Связь тензора напряжений с тензором

Заметим, что в линеаризованном случае связь тензора напряжений с тензором деформаций обычно не содержит плотности р, следовательно, если такая связь построена, то система уравнений (1.156) — (1.157) станет замкнутой, а уравнение неразрывности в этом случае служит для определения изменения плотности по известному из решения системы (1.156)—(1.157) вектору и х, t). [c.33]

Воспользуемся связью тензора напряжений с тензором скоростей деформации (законом трения Стокса) в виде [c.15]

Связь тензора напряжений с тензором скоростей деформации 15 [c.313]

В этой главе будем рассматривать вязкую жидкость, для которой связь тензора напряжений с тензором скоростей деформаций дается формулами (2.28) гл. VI, установленными на основе закона трения Ньютона. Будем предполагать, что жидкость подчиняется закону теплопроводности Фурье (см. (4.1) гл. VI). Будем рассматривать жидкости без внутреннего момента. Й этом случае уравнение моментов (учитывая, что пн = т 0 удовлетворяется автоматически. [c.86]

Знание свободной энергии позволяет связать тензор напряжений с тензором деформаций и температурой. [c.78]

Удельная мощность напряжений связи, определяемая сверткой тензора напряжений с тензором скорости деформации О по (2.7.12), (1.10.10), (1.13.10), равна [c.255]

Отметим также, что связи (1.117) — (1.119) позволяют считать что напряженное состояние в точке определяется одним лишь тензором напряжений, например тензором t все другие получаются из t с помощью линейных преобразований и замен переменных х = х(а), а = а х) [c.25]

Так как тензор напряжений симметричен, тензоры поверхности прочности Л,-, Bi, i также симметричны. Сравнивая коэффициенты тензорного полинома (5в) с коэффициентами полинома (79), находим, что они связаны следующим образом [c.450]

Для обобщения моделей предыдущего параграфа на случай сложного напряженного состояния удобно исходить из геометрической интерпретации процесса нагружения. Выделим в исследуемом теле элемент в форме параллелепипеда настолько малого размера, что его напряженное состояние допустимо считать однородным. Отнесем этот элемент к осям х , лгз, (рис. 10.7) и обозначим компоненты напряжений, действующих по его граням, через Oij i, /=1, 2, 3). Так как тензор напряжения с компонентами 0,7 симметричен (ajy = ay,), то для характеристики напряженного состояния выделенного элемента достаточно задания шести величин ст,у. Сопоставим напряженному состоянию элемента точку с декартовыми координатами в шестимерном пространстве, которое будем называть пространством напряжений. Ненагруженному состоянию элемента отвечает в пространстве напряжений начало координат. Нагружение образца сопровождается изменением значений и, значит, в пространстве напряжений точка, изображающая напряженное состояние исследуемого элемента, вычерчивает некоторую траекторию —путь нагружения. При одноосном напряженном состоянии все 0 у, кроме одного, например, Сц, равны нулю. В этом случае путь нагружения совпадает с осью СТц. Появление пластической деформации согласно моделям предыдущего параграфа связано с достижением Оц значения характерного для данного материала. Таким образом, на оси Ои можно выделить такую содержащую начало координат область, внутри которой состояние материала при первоначальном нагружении упруго. На рис. 10.8 эта область обозначена Q ее границами являются точки с координатами 1 а,, что соответствует случаю равных пределов текучести при растяжении и сжатии. [c.729]

Третий член правой части уравнения (295) представляет собой воздействие на частицы потока сил трения, вызываемых вязкостью. В дальнейшем, в процессе интегрирования уравнений (294)—(298), придется найти связь напряжений трения т,-/ с полем скоростей потока. Возвращаясь к формуле (286), можно ее трактовать как закон пропорциональности одной из касательных компонент тензора напряжения компоненте тензора скоростей деформаций. Обобщая закон Ньютона на случай произвольного движения жидкости или газа, будем предполагать, что тензор напряжений в движущейся жидкой или газообразной среде есть линейная функция тензора скоростей деформаций. Для большинства рабочих агентов энергетических машин эта гипотеза хорошо оправдывается на опыте и ее можно было бы назвать обобщенным законом Ньютона. Численное выражение искомой линейной связи можно легко написать, если дополнительно считать движущуюся среду изотропной, т. е. такой, у которой физические свойства не зависят от особых, заданных наперед направлений в пространстве. При этом коэффициенты линейной связи между тензором напряжений Р и тензором скоростей деформаций S должны быть скалярами и искомая связь будет иметь вид [c.167]

