Энергетический тензор напряжений

Энергетический тензор напряжений. Мера деформации определялась в базисе у-объема формулами (3.3.2), (3.3.3) гл. II [c.43]

Здесь удельная элементарная работа представлена сверткой тен вора Q, называемого поэтому энергетическим тензором напряжений, с вариацией первой меры деформации. [c.43]

Элементарная работа. Выражение удельной элементарной работы внешних сил 6 А(е) или равной ей по величине, но противоположной по знаку удельной элементарной работы внутренних сил 6 /4(г), получим, заменив в формулах пп. 3.5, 3.6 гл. I отношение G/g единицей, а тензор деформации — линейным тензором деформации. В линейной теории отпадает необходимость различения метрик v- и 1/-объемов поэтому энергетический тензор напряжения тождественен тензору напряжений Т. Итак, по (3.6.4) гл. I имеем [c.102]

Здесь введен энергетический тензор напряжений Q — тензор, контравариантные компоненты которого в базисе г., начального у-объема равны контравариантным компонентам тензора напряжений Т в базисе V-объема по (3.6.5) гл. I [c.633]

Здесь A не зависит от /3, так что по (I. 12.12) приходим к уже знакомому представлению энергетического тензора напряжений [c.634]

Представление энергетического тензора напряжений. Соосным с ним является тензор деформации Коши и квадратичный трехчлен, их связывающий, представляется в виде [c.648]

Из ни.х сразу же следует представление (2.5.3) энергетического тензора напряжений и выражения (2.5.4) входящих в него k [c.649]

Последующее вычисление несколько осложняется тем, что в выражение вариации удельной потенциальной энергии деформации тензор напряжений непосредственно не входит он может быть введен в него через посредство энергетического тензора напряжений Q с помощью равенства (2.1.2) Q = (Vr) Г Vr. Получаем [c.649]

Разбиение тензора напряжений на шаровой тензор и девиатор. Общее соотношение между двумя соосными тензорами, рассмотренное в п. I. 13, в применении к энергетическому тензору напряжений Q и тензору деформации Коши записывается в виде [см. (I. 13.15)] [c.650]

Сославшись на основное равенство (3.1.1) и пользуясь представлением (3.4.1) энергетического тензора напряжений, имеем [c.651]

Здесь oQ, согласно п, 3.4 гл. I, энергетический тензор напряжений, рассчитанных на единицу площади в начальном состоянии. [c.654]

Выражение тензора деформации Коши через энергетический тензор напряжений — обращение формулы (3.4.1) имеет по (1. 13.15) вид [c.654]

Энергетический тензор напряжений Q по (2.4.6) дается выражением [c.671]

Следуя определению (3.4.1) гл. I, введем в рассмотрение измененный энергетический тензор напряжений [c.672]

К и. 3.4. Представление энергетического тензора напряжений с помощью модулей х и фазы подобия м дано в работе [c.926]

От этого недостатка, очевидно, свободны скорости изменения сопряженных (энергетических) тензоров напряжения (9.5), поскольку последние при жестком повороте [c.158]

Энергетический тензор напряжений а определяется по формуле [c.286]

Энергетический тензор напряжений сг определяется по фор- [c.15]

Уравнение статики, выраженное через энергетический тензор напряжений [c.75]

Эта формула объясняет наименование Т энергетическим тензором напряжений. В линейной теории элементарная работа определяется сверткой тензора напряжений с линейным тензором деформации. [c.77]

В 6—7 введены тензор Пиола (6.2) и энергетический тензор напряжений (6.11). Использование тензора Пиола упрощает многие выводы и соотношения нелинейной теории. Это можно объяснить простотой представления [c.497]

Выше уже упоминалось, что при расчетах на усталость в условиях трехосного напряженного состояния, возникающего, например, в зонах контактных напряжений или в толстостенных резервуарах и цилиндрах с днищами (на основе силовой модели), практически невозможно учесть влияние шаровой части тензора напряжений. Ввиду этого подобные расчеты должны, с нашей точки зрения, проводиться не на основе силовой, а на основе энергетической модели длительного разрушения, где косвенный учет указанного фактора возможен при использовании уравнения повреждений типа (3.54). [c.129]

