Дивергенция тензора напряжений

Это, однако, несправедливо для неньютоновских жидкостей. Действительно, для произвольного уравнения состояния, отличного от ньютоновского, уравнение (7-1.11) уже не будет означать, что дивергенция тензора напряжений равна нулю для несжимаемых жидкостей, и, следовательно, безвихревые поля течения, удовлетворяющие уравнению (7-1.6), не будут решениями полных уравнений движения. Следовательно, результаты классической гидромеханики применимы к неньютоновским жидкостям только в рамках ограничений, налагаемых неравенством (7-1.7). [c.257]

Из формул (2.39) следует, что дивергенция тензора напряжений (вектор р.. ) сводится к объемной силе. Проиллюстрируем это превращение поверхностных сил в объемные следующими простыми выкладками. [c.300]

Уравнения движения сплошной среды определяют в заданных полях массовых сил и скоростей дивергенцию тензора напряжений, но не напряженное состояние ее. Все процессы (движения и равновесия) происходят в соответствии с этими уравнениями будучи необходимыми условиями осуществимости процессов, они недостаточны для их полного описания, так как различные среды (материалы) по-разному реагируют на воздействие одной и той же системы сил (кусок глины, стальной стержень). Единые для всех сред общие теоремы механики — количеств движения, моментов количеств движения, из которых выведены уравнения движения, должны быть дополнены физическими закономерностями, определяющими поведение материалов различных свойств. Ими формулируются уравнения состояния (называемые также определяющими уравнениями) — соотношения связи тензора напряжений с величинами, определяющими движение частиц среды, если ограничиться только механической постановкой задачи (тепловые воздействия рассматриваются в гл. 9). Эксперимент является решающим в установлении этих закономерностей, но только в конечном счете . Неизбежно умозрительное рассмотрение с целью установить общие принципы построения уравнений состояния и классификации материалов. Лишь исходя из математической модели некоторого достаточно узкого класса материалов, можно извлечь сведения [c.80]

Уравнения равновесия в терминах компонентов. Для того чтобы записать уравнения равновесия в скалярной форме, нужно вычислить дивергенцию тензора напряжений 6 . Воспользуемся сказанным в предыдущем параграфе (п.2) и формулой (13.6) для производной тензора, получим [c.54]

Вернемся к приведенному выше доказательству симметричности тензора напряжений оно нуждается в уточнении. Поставленное физическое условие (представимость тензора Mik в виде интеграла только по поверхности) будет выполнено, не только если антисимметричная часть тензора (т. е. подынтегральное выражение в объемном интеграле в (2,3)) равна нулю, но и если она представляет собой некоторую полную дивергенцию, т. е. если [c.17]

Первый же член в реактивной части тензора напряжений (40,16) квадратичен по бп и потому должен быть опущен. Должны быть опущены также и квадратичные члены, возникающие при образовании тензорной дивергенции д aУk в уравнении (40,7) и член (vV) V в его левой стороне. В результате это уравнение сводится к следующему [c.220]

Для внесения полной ясности процитируем ряд высказываний из-диссертации Говарда Силы, сказывающиеся на движении среды, делятся на объемные и поверхностные. Второй закон Ньютона формулируется таким образом, чтобы ввести поверхностные силы как дивергенцию симметричного тензора (тензор напряжения). Вид тензора касательного напряжения для изотропной среды основывается на свойствах изотропных функций. [c.92]

Приращение количества движения в единице объема равно дивергенции тензора потока импульса, первая часть которого выражает конвекцию, а вторая — перенос импульса —тензор давлений). В случае несжимаемой жидкости тензор потока импульса состоит из скалярных гидродинамических напряжений и тензора вязких напряжений. [c.32]

Учитывая (1.15) и симметрию тензора напряжений, интеграл по 5 согласно теореме Гаусса—Остроградского о дивергенции [191 заменим на интеграл по ]/ [c.13]

По теореме о дивергенции [19] и с учетом (1.5) в силу симметрии тензора напряжений [c.75]

Из соотношений (12.12) и (12.14) следует, что для решения задачи теории упругости не требуется знания тензора функций напряжений, а достаточно иметь выражения его дивергенции и первого инварианта. Этот вектор и скаляр, однако, не независимы друг от друга, а связаны соотношением, которое получим, вычислив дивергенцию тензоров в правой и левой частях соотношения (12.11). Применив формулы преобразования [c.60]

Для получения уравнений газовой динамики в радиационном поле необходимо вычислить дивергенцию тензора радиационных напряжений. Для этого умножим уравнение (4.6) сначала на соз(/, х), а затем на os (/, у) и, соответственно, на os(/, z). Проинтегрировав каждое уравнение по всем направлениям, получим [c.653]