В основе М. лежат три закона Ньютона. Первые два справедливы по отношению к т, н. инерциальной системе отсчёта. Второй закон даёт осн. ур-ния для решения задач динамики точки, а вместе с третьим — для решения задач динамики системы материальных точек. В М. сплошной среды, кроме законов Ньютона, используются закона, отражающие свойства данной среды и устанавливающие для неё связь между тензором напряжений и тензорами деформаций или скоростей деформаций. Таковы Дука закон для линейно-упругого тела и закон Ньютона для вязкой жидкости (см. Вязкость). О законах, к-рым подчиняются др. среды, см. в ст. Пластичности теория. Реология. [c.127]

Таким образом, все введенные симметричные тензоры напряжений превращаются либо в инвариантный тензор s, либо в индифферентный тензор S. То есть симметричные тензоры напряжений являются тензорами истинных напряжений s или s, отличающимися друг от друга преобразованиями поворота (1.76). В силу (1.53) формулы связи (1.75) тензора напряжений Коши s с несимметричными тензорами напряжений Р и Р сводятся к следующим [c.48]

В первом приближении изменение тензора диэлектрической непроницаемости линейно связано с тензором напряжений. С точностью до членов первого порядка малости температурные изменения тензора диэлектрической непроницаемости запишутся в виде [c.33]

В п. 2.2 получены кинематические зависимости, которые связывают относительную деформацию и вращение с первой производной от вектора смещения. Здесь введем, с одной стороны, уравнения связи для упругого тела, с помощью которых устанавливается зависимость между тензором относительных деформаций и тензором напряжений, и, с другой стороны, дифференциальные уравнения движения или равновесия, которые связывают градиент тензора напряжений с ускорением элемента таким образом, в последнем (имеется в виду ускорение) фактически неявно присутствует вторая производная от смещения. Однако прежде всего обратимся к вопросам кинематики и подсчитаем изменение кривизны поверхности предмета, при этом [c.154]

Наконец свяжем динамические величины с кинематическими это осуществим с помощью уравнений связи, которые устанавливают зависимость между тензором напряжения и тензором [c.163]

Это может быть выведено из кинетической теории для одноатомных газов ). Можно и ошибочным способом вывести условие (2), определив давление р в виде (рп + Р22 + Рзз)/3. Ловушка состоит в том, что не известно, определяет ли это давление плотность согласно термодинамическому уравнению состояния р = р(р, Т), в котором р и р берутся из статических измерений. Если это так, то условие (2) имеет место ([7], стр. 718) в противном случае, мы не знаем, как связать термодинамическое давление с тензором напряжения pij 1 . [c.49]

В соответствии с рассмотренным опытом можно вывести связь между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций в общем случае. [c.72]

Обращаясь к эксперименту, мы сталкиваемся с серьезными трудностями. Это видно хотя бы из того, что в любом эксперименте для определения X необходимо возникают явления, сопровождающиеся большим увеличением 0, в связи с чем встает вопрос о применимости закона линейной зависимости тензора напряжений от тензора деформаций. Основы- [c.208]

Выражения (22—24) характеризуют взаимосвязь между напряжениями и деформациями в одном и том же направлении. Однако при сложных схемах напряженного состояния деформация может не совпадать по направлению с напряжением. Тогда описанный элементарный закон Гука должен быть заменен обобщенным, который устанавливает линейную связь между напряжениями и дефо(рмациями в любых направлениях, т. е. между компонентами тензора напряжений и тензора деформаций. [c.28]

Для построения связи между тензором напряжений и тензором деформаций рассмотрим, следуя идеям работ [4, 5], двумерные динамические модели. На рис. 2а - )/с показаны двумерные динамические модели, соответствующие одномерным моделям, приведенным на рис. 2а-снс. [c.278]

Связь компонентов тензора напряжений с относительными удлинениями и сдвигами — обобщённый закон Гука — получаем, записывая тензорные соотношения (8.15) в координатной форме [c.45]

Эти уравнения получаются путём исключения деформаций из условий сплошности (4.10) с помощью соотношений, связывающих тензор деформации с тензором напряжений. В случае упругого тела указанная связь даётся обобщённым законом Гука (8.15) и результат исключения имеет вид [c.55]

Связь общих решений с тензором функций напряжений [c.58]

Установим еще связь тензора напряжений с нагрузками я, заданными на границе тела Ао. Нагрузка, действующая на элемент с(Ао, равна В состоянии равновесия эта сила должна уравновешиваться силой с компонентами ОлП иАо, действующей на тот же элемент изнутри области. Поэтому [c.46]