Третий член правой части уравнения (295) представляет собой воздействие на частицы потока сил трения, вызываемых вязкостью. В дальнейшем, в процессе интегрирования уравнений (294)—(298), придется найти связь напряжений трения т,-/ с полем скоростей потока. Возвращаясь к формуле (286), можно ее трактовать как закон пропорциональности одной из касательных компонент тензора напряжения компоненте тензора скоростей деформаций. Обобщая закон Ньютона на случай произвольного движения жидкости или газа, будем предполагать, что тензор напряжений в движущейся жидкой или газообразной среде есть линейная функция тензора скоростей деформаций. Для большинства рабочих агентов энергетических машин эта гипотеза хорошо оправдывается на опыте и ее можно было бы назвать обобщенным законом Ньютона. Численное выражение искомой линейной связи можно легко написать, если дополнительно считать движущуюся среду изотропной, т. е. такой, у которой физические свойства не зависят от особых, заданных наперед направлений в пространстве. При этом коэффициенты линейной связи между тензором напряжений Р и тензором скоростей деформаций S должны быть скалярами и искомая связь будет иметь вид [c.167]

Применительно к механике сплошной среды, которая строится на основе ньютоновской механики, законы сохранения приводят к существенным результатам. Из закона сохранения массы следует уравнение неразрывности, т. е. необходимое условие существования движущейся и деформирующейся среды именно как сплошной. Из закона сохранения импульса следуют дифференциальные уравнения движения сплошной среды, которые являются основой расчета ее движения и деформации. Из закона сохранения момента импульса следует симметрия тензора напряжения, что существенно упрощает динамические уравнения сплошной среды. Закон сохранения энергии лежит в основе экстремальных принципов сплошной среды и энергетических методов расчета напряженно-дефор-мированного состояния. [c.134]

Из этого равенства можно получить три отличающихся друг от друга энергетических принципа в зависимости от того, через какие переменные выражена удельная потенциальная энергия Л. Задавая ее квадратичной формой А е) [см. (3.2.3) гл. III] компонент деформации, придем к принципу минимума потенциальной энергии системы исходя же из квадратичной формы Л (а) компонент тензора напряжений [(3.2.8) гл. III], получим принцип минимума дополнительной работы. В первом принципе варьируются перемещения, во втором — компоненты напряжения. Наконец, в смешанном принципе стационарности удельная [c.148]

Ряд разделов содержит новые результаты или более совершенное изложение известных работ. В особенности отметим следующие разделы изложение вариационных принципов (п. 14, 15, 24 и 47), теорию динамического подобия (п. 36 и 66), теорию тензора напряжений (п. 59), энергетический метод (п. 73), обобщение теоремы Гельмгольца — Рэлея (п. 75) и некоторые новые формулы и уравнения, например (29.9), [c.7]

Поэтому, повторив ранее сказанное, можно представить теперь тензор напряжений Коши, энергетический тензор и температуру выражениями [c.415]

Система дифференциальных уравнений (1.6)... (1.8) замыкается термическими и калорическими уравнениями состояния, позволяющими в предположении локального равновесия, когда в каждой точке определена температура Tt, выразить тензор напряжения Пг и внутреннюю энергию et через остальные параметры смеси и некоторые физико-химические переменные. При решении конкретных проблем необходимы также феноменологические уравнения, определяющие параметры массового Rtk, силового Pik и энергетического Диг взаимодействия между фазами. В случае малого отклонения от равновесия необходимые соотношения для Rik, Pik и Eik можно получить, применяя принцип Онзагера и постулируя линейные соотношения для термодинамических потоков (например, для теплообмена, трения между фазами, интенсивности фазового перехода). В. случае химических реакций необходимые соотношения для Rth доставляет химическая кинетика. [c.8]

Каждый домен должен отличаться от остальных значением тензора деформации, описывающим спонтанную деформацию исходной элементарной ячейки. Внеш. давление снимает вырождение по энергии у доменов и делает энергетически выгодным один из них при этом фазовая диаграмма кристалла становится более сложной. Напр., в тетрагонально деформированном кристалле при одноосном напряжении изменяется род фазового перехода со 2-го на [c.8]

