Тензор деформаций в напряжений в средах сплошных

Обобщенный Закон Гука для упругих сплошных сред тоже получают как линейную зависимость между тензором напряжений П и тензором деформаций 5, компоненты которого выражаются по формулам (36), только вместо вектора скорости и используется вектор смещения и, характеризующий деформацию сплошной среды. Тензор деформаций и обобщенный закон Гука для упругих сплошных сред подробно рассматриваются в теории упругости и курсах сопротивления материалов с элементами теории упругости. Здесь ограничимся только краткими сведениями, относящимся к обобщенно.му закону Гука. [c.556]

Поэтому при выводе приближенных, или инженерных уравнений колебаний вырожденных вязкоупругих систем мы также будем исходить из трехмерной линейной теории вязкоупругости применительно к сплошным средам, проявляющим мгновенную упругость, при этом зависимость компонентов тензора напряжений от компонентов тензора деформаций будем принимать в виде больцманов-ских соотношений типа (1.20) или (1.21). [c.227]

Деформация и напряжение. Для любой сплошной среды любую к ,нечную массу т или объем V можно рассматривать как составную систему в смысле п. 5.1, причем соответствующие основные системы представляют собой элементы объема или массы. Состояние элемента описывается его температурой и некоторым подходящим тензором деформаций соответствующий тензор напряжений определяет действующие силы. С точностью до смещения как абсолютно твердого тела, которое не представляет для нас интереса, конфигурация некоторой конечной массы описывается полем тензора деформаций в F состояние этой массы определяется вполне, если известно поле температур в ней. Следует отметить, хотя это здесь и не очень важно, что поле тензора деформаций нельзя выбирать произвольно. Кинематически допустимое поле деформаций должно удовлетворять некоторым соотношениям совместности. Аналогично, динамически допустимое поле напряжений должно удовлетворять некоторой системе условий равновесия, трактуемых в смысле Даламбера, если сплошная среда находится в состоянии движения. [c.82]

Вернемся к схеме, представленной на рис. В.1. Анализ зарождения макроразрушения проводится на основании данных о НДС (включая изменение НДС во времени) элементов конструкций и локальных критериев разрушения, сформулированных в терминах механики сплошной среды в компонентах тензоров напряжений и деформаций и (или) их инвариантов. Традиционно процедура анализа заключается в сравнении в каж- [c.5]

Для различных сплошных сред зависимости тензора напряжений от тензора скоростей деформаций отличаются друг от друга. Для упругих сплошных сред тензор напряжений зависит от т е н з о р а деформаций. Зависимость между тензорами напряжений и скоростей деформаций часто называют реологическим, уравнением. Сформулируем реологическое уравнение в тензорной форме для сплошных сред, называемых жидкостями, для которых тензор напряжений не зависит от тензора деформаций. К жидкостям относятся обычные капельные жидкости, например вода и газы. При.мером газа является воздух при нормальных атмосферных условиях. [c.553]

Для упругих сплошных сред лн.нейная зависимость между тензором напряжений П и тензором деформации 5, который тоже является симметричным, аналогична (29) и выражается в форме [c.556]

Формулы (146), (147), (151) имеют важное значение в теории упругости, гидродинамике и других разделах механики сплошных сред. В теории упругости тензор напряжений Р заменяется линейной функцией тензора деформаций [обобщенный закон Гука (1635—1703)], в гидродинамике вязкой жидкости — также линейной функцией тензора скоростей деформаций (обобщенный закон Ньютона). Покажем это на простом примере вязкой несжимаемой жидкости. [c.255]

Скалярное произведение тензора внутренних напряжений и тензора скоростей деформаций (PS) представляет собой работу внутренних сил в единице объема среды за единицу времени и выражается различным образом для разных моделей сплошной среды. [c.17]

В основе М. лежат три закона Ньютона. Первые два справедливы по отношению к т, н. инерциальной системе отсчёта. Второй закон даёт осн. ур-ния для решения задач динамики точки, а вместе с третьим — для решения задач динамики системы материальных точек. В М. сплошной среды, кроме законов Ньютона, используются закона, отражающие свойства данной среды и устанавливающие для неё связь между тензором напряжений и тензорами деформаций или скоростей деформаций. Таковы Дука закон для линейно-упругого тела и закон Ньютона для вязкой жидкости (см. Вязкость). О законах, к-рым подчиняются др. среды, см. в ст. Пластичности теория. Реология. [c.127]