Дивергенция тензора интегральных радиационных напряжений получается интегрированием выражения (5.9) по спектру. [c.654]

В линейной теории упругости, напомним, распространен вариант полуобратного метода, в котором исходным этапом служит задание статически возможного, иначе говоря, удовлетворяющего уравнениям статики в объеме и на поверхности, напряженного состояния. Далее проверяется, что это состояние согласуется с уравнениями Бельтрами — Мичелла этим гарантируется, что линейный тензор деформации, вычисляемый по принятому тензору напряжений, допускает определение вектора перемещения и. Перенесение этого приема в нелинейную теорию затруднено тем, что обращение уравнения состояния — разыскание меры деформации по тензору напряжений из нелинейного уравнения состояния практически неосуществимо (И, 8) и неоднозначно. Аналог уравнений Бельтрами —Мичелла в нелинейной теории может быть использован лишь в исключительных случаях ( 17). Поэтому вторым вариантом полуобратного метода здесь может служить исходное задание меры деформации, удовлетворяющее условиям обращения в нуль тензора Риччи (П1.10.21). По этой мере и по уравнению состояния составляется тензор напряжений. Он должен быть статически возможным его дивергенция должна быть нулем, если не учитываются массовые силы, а по его произведению на вектор нормали определяются поверхностные силы. Конечно, нет оснований ожидать, что такая процедура не потребует при выполнении уравнений статики в объеме конкретизации задания коэффициентов определяющего уравнения, как функций инвариантов меры деформаций (скажем, коэффициентов фг(/1, 2, /з) в (4.3.4)). Значит и формы представления поверхностных сил зависят от выражений этих коэффициентов, иначе говоря, их нельзя представить в единой записи, независящей от того, какой принят закон зависимости удельной потенциальной энергии э(/,, /2, /3) от ее аргументов. [c.135]

Применяя это преобразование к тензору напряжений Коши 7 ", получим тензор Т, который называется первым тензором напряжений Пиолы—Кирхгофа. Как показано в теореме 1.7-1, главное преимуш,ество этого преобразования заключается в том, что оно приводит к особенно простому соотношению между дивергенциями обоих тензоров, а именно [c.105]

Дивергенцией тензора (5) называется вектор, компоненты которого по осям дг, у, г представляют дивергенции векторов напряжений на соответствующих основных площадках ( 2) [c.121]

Движение упругого твердого тела можно описать в терминах смещения (х, I) точки из положения х в недеформированном состоянии. Удобно также ввести X (х, г) = х + (х, Ь) — новое положение в момент времени I. Силы, действующие на поверхности деформированного тела, можно описать так же, как и в случае жидкости (см. 6.1), посредством тензора напряжений р . Если мы временно будем считать напряжение в деформированном состоянии функцией текущей переменной X, то напряжения вызовут результирующую силу на единицу объема, равную дрц дХ]. Это следует из теоремы о дивергенции точно так же, как и в случае жидкости. Однако предыдущее лагранжево описание смещений (обычно более удобное в упругости) связывает все величины с исходным недеформированным состоянием. При этом результирующая сила на единицу объема недеформированного состояния равна [c.208]

Здесь ( ) есть часть тензора напряжений, дивергенция которой равна нулю. Вязкость дается следом произведения матриц в правой части уравнения (4.14). Таким путем нам удалось выразить кинетические коэффициенты для нашей проблемы как функции динамических переменных при эволюции системы от момента времени I до момента при наличии классических траекторий. [c.228]

Исходя из соотношения (12.16), можно получить другие общие решения уравнений теории упругости. Если, в частности, принять в них Ф = 0, то вектор Ь, как следует из (12.14) и (9.4), только множителем будет отличаться от вектора перемещения и. Таким образом, имея вектор перемещения и, удовлетворяющий уравнениям теории упругости в перемещениях при отсутствии объёмных сил, можем рассматривать этот вектор как дивергенцию некоторого тензора функций напряжений, являющегося девиатором симметричного тензора [c.62]

Сравнивая дивергентные части уравнений (3.47), (3.48) и (2.75), принимая во внимание связь между тензором множителей Лагранжа и тензором кинетических напряжений, выраженную равенствами (2.77), (2.78), находим, с точностью до постоянного множителя и аддитивных компонент некоторого тензора N 4, с равной нулю дивергенцией, новые выражения компонент тензора кинетических напряжений [c.79]

Смысл введенных координат очевиден т] — интенсивность тен- зора вязких напряжений в линейном случае т] — дивергенция вектора скорости т] — единственная отличная от нуля. компонен- та вектора rot и, ф — угол между первым главным направлением тензора П (в линейном случае) и осью Ож. [c.122]

