Главные напряжения и инварианты тензора напряжений

ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ И ИНВАРИАНТЫ ТЕНЗОРА НАПРЯЖЕНИЙ [c.39]

Введем понятие инвариантного пространства напряжений, элементом или точкой которого являются три главных напряжения 0-2, 0 3 (рис. 1п). Кривой на рис. 1п изображена возможная траектория нагружения некоторой точки тела При исследовании напряженного состояния в изотропных телах каждое главное напряжение является равноправным и никаких ограничений типа неравенств (71 tXg, принятых в сопротивлении материалов, здесь не устанавливают. Будем называть пространство главных напряжений сг-пространством. Ввиду того, что главные напряжения являются инвариантами тензора напряжений, очевидно, любой геометрический образ в а-пространстве останется инвариантным при преобразованиях системы координат в физическом пространстве (см. гл. I). , [c.232]

Для изотропного материала условие текучести будет симметричной функцией главных напряжений или инвариантов тензора напряжений и абсолютной температуры [c.148]

Рассмотрим тело произвольной формы, считая, что начальные напряжения и деформации в нем отсутствуют. На начальном этапе нагружения такого тела возникают только упругие деформации и, следовательно, появление пластических деформаций однозначно определяется действующими напряжениями. В связи с этим условие пластичности можно записать в виде некоторой функции компонент тензора напряжений. Очевидно, что для изотропного материала условие появления пластических деформаций не должно зависеть от выбора координатной системы. Тогда указанная функция должна быть функцией трех инвариантов тензора напряжений, в качестве которых можно взять, например, три главных напряжения [c.293]

Угол называется углом подобия девиатора тензора напряжений. Величины о, То и О могут быть приняты за систему инвариантов тензора напряжений, величину легко связать с третьим инвариантом девиатора. Действительно, в главных осях [c.231]

Так как для каждой точки тела имеются только три главные площадки и соответственно три главных напряжения, то эти напряжения не зависят от выбора исходной системы координат и, следовательно, коэффициенты /к,, 1м, /за также не зависят от выбора системы координат. Коэффициенты 1м, /га, /за называют первым, вторым и третьим инвариантами тензора напряжений. Их можно выразить через главные напряжения [c.19]

Заметим, что главные компоненты р симметричного тензора напряжений известным образом выражаются через инварианты тензора напряжений. Поэтому, если потребуется, можно составить уравнение поверхности текучести, соответствующей условию пластичности Треска, и в шестимерном пространстве Оно будет иметь достаточно сложный вид. [c.455]

Для проверки находим след матрицы и сумму главных напряжений (они должны быть равны первому инварианту тензора напряжений, см. (8.7) и (8.10)) [c.322]

Напряженное состояние в точке — физическое состояние, которое не может зависеть от выбора координатных осей. Поэтому коэффициенты кубического уравнения, из которого определяются главные напряжения, также не должны зависеть от выбора осей, т. е. величины /j, /g, /3 являются инвариантами тензора напряжения по отношению к повороту координатных осей. Это ясно и из соотношений (1.6), которые определяют величины / , /3 через значения главных напряжений. [c.32]

Так как главные напряжения в точке при заданном напряженном состоянии имеют вполне определенное и единственное значение, левые части выражений (1.40) — (1.42) имеют также определенное значение, независимое от выбора координат, т. е. они являются инвариантами тензора напряжений. [c.30]

Таким образом, знание обобщенных сил Si, S2, S3 тл <5 вполне определяет напряженное состояние элемента. Складывая написанные выше соотношения, получим За = ai + 02 + оз, следовательно, обобщенная сила а представляет собой среднее арифметическое значение главных напряжений или первый инвариант тензора напряжений. Обобщенные силы Si, S2 и S3 будем называть напряжениями формоизменения. [c.376]

При действительных значениях компонент напряжения инварианты тензора напряжений действительны и, следовательно, все коэффициенты уравнения (2.38)— действительные величины. По теории таких уравнений хотя бы один корень (главное значение) должен быть действительным. Обозначим его через н рассмотрим совокупность осей со штрихами х , причем направление Хд соответствует 0(3). Относительно таких осей характеристическое уравнение имеет вид [c.106]

Из анализа структуры выражений (1.8) следует, что первый (или линейный) инвариант представляет собой сумму компонентов тензора напряжений, расположенных на главной диагонали. Второй (или квадратичный) инвариант мо кно получить, разложив по главной диагонали квадратную матрицу тензора напряжений, и представить в виде суммы миноров [c.19]