Применительно к механике сплошной среды, которая строится на основе ньютоновской механики, законы сохранения приводят к существенным результатам. Из закона сохранения массы следует уравнение неразрывности, т. е. необходимое условие существования движущейся и деформирующейся среды именно как сплошной. Из закона сохранения импульса следуют дифференциальные уравнения движения сплошной среды, которые являются основой расчета ее движения и деформации. Из закона сохранения момента импульса следует симметрия тензора напряжения, что существенно упрощает динамические уравнения сплошной среды. Закон сохранения энергии лежит в основе экстремальных принципов сплошной среды и энергетических методов расчета напряженно-дефор-мированного состояния. [c.134]

В кинематике сплошных сред, наряду с принятыми в кинематике дискретной системы точек понятиями перемещений, скоростей и ускорений, появляется характерное для сплошной среды представление о бесконечно малой деформации среды, определяемой тензором деформаций. Если рассматривается непрерывное движение текучей среды, то основное значение приобретает тензор скоростей деформаций, равный отношению тензора бесконечно малых деформаций к бесконечно малому промежутку времени, в течение которого деформация осуществилась. Как с динамической, так и с термодинамической стороны модель сплошной среды отличается от дискретной системы материальных точек тем, что вместо физических величин, сосредоточенных в отдельных ее точках, приходится иметь-дело с непрерывными распределениями этих величин в пространстве — скалярными, векторными и тензорными полями. Так, распределение массы в сплошной среде определяется заданием в каждой ее точке плотности среды, объемное силовое действие — плотностью распределения объемных сил, а действие поверхностных сил — напряжениями, определяемыми отношением главного вектора поверхностных сил, приложенных к ориентированной в пространстве бесконечно малой площадке, к величине этой площадки. Характеристикой внутреннего напряженного состояния среды в данной точке служит тензор напряжений, знание которого позволяет определять напряжения, приложенные к любой произвольно ориентированной площадке. Перенос тепла или вещества задается соответствующими им векторами потоков. [c.9]

Пусть в сплошной среде задана связь между тензором напряжений а и тензором деформаций е (определяющие соотношения) [c.7]

Под определяющими соотношениями понимают зависимость между напряжениями и деформациями в сплошной среде. Например, это может быть зависимость между каким-либо из тензоров напряжений, рассмотренных в предыдущем параграфе, и тензором деформации или тензорной мерой деформации, которые соответствуют данному тензору напряжений [59, 105. Эта зависимость описывает механические свойства материала. Определяющие соотношения могут быть заданы либо в виде [c.15]

Ниже будут рассмотрены методы построения моделей сплошных сред, т. е. методы отыскания необходимого числа определяющих течение параметров и построения управляющих ими уравнений, с помощью кинетического уравнения Больцмана. В принципе соответствующие уравнения для макроскопических величин можно построить и из феноменологических (макроскопических) рассмотрений, минуя кинетическую стадию ). Однако входящие в эти уравнения кинетические коэффициенты (коэффициенты вязкости, теплопроводности, диффузии и т. п.) не могут быть найдены из феноменологических теорий и для их определения требуются дополнительные соображения или эксперименты. Так, например, при феноменологическом выводе уравнений Навье—Стокса, предполагая пропорциональность компонент тензора напряжений компонентам тензора деформаций, мы должны ввести 81 неизвестный коэффициент пропорциональности. Вводя дополнительные предположения об изотропности и однородности среды, все эти коэффициенты удается выразить через два коэффициента вязкости, кото- [c.96]