Таким образом, для любого объёма тела каждая из трёх компонент JйУ равнодействующей всех внутренних напряжений может быть преобразована в интеграл по поверхности этого объёма. Как известно из векторного анализа, интеграл от скаляра по произвольному объёму может быть преобразован в интеграл по поверхности в том случае, если этот скаляр является дивергенцией некоторого вектора. В данном случае мы имеем дело с интегралом не от скаляра, а от вектора. Поэтому вектор P должен являться дивергенцией некоторого тензора второго ранга, т. е. иметь вид [c.641]

Следует хорошо понять физический смысл того обстоятельства, что V-T = 0. В теории идеальной жидкости полагают х = О и, следовательно, т = О, так что равенство V-т = О тривиально. Для ньютоновской несжимаемой жидкости в случае безвихревого течения V т = О (т. е. результирующая сила вследствие действия напряжений па любую замкнутую поверхность равна нулю), но сами напряжения не равны нулю. То, что дивергенция тензора напряжений может быть равна нулю, хотя сами напряжения и не равны нулю, не неожиданно действительно, в гл.. 5, например, это было показано для течения удлинения. Заметим, что диссипацрш энергии т Vv всегда равна нулю в идеальной жидкости, но отлична от нуля в ньютоновской жидкости, даже если последняя участвует в изохорном безвихревом течении, где V - т = 0. Фактически эта интересная задача ньютоновской гидромеханики была первоначально решена в работах [2, 3] при помощи вычисления полной скорости диссипации в безвихревом поле течения, удовлетворяющем уравнению (7-1.6). [c.256]

Система уравнений (32) является аналитическим выражением векторной формы уравнения в напряжениях (36) в прямоугольной декартовой системе координат. Пользуясь формулами проекций ускорения дУГйЬ и дивергенции тензора напряжений Ьгу Р на оси прямоугольных криволинейных координат, можно получить уравнения в напряжениях в соответствующей системе координат. Так, используя формулы проекций ускорения в цилиндрической ((48) предыдущей главы) и сферической ((49) предыдущей главы) системах координат, а также соответствующие формулы (IV.И) и (1У.13) для Р, составим уравнения в напряжениях в этих двух наиболее употребительных системах криволинейных координат. Процесс составления этих уравнений настолько прост, что вряд ли есть необходимость их здесь выписывать. [c.62]

Применяя принятую терминологию, можем еще сказать, что дивергенция тензора напряженности определяет вектор интенсивности объемного действия поверхностных сил в данной точке потока. Произведение вектора Div Я на элемент объема dt дает главный вектор поверхностных сил, приложенных к поверхности, 01 рани 1иваютцей элемент dx, а интеграл [c.97]

Соотношения, полученные в 1, 2, 4 и 5, были сформулированы в инвариантной форме. Это позволяет тотчас же, руководствуясь правилами, установленными в 6, записать эти соотношения в криволинейных координатах. Начнём с уравнений равновесия сплошной среды. Надо составить выражение вектора divT — дивергенции тензора напряжений Т. Диадное представление этого тензора имеет вид [c.36]

Полученные Ю. А. Крутковым (1949) формулы (1.6.10), (1.6.13) представляют одну из форм общего решения задачи линейной теории упругости ими определяются по тензору функций напряжений, удовлетворяющему дифференциальному уравнению (1.6.9), тензор напряжения Т и вектор перемещения и. Они оказались зависящими лишь от первого инварианта Ф и дивергенции 6 тензора Ф. Поэтому нет нужды в знании всех компонент этого тензора, а достаточно лишь связать 6 и Ф соотношением, являющимся следствием (1.6.9). [c.135]

Здесь Ф - плотность активных массовых сил, divP - дивергенция тензора внутренних напряжений, внося материальную производную под знак интеграла и используя предположение о малости деформа -циА, уравнение (6.1) преобразуем к виду [c.14]

Два первых члена соответствуют плотности силы, действующей на заряд плотности р и ток плотиостп j (как это вытекает из определения силы Лоренца). Третий член может быть интерпретирован как скорость изменения плотности импульса электромагнитного ноля. Поэтому тензор Т описывает напряжения, дивергенция которглх равна скорости изменения полного импульса (вещества и поля) единицы объема. [c.695]

Здесь ) DIDJ = д Ш + йд/дх + vdldy — субстанциональная производная, D = y-V — дивергенция скорости, ёх = ё + V /2 — внутренняя энергия торможения ) на единицу массы, —вектор потока тепла, Т — тензор полных напряжений. Для определения этих величин необходимы дополнительные соотношения. В компоненты тензора Т входят как давление, так и вязкие напряжения. Гравитационная постоянная, используемая Шлихтин-гом [1968], в приведенную систему не введена явно, но неявно она включается в принятую здесь систему единиц. [c.317]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...