Уравнения движения сплошной среды определяют в заданных полях массовых сил и скоростей дивергенцию тензора напряжений, но не напряженное состояние ее. Все процессы (движения и равновесия) происходят в соответствии с этими уравнениями будучи необходимыми условиями осуществимости процессов, они недостаточны для их полного описания, так как различные среды (материалы) по-разному реагируют на воздействие одной и той же системы сил (кусок глины, стальной стержень). Единые для всех сред общие теоремы механики — количеств движения, моментов количеств движения, из которых выведены уравнения движения, должны быть дополнены физическими закономерностями, определяющими поведение материалов различных свойств. Ими формулируются уравнения состояния (называемые также определяющими уравнениями) — соотношения связи тензора напряжений с величинами, определяющими движение частиц среды, если ограничиться только механической постановкой задачи (тепловые воздействия рассматриваются в гл. 9). Эксперимент является решающим в установлении этих закономерностей, но только в конечном счете . Неизбежно умозрительное рассмотрение с целью установить общие принципы построения уравнений состояния и классификации материалов. Лишь исходя из математической модели некоторого достаточно узкого класса материалов, можно извлечь сведения [c.80]

Таким образом, получены выражения энтропии s через параметры Г, ць. .., х и ряд соотношений, связывающих тензор напряжений с параметрами состояния, определяющих и связь между Мц, и S 3. [c.132]

Поскольку показатель степени а в всех рассмотренных нами моделях является основной величиной, характеризующей влияние фрактальных свойств среды на распространение в ней переходных волн, то, связав, например, его изменение с изменениями физических условий, в которых находится среда, можно сделать выводы о том, как это повлияет на волновые явления в ней. Например, поскольку этот параметр - скаляр, то естественно предположить, что в случае, когда фрактальные включения имеют сжимаемость, отличную от сжимаемости матрицы , этот параметр будет изменяться при изменении напряжений в массиве такой среды. Например, если среда представляет собой твердый скелет с фрактально распределенными в нем полостями полыми или заполненными легко вытесняемым флюидом, то при увеличении всестороннего сжатия показатель а должен изменяться. В первом приближении эта зависимость должна быть, очевидно, функцией от первого скалярного инварианта тензора напряжений, или тензора эффективных напряжений и давления флюида в случае двухфазной системы. Такой величиной, например, является [c.184]

В реальных условиях перечисленные случаи обтекания встречаются как в отдельности, так и в различных сочетаниях. Чтобы определить характеристики во всех точках потока, обтекающего поверхность, необходимо при заданных граничных условиях рещить уравнения Навье-Стокса для ламинарного или уравнения Рейнольдса для турбулентного потоков совместно с уравнением неразрывности и с учетом гипотез относительно связи тензора напряжений с тензором скоростей деформации. Решение этой задачи затруднительно, и конечный результат может быть получен лишь для ряда простых случаев. [c.74]

Проведенные рассуждения распространяются на дпсспнатпв-ные среды, для которых связь тензора напряжений с тензором скоростей дефорацпй имеет вид [c.229]

Связь вторичных токов с тензором напряжений Рейнольдса. Может возникнуть сомнение относительно необходимости учета всех компонент тензора напряжения Рейнольдса для описания рассматриваемого класса течений и, следовательно, использования столь сложной модели (2.10) для определяюгцих соотногнений. Для ответа на этот вопрос рассмотрим качественно структуру связи между значениями напряжений Рейнольдса и интенсивностью и видом вторичных течений. Подчеркнем, что главной особенностью рассматриваемых трехмерных течений является наличие интенсивного вторичного течения, характеризуемого компонентами 1/2 и 1/з, лежагцими в плоскости, перпендикулярной оси Ж1, направленной вдоль основного [c.582]

Как указывалось в п. I. 12, возможность установления квадратичной зависимости между соосными тензорами является следствием теоремы Кейли — Гамильтона (I. 10.11), позволяющей заменить степени тензора выше второй его нулевой, первой и второй степенями. Этим указывается другой способ вывода закона состояния. Форма связи рассматриваемого тензора напряжения с соответствующей мерой (или тензором) деформации задается квадратным трехчленом, коэффициенты которого далее определяются по условию интегрируемости вариации удельной потенциальной энергии деформации. Легче всего это проследить на примере энергетического тензора напряжений Q, через который эта вариация непосредственно определяется по формуле (2.1.1) [c.648]

В дифференциальные уравнения (3,8) входят три вектора осреднённого по времени тензора напряжений р ., Ру и р . Для установления связи этого тензора напряжения с вектором скорости осреднённого движения используется вторая гипотеза, согласно которой линейное соотношение между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций остаётся справедливым и при турбулентном движении, т. е. для полного турбулентного движения имеют место равенства [c.455]

В упругой области напряжения не зависят от пути деформации и ее скорости и связаны только с величиной упругой деформации. Поэтому естественно, что некоторые направления создания сходных законов для пластической области также основывают (после работ Хенки, 1924 г.) на связи между компонентами тензора напряжений и тензора полной пластической деформации, обычно называемой теорией малых упругопластических деформаций [12], иногда теорией конечных или полных деформаций [45], или деформационной теорией пластичности [10]. [c.131]