Обычно в механике сплошных сред уравнения течения делятся на общие динамические уравнения, описывающие течения всех сплошных сред, и реологические уравнения, связывающие компоненты тензора напряжения в точках данной среды с компонентами тензора скоростей деформации в этих же точках. Реологические уравнения характеризуют течение конкретной исследуемой среды и, как правило, дают неоднозначные соотношения, обусловленные присутствием в этих уравнениях второго инварианта тензора скоростей деформации. Поэтому в дальнейшем под неоднозначностью уравнений понимается неоднозначность именно такого вида, т. е. связанная с неопределенностью знака компонент напряжения или скоростей деформации. Достаточно подробно проблема подобного рода неоднозначности, но применительно к исследованиям течений пластических сред, рассмотрена в работе Л.М. Качанова [50]. Применительно к задачам исследования пластических течений она решена в работах Б. Сен-Венана (1871 г.) [76] и М. Леви (1871 г.) [54] таким образом, что неоднозначность сохраняется только в одном уравнении (обобщенное уравнение деформирования или условие пластичности). [c.54]

Тензоры напряжений при малых деформациях. Если при изучении напряженного состояния в окрестности произвольной точки сплошной среды пространственный и материальный градиенты деформации удовлетворяют соотношениям [c.60]

Компоненты (тензора) деформации. Все сказанное до сих пор относится к любой сплошной среде, для которой применимы основные законы механики и имеет смысл понятие напряжения. В теории упругости рассматриваются упругие среды. Свойства упругости среды выражаются специальной зависимостью (которая носит название закона Гука) между напряжениями и деформациями, точнее, между величинами, характеризующими напряженное и деформированное состояние среды. [c.21]

Идеальной жидкостью называется такая сплошная среда, в которой при любой деформации и скорости деформации касательные напряжения пренебрежимо малы по сравнению с нормальными напряжениями, а все нормальные напряжения одинаковы (в данный момент времени, В данной точке пространства, занимаемого средой). Таким образом, тензор напряжений идеальной жидкости имеет вид [c.482]

Приведенные в данной главе статические и геометрические уравнения применимы для любого тела независимо от его состояния, т. е. для любой сплошной среды. Однако при этом необходимо, чтобы рассматриваемое тело (среда) было сплошным как до деформации, так и после нее. Поскольку указанные уравнения не отражают физической природы исследуемого тела (упругое или пластическое и т. д.), для решения задачи о напряженном и деформированном состоянии исследуемого тела следует к полученным статическим и геометрическим уравнениям прибавить еще физические уравнения, т. е. уравнения связи между компонентами тензора напряжений и компонентами тензора деформаций. [c.68]

Приведенные в первой главе формулы и уравнения справедливы для любой сплошной среды, независимо от того, является она упругой, пластической или находится в любом другом физическом состоянии. Для различных физических состояний сплошной среды физические уравнения различны. Рассмотрим среды или тела, для которых зависимости между деформациями и напряжениями носят линейный характер, т. е. подчиняются обобщенному закону Гука. По упругим свойствам тела разделяются, с одной стороны, на однородные и неоднородные, а с другой — на изотропные и анизотропные. Тела, в которых упругие свойства во всех точках одинаковы, называются однородными, а тела с различными упругими свойствами в различных точках тела — неоднородными. Неоднородность непрерывная, когда упругие свойства тела от точки к точке изменяются непрерывно, и дискретная, когда упругие свойства тела от точки к точке испытывают разрывы или скачки. Тела, упругие свойства которых во всех направлениях, проведенных через данную точку, одинаковы, называют изотропными, а тела, упругие свойства которых во всех направлениях, проведенных через данную точку, различны,— анизотропными. В зависимости от структуры тело может быть изотропным или анизотропным и одновременно однородным или неоднородным [91]. В случае однородного упругого тела, обладающего анизотропией общего вида, зависимость между компонентами тензора напряжений и тензора деформаций в точке линейная [c.68]

Это означает, что Етп = етп = 0. Обращение в нуль тензоров деформаций является, таким образом, необходимым и достаточным условием того, что деформации сплошной среды, а следовательно, и напряжения отсутствуют. [c.38]

Состояние системы описывается параметрами состояния. В механике сплошной среды механическое состояние, например, покоящейся жидкости задается, как известно, двумя скалярными параметрами состояния — плотностью и давлением, для описания температурного состояния привлекается температура. Для твердого тела вместо плотности или объема появляется тензор деформаций, вместо давления—тензор напряжений. [c.77]