Так как главные напряжения не зависят от выбранной координатной системы, то и коэфициенты этого уравнения должны при повороте координатной системы остаться неизменными (инвариантными). Поэтому их называют инвариантами тензора напряжений. Приведя координатную систему к совпадению с главными осями, найдем значение этих инвариантов [c.15]

Совпадение систем (2.7) и (а) указывает на вполне определенный смысл корней кубического уравнения. Это экстремальные значения нормальных напряжений, реализуемые на главных площадках. Понятно, что главные напряжения для конкретной точки тела, как некие физические реалии, не должны зависеть от выбора системы координат, в которой составляется уравнение (2.8). Отсюда вытекает независимость величин ,, 2, з от замены системы координат По этой причине их называют соответственно первым, вторым и третьим инвариантами тензора напряжений. [c.42]

Поскольку главные напряжения не могут зависеть- от выбора осей координат, коэффициенты кубического уравнения также не изменяются при повороте осей координат, т. е. являются инвариантами. Их называют соответственно первым [/1(7 ,,)], вторым [/3 То)] и третьим Из То)] инвариантами тензора напряжений. [c.14]

Таким об.разом, элементы девиатора деформации равны соответствующим элементам девиатора напряжения, умноженным на скаляр г последний является некоторой, пока не определенной функцией инвариантов тензоров напряжения и деформации. Очевидно, что девиаторы деформации и напряжения коаксиальны (т. е. имеют одни и те же главные направления), а их главные значения соответственно пропорциональны, именно [c.55]

Таким образом, тензор напряжений (а,/) полностью определен, если заданы шесть компонент oij тензора либо три главных напряжения Ok и три главных направления (три эйлеровых угла). Вместо трех главных напряжений ст ( =1, 2, 3) могут быть взяты три инварианта оо, а, <р (либо (х ). [c.57]

Если два главных напряжения равны нулю, то эллипсоид напряжений превращается в отрезок прямой линии, расположенной на одной из главных осей тензора напряжений. Напряженное состояние в этом случае называется одноосным. Необходимым условием существования одноосного напряженного состояния в некоторой точке тела является одновременное равенство нулю второго и третьего инвариантов тензора (о- ,). . . [c.44]

Механический смысл приведения тензора напряжений к главным осям состоит в следующем. Около каждой точки напряженного тела можно выделить такой элемент в виде бесконечно малого прямоугольного параллелепипеда, что на грани его действуют только нормальные напряжения Oi, 02 и Оз. Перефразируя этот результат применительно к тензору деформаций, мы можем утверждать существование такого бесконечно малого прямоугольного параллелепипеда, ребра которого удлиняются или укорачиваются в отношениях 1 + е,, 1 + е , 1 + е , но прямые углы остаются прямыми. Для инвариантов, представляющих собою коэффициенты соответствующего кубического уравнения, сохраняются формулы (7.5.1) с заменой О на С . [c.222]

Всякая физическая скалярная величина должна быть инвариантна по отношению к любому повороту координатных осей. Поэтому в выражение скаляра Ь могут входить лишь такие линейные комбинации компонент тензоров напряжений и скоростей деформаций, которые инвариантны по отношению к повороту осей координат. Единственной такого рода линейной комбинацией для тензора второго ранга является его линейный инвариант, равный сумме компонент, расположенных по главной диагонали. В этом легко убедиться, составляя указанную сумму в двух [c.167]

Естественно, что это выражение обращается в нуль при 2 = 0, так как точка наблюдения должна оставаться вне площадки нагружения. Как и для случая неограниченного пространства, вектор напряжения оказался представленным через главный вектор, главный момент, первый инвариант и девиатор силового тензора. [c.244]

Некоторые авторы вводят в рассмотрение тензор, главные значения которого, значит и главные инварианты, равны главным значениям тензора напряжения Т, но главные оси совмещены с главными осями меры деформации Заметив, что тензор Г соосен не с <3 , а с тензором g , и сославшись на [c.638]

Аналогично строится представление повернутого тензора напряжений Г при этом оказывается удобным вместо третьего главного инварианта ввести в рассмотрение квадратный корень из него — отношение объемов среды в V- и у-состояниях [c.639]

Инварианты тензора. Инварианты тензора деформации образуются так же, как для тензора напряжений, и в главных осях имеют вид [c.19]

В качестве критериев, определяющих условия начала текучести или начала разрушения при произвольном напряженном состоянии, используются обычно инвариантные (относительно системы координат) характеристики тензора напряжений. Ими могут быть главные напряжения (в частности максимальное нормальное напряжение Oj), инварианты (А1.18) и др. Приведем необходимые в дальнейшем выражения. [c.35]

Главные направления тензоров (1.1) и (1.5) совпадают. Инварианты девиатора можно получить из формул (1.3), если заменить нормальные составляющие тензора напряжений на аналогичные составляющие девиатора. [c.10]