Для описания процесса накопления повреждений используют энергетический подход. В качестве энергии, расходуемой на создание повреждений в материале, принимают энергию, численно равную работе добавочных напряжений (тензор смещения на поле неупругих деформаций. В процессе нагружения в материале могут происходить процессы накопления повреждений, залечивания повреждений, охрупчивания. Элементарное приращение повреждения определяется отношением элементарной работы добавочных напряжений к текущему значению энергии раз- [c.254]

Как указывалось в п. I. 12, возможность установления квадратичной зависимости между соосными тензорами является следствием теоремы Кейли — Гамильтона (I. 10.11), позволяющей заменить степени тензора выше второй его нулевой, первой и второй степенями. Этим указывается другой способ вывода закона состояния. Форма связи рассматриваемого тензора напряжения с соответствующей мерой (или тензором) деформации задается квадратным трехчленом, коэффициенты которого далее определяются по условию интегрируемости вариации удельной потенциальной энергии деформации. Легче всего это проследить на примере энергетического тензора напряжений Q, через который эта вариация непосредственно определяется по формуле (2.1.1) [c.648]

Компоненты в осях декартовой ортогональной системы энергетического тензора напряжений в соответствии с (2.1.5), (2.1.16) гл. VIII даются равенствами [c.692]

Здесь от, = (Ttjkj—истинные напряжения сг, —компоненты энергетического тензора напряжений F = F kj — плотность внешних сил, отнесенная к единице объема до деформации. [c.335]

В гл. VII 1 тома при выводе уравнений закона Гука для изотропного материала было принято предположение коаксиальности тензоров напряжений и деформаций, вследствие чего, выделив из тела элементарный прямоугольный параллелепипед, грани которого совпадают с главными площадками, мы считали, что в процессе его деформации не происходит сдвигов, поскольку вследствие коаксиальности и Tg ребра пересечения главных площадок должны совпадать с направлениями главных деформаций. Здесь из энергетических соображений получены уравнения закона Гука для изотропного тела, совпадающие с выведенными в I томе, но без использования предположения о коаксиальности тензоров Тд и Те. Напротив теперь логика рассуждений иная — подобие картин [c.479]

Для несжимаемого материала / = ХДгЯз = 1, и в энергетических (сопряженных) напряжениях следует [16] заменить на S + pi, где р — произвольное, определяемое при решении задач слагаемое типа, всестороннего даиления. Из сказанного следует, что к энергетическим (сопряженным) тензорам напряжений следует добавить слагаемые (см. (9.2)) [c.166]

В главе 1 кратко рассмотрены общие нелинейные соотношения механики сплошных сред, приведены необходимые обозначения и выделены две энергетические пары тензоров напряжений и скоростей деформаций, свертки которых определяют мощность внутренних сил. Обсуждаются подходы и методы решения задач численного моделирования динамических волновых процессов и разрушехшя. [c.6]

Глава носит вводный характер. В ней кратко приведены используемые в дальнейшем определения и общие сведения нелинейной механики сплошных сред [23, 28, 33, 60, 67, 72, 105, 167, 191]. Основными являются понятия градиента скорости и энергетической пары тензоров напряжений п скоростей деформаций, виртуальной мош ности и принципа виртуальных скоростей как а.чьтернатпвной формулировки закона сохранения импульса. При описании реологических свойств материала главное внимание уделено нелинейной теории пластичности в форме теории течения. Приведен конспективный обзор методов моделирования разрушения в квазистатике и динамике. [c.10]

Чаще всего в качестве ж используют степенную (обобщенная форма потенциала Огдена) или показательную функции, а энергетической парой выступают тензор кратности удлинений X и симметричный тензор напряжений Био. Степенной закон для описания мышечной ткани применялся в [73] с привлечением идеи о многофазности упругой среды. В [69] форма потенциала Огдена использовалась в виде композиции, описывающей почленно несжимаемую изотропную матрицу и трансверсально-изотропное мускульное волокно, недеформируемое в поперечном направлении. Указанный потенциал строился для аппроксимации результатов экспериментальных исследований образ- [c.514]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...