V — относительный объем сплошной компоненты а и — нормальные к поверхности препятствия напряжение и компонента девиатора тензора напряжений Q — поток энергии (излучения) р — осредненная плотность разрушаемого материала. Уравнение энергии записано в соответствии с работой [151] для сплошной компоненты материала. Удельная энергия разрушаемой среды состоит из энергии сплошного материала, энергии с наличием пор и энергии, идущей на образование новых поверхностей разрушения. При записи последнего уравнения (VI.1) учтена только энергия сплошной среды. Модель (VI.1), как и модель пузырьковой жидкости, является односкоростной, т. е. возникающие в процессе разрушения поры как бы вморожены в матрицу сплошного материала и движутся вместе с ней. Скорость деформации [c.161]

Уравнения (5.44), (5.46), (5.48), (5.49) и (5.50) связывают скорости деформации в сплошных средах различных типов с необратимой частью тензора напряжений. Всякое соотношение этого типа называется определяющим уравнением для рассматриваемой сплошной среды. Его следует дополнить некоторым утверждением, касающимся обратимой части тензора напряжений, -т. е., вообще говоря, некоторым соотношением типа (5.36), связывающим деформации с обратимыми напряжениями. В силу рассуждений п. 4.3, ясно, что тензоры VJ и можно поменять местами. Исходя из некоторой диссипативной функции [c.89]

Простейшим примером уравнения состояния может служить обобщенный закон Гука для модели линейно-упругой изотропной сплошной среды, формулирующий связь между компонентами тензора деформаций (2.3) и компонентами тензора напряжений (2.9) в виде линейных зависимостей [c.25]

Эти соотношения необходимы и с математической точки зрения. Действительно, деформированное состояние тела описывается тремя непрерывными функциями Uj Xh), через которые на основании зависимостей Коши (1.40) определяются компоненты тензора деформации, а напряженное состояние тела определяется шестью независимыми компонентами ои тензора напряжений. Однако для определения этих девяти функций щ Xk) и ffjj (Xk)) в зависимости от внешнего воздействия на тело пока что имеем лишь систему трех дифференциальных уравнений равновесия (2.26), решение которых должно удовлетворять граничным условиям, например (2.28). Такая система уравнений называется ле-замкнутой, так как не позволяет найти функции u хи) и Oij (л й,), каковы бы ни были для них граничные условия. Это вполне понятно, го-скольку не учтены физические свойства рассматриваемой сплошной среды. [c.49]

Расширена глава о моментах инерции. Это позволяет на примере тензора инерции описать некоторые общие свойства тензора скоростей деформации и тензора напряжений в мехатш-ке сплошной среды. [c.3]

Первые две главы (ч. I) посвяш ены основным определениям механики сплошной среды — тензорам напряжений (гл. I) и деформаций (гл. II). Необходимость различения в нелинейной теории начального и конечного состояний среды не позволяет довольствоваться рассмотрением одной лишь меры (или тен зора) деформации, а в связи с этим и в описание напряженного состояния оказывается целесообразным ввести отличные друг от друга тензоры. Эти вопросы рассмотрены в 3 гл. I, изучению которого должно предшествовать изучение 3—5 гл. II. Усвоение содержания этих параграфов может быть без ущ,ерба отложено до изучения нелинейной теории (в гл. VIII, IX). [c.11]

Одних только уравнений движения сплошной среды в напряжениях и уравнений несжимаемости недостаточно для нахождения поля скоростей (или поля смещений). Для определенности задачи необходимо еще охарактеризовать соотношение между компонентами тензора скоростей деформации (или тензора деформации или, в общем случае, некоторого кинематического тензора, построенного с помощью этих тензоров) и компонентами тензора напряжений, причем эти соотношения должны обладать некоторыми свойствами, определяемыми тензорностью величин. Связь между напряжениями, деформациями и их производными по времени называется уравнением (функцией) реологического состояния. Важным частным случаем уравнения состояния является уравнение течения, которое определяет собой зависимость между скоростями деформаций и напряжениями. Ниже рассматриваются, во-первых, задачи в условиях простого напряженного состояния, когда существует лишь одна составляющая тензора напряжений и соответствующая ей составляющая тензора скоростей деформаций, во-вторых (за исключением, когда это особо не оговаривается), только те случаи, когда скорость деформации — непрерывная однозначная 12 [c.12]