Второй инвариант девиатора напряжений играет важную роль при построении различных вариантов теорий, описывающих нелинейное деформирование твердых тел. Наглядное истолкование этой величины можно получить следующим образом. Вычислим вектор напряжения на элементарной площадке, равнонаклоненной ко всем трем главным осям тензора напряжений. Эту площадку называют октаэдрической (щ = П2 = пз = = 1/л/З), а действующие на ней две составляющие вектора напряжения — в плоскости площадки и по нормали к ней — октаэдрическими напряжениями. Очевидно, что квадрат модуля вектора напряжения на рассматриваемой площадке будет равен [c.62]

Очевидно, что зависимость S = S(F) будет иметь место лишь при совпадении направлений главных осей тензоров напряжений и деформаций = и, в противном случае сказывается история нагружения. Рассмотрение теории кручения не представляет трудностей, в этом случае третьи инварианты также равны нулю. Пространственная задача может быть рассмотрена согласно [7]. [c.263]

Известно (например, [1]), что число основных, базисных инвариантов, через которые могут быть выражены все инварианты тензоров aij, (в том числе и совместные) равно девяти. Это обстоятельство соответствует тому факту, что данное напряженное и деформированное состояние полностью определяется шестью величинами главных компонент напряженного и деформированного состояний, а также тремя независимыми величинами, характеризующими взаимную ориентацию главных направлений тензоров aij и е .. [c.264]

Выбранный путь нагружения приводит к вполне определенному деформированному состоянию, независимо от ориентации тела относительно некоторой декартовой системы координат Следовательно, функции нагружения зависят только от инвариантов напряженного и деформированного состояния. Инвариантами напряженного и деформированного состояния будут инварианты тензоров а -, а также совместные инварианты этих тензоров. Число основных, базисных инвариантов, через которые могут быть выражены все инварианты тензоров (включая совместные), равно девяти. Это обстоятельство соответствует тому факту, что данное напряженное и деформированное состояние полностью определяется шестью величинами главных компонент тензоров напряжений (5ij и пластических деформаций а также тремя независимыми величинами, характеризующими взаимную ориентацию главных направлений этих тензоров. [c.326]

Через каждую точку тела можно провести три взаимно перпендикулярные плоскости, на которые действуют главные нормальные напря>кения. Следовательно, значения главных напряжений должны быть одними и теми же независимо от выбора исходной системы координат, в которой были определены компоненты тензора напряжений. Это означает, что коэффициенты /j, 1 и /3 кубического уравнения не меняют своего значения при изменении системы координат. Отсюда можно сделать вывод, что указанные коэффициенты являются соответственно первым (/j), вторым (I ) и третьим I3) инвариантами тензора напряжений по отношению к повороту координатных осей. [c.15]

Можно показать, что все три корня векового уравнения (главные напряжепия)—вегцествеипые. Их величины определяются характером внешней нагрузки и не зависят от первоначальной ориентации системы координат. Поэтому при повороте осей должны оставаться неизменными и коэффициенты Jl, J2, Jз в вековом уравнении, определяемые формулами (1.16). В связи с этим их называют инвариантами тензора напряжений. [c.26]

Следует отметить, что инварианты тензоров деформаций и напряжений совпадают с компонентами этих тензоров, как это зафиксировано в уравнениях (6.33) и (6.34), только в специально выбранной системе координат, оси которой совпадают с главными осями орто-тропии. [c.110]

Удобство инвариантов (1.3) в том, что они являются целыми рациональными (в отличие от главных надряжений) и притом симметрическими функциями компонентов тензора напряжений. [c.17]

Тензор напряжений, как и всякий симметричный тензор второго ранга, имеет три независимых инварианта, за которые могут быть приняты главные напряжения сь, Tj. Нумерация главных напряжений выбирается так, чтош.1 выполнялись неравенства многих случаях в качестве инва- [c.7]

Как уже упоминалось в гл. I, всякая физическая скалярная величина должна быть инвариантна по отношению к любому повороту осей координат. Таким образом, в выражение скаляра Ь могут входить лишь такие линейные комбинации компонент тензоров напряжений и скоростей деформации, которые инвариантны по отношению к повороту осей координат. Единственной такого рода линейной К1)мбинацией для тензора 2-го ранга является его линейный инвариант, равный сумме компонент, расположенных по главной диагонали, в чем лепсо убедиться, состав. 1ЯЯ указанную сумму в двух произвольно повернутых друг по отношению к другу системах координат и используя связг. между компонентами тензора в этих системах координат. [c.472]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...