Определить главные напряжения и главные оси тензора напряжений, с которыми будет связана система осей координат Ох х2Хз-Согласно (2.37), главные напряжения а определяются из уравнения ЗЧа К 1 [c.95]

К двадцатым годам по справедливости нужно отнести и начало систематических экспериментальных исследований в связи с вопросами теории пластичности. В 1926 г. опубликовали результаты своих опытов М. Рош и А. Эйхингер, а двумя годами позднее появилась фундаментальная работа В. Лоде ). В обоих случаях испытывались образцы в виде тонкостенных трубок, а одной из главных целей эксперимента было сравнение условий текучести Треска и Мизеса для более широкого набора напряженных состояний, чем простое растяжение и чистый сдвиг. Лоде, кроме того, ввел в рассмотрение параметр, характеризующий вид (отношение диаметров кругов Мора) двухвалентного симметричного тензора, и изучал в своих опытах связь между i r и ig — параметрами Лоде соответственно тензора напряжения и тензора скорости деформации. На плоскости, отнесенной к координатам jia, [Ле-, диаграмма этой связи, по данным опытов Лоде, имеет характерный вид, всегда получавшийся и в более поздних опытах такого типа и позволяющий сделать важные выводы относительно конструкции определяющих соотношений. [c.82]

Подводя итоги, следует отметить, что метод множителей Лагранжа оказался плодотворным в области механики сплошной среды. Этот метод позволил ввести в пределы лагранжевой механики классическое представление о тензоре напряжений и тензоре кинетических напряжений. Было обнаружено не рассматриваемое ранее поле напряжений, описываемое тензором ,1 . Это поле в линейном приближении не связано с законом движения элементов сплошной среды. При привлечении нелинейных членов в рассмотренных уравнениях эта связь может быть обнаружена. Такое утверждение основывается на составё ковариантных производных, входящих в уравнения движения и содержащих символы Кристоффеля, выраженные равенствами [c.51]

Ддя полного "замыкания системы дифференциальных уравнений механики сплошных сред требуется еще шесть уравнений. Эти уравнения, называемые также щдйше ш состощя, связывают тензор напряжений с движением (или перемещением). Эти связи имеют различный вид ддя разных сред и будут сформу.дированы позже. [c.59]

Обсудим теперь обобщенные рэлеевские поверхностные волны в той Hie геометрии (см. рис. III.1). Согласно результатам 3 гл. I, волны, поляризованные в плоскости ху, не связаны с пьезоэффектом. Пусть вектор смещения u = w (a , у, t), Uyix, у, i), 0 . Отличны от нуля компоненты тензора деформации Uxx, Uyy, Uxy и тензора напряжений с х, Оуу, Ощ. Будем считать, что соответствующая часть упругой энергии содержит (в системе координат, связанной с кристаллографическими осями) три упругих модуля Сц=Саа, и Результаты будут справедливы для перечисленных классов, а также для всех классов кубической и тетрагональной систем, не обладающих пьезоэффектом. Обобщение на случай кристаллов ромбической симметрии, где Не представляет особой сложности. Стандартный метод решения задачи о распространении обобщенных поверхностных волн, который мы использовали для исследования сдвиговых ОПВ, приводит к довольно громоздким вычислениям. Поэтому применим несколько иной способ [1201. Будем использовать в качестве независимых переменных компоненты тензора напряжений а, и выразим через них компоненты тензора деформаций Uik. В системе координат х, у, связанной с кристаллографическими осями, имеем, как обычно, [c.105]

Рассмотрение связи тензоров фазовых напряжений с тензорами деформаций и скоростей имеет смысл только при иостроеиии моделей для конкретных сред. Это было сделано, в частности, прн изучении деформирования водонасыщен-иых грунтов Я. И. Френкелем, В. Н. Николаевским и др. [10], а для композитных сред — М. Хлавачеком [11—14], а также в работах [15—18 и др.]. [c.37]

Здесь мы хотим поставить эти исследования на общую математическую основу и распространить их на описание векторных полей в случайно-неоднородных пороупругих средах любой размерности. С помощью фейнмановской диаграммной техники мы выводим усредненные по статистическим неоднородностям определяющие уравнения пороупругой среды. С их помощью показываем, что связь среднего тензора напряжений с усредненным тензором деформаций описывается наследственным уравнением вида (2.230) с ядром вида(/ + Гц), где / - время запаздывания, Гд - малая константа, определяемая радиусом корреляции статистических неоднородностей Величина устраняет расходимости интегралов от ядер релаксации. Как будет показано далее, эта величина связана с характерным пространственным масштабом неоднородности статистической пороупругой среды. Мы ограничимся рассмотрением квазистационарных процессов в пороупругой среде и не исследуем закон дисперсии волн во всей области частот. [c.88]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...