К определяющим соотношениям оболочек с. памятью в форме (6.1.2) естественным путем приводят так ке гипотезы Кирхго< фа — Лява. Действительно, для трехмерной сплошной среды памятью тензор напряжений есть оператор от предыстории rpaf диента деформации, а градиент деформации в оболочке при вы полпенни гипотез Кирхгофа —Лява выражается через теизорьц, [c.116]

Сущность принципа Дж.Д.Эшелби состоит в замене интегрирования по объему при вычислении энергии деформирования упругих сред интегрированием по поверхности. Предположим, что сплошная среда М=MaUМр состоит из матрицы (окружения) Л/а и включения Л/р, а параметрами НДС при упругом деформировании этого тела являются тензор напряжений Т и тензор деформаций Те- [c.171]

Правая часть уравнения (10) характеризует отклонение от условий геометрической совместности. Если этот мотор-тензор не равен нулю, тело мон<ет остаться сплошным только при условии неравенства нулю упругих деформаций и изгибов — кручений. В другой интерпретации сказанное означает, что в среде существуют внутренние источники (Гобственных упругих искажений. Параметрами состояния такой напряженной среды служат е и и , устраняющие несовместность. [c.116]

Предметом рассмотрения в механике и математической физике являются инвариантные величины они не зависят от выбора координатного базиса и определяются собственными свойствами изучаем010 объекта. Инварианты могут быть скалярами (энергия, работа, масса, температура), векторами (скорость, ускорение, сила), тензорами (тензор инерции в точке тела, тензоры деформаций и напряжений в сплошной среде), а также их функциями—диадное, скалярное и векторное произведения векторов, произведение тензора на вектор и т. д. [c.787]

В рамках классической механики сплошных сред тензор напряжения и тензор деформации — симметричные двухвалентные тензоры и, следовательно, элементы множества ш. Соответствующим образом конкретизируя физическую размерность базисных элементов, можно рассматривать два экземпляра этого множества — пространство напряжений и пространство деформаций . Девиаторы в каждом из этих пространств образуют линейное подмножество (подпространство), которое обозначим соответственно через Ds и Вэ- Постулат изотропии (А. А. Ильюшин, 1954), представляет собой утверждение, согласно которому для начально изотропной среды траектория процесса в В зависит лишь от таких свойств траектории ъ Вэ, которые инвариантны по отношению к ортогональным преобразованиям В д. Под ортогональными при этом понимаются линейные преобразования пространства 2)а, при которых сохраняются квадратичные скаляры девиаторов (девиатор с компонентами эц преобразуется в девиатор Эц, для которого 5арЭар — ЭацЭар). Так как кубические скалярные инварианты девиаторов произвольное ортогональное преобразование не сохраняют, сфера действия постулата изотропии определенным образом ограничена — включает в себя лишь среды, закон материала для которых описывается уравнениями, не содержащими произведения двухвалентных тензоров (тензоров с компонентами вида и т. д.) и скаляр- [c.94]

Как уже отмечалось, полученная на основании постулирования законов механики сплошной среды система уравнений (2.40)-(2.43) является незамкнутой. Для ее замыкания необходимо иметь дополнительно шесть скалярных соотношений между величинами р, V, Эти замыкаюш,ие уравнения формулируются в виде зависимостей компонент тензора напряжений от компонент тензора деформаций и компонент тензора скоростей деформаций. В свою очередь, эти зависимости имеют качественно различный характер для разных классов сплошной среды — жидкостей, газов, деформируемых твердых тел и др. [c.355]

Вещество , с которым имеет дело механика сплошных сред, содержит составляющие, также являющиеся объектом исследования электродинамики, и комбинация этих двух дисциплин рано или поздно должна была возникнуть. И это признали Дж. К. Максвелл и пионеры релятивистской физики. Максвелловский тензор напряжений — плод такой комбинации. Электродинамика сплошных сред изобилует эффектами для изложения они удачно разделяются на два существенно разных класса в зависимости от того, играет ли главную роль влияние напряжений, деформаций или скоростей деформаций на электрические и магнитные свойства вещества (например, влияние деформаций на электропроводность в эффекте эластосопро-тивления) или на первый план выдвигаются силы и моменты сил, создаваемые электромагнитными полями. [c.11]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...