отсюда следует, что множители Лагранжа совпадают с компонентами тензора функций напряжений в форме Финци — Блоха — Круткова (см. 1). [c.65]

Воспользуемся тождеством (П1.89). Для этого предсгавим тензор напряжений с помощью тензора Т , называемого тензором функций напряжений Э.Бельтрами, в виде [c.104]

Статическая часть смешанньа граничных условий (1.3.52) и (1.3.53), представленных в табл. 6 и 7, также записывается через тензор функций напряжений Т [c.141]

Выбирая тензор функций напряжений шаровым Ф = УФ, можно при отсутствии объёмных сил удовлетворить уравнениям равновесия (7.18) с помощью функции напряжений Ф тогда, как видно из таблицы 1, тензор (rotФ) будет кососимметричным с таблицей компонентов [c.42]

Прикладная механика твердого деформируемого тела Том 2 (1978) -- [ c.451 , c.452 , c.454 ]

Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек (1978) -- [ c.51 ]

Пространственные задачи теории упругости (1955) -- [ c.28 ]

Нелинейная теория упругости (1980) -- [ c.70 , c.71 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...