Инварианты тензора деформации напряжения

Используя в дальнейшем для линейного инварианта тензора напряжений Ji (Oij) обозначение 2, а для линейного инварианта тензора деформации (ви) обозначение 0 [см. (1.70)], т. е. [c.62]

Так называемая деформационная теория пластичности представляет по существу распространение на пластическое тело того закона связи между напряжениями и деформациями, который устанавливается нелинейной теорией упругости. Пластический потенциал, который заменяет здесь упругий потенциал, для изотропного тела есть функция инвариантов тензора деформаций. Обычно нри этом применяются следующие гипотезы [c.533]

Напряженное состояние в каждой точке характеризуется тремя инвариантами тензора напряжений или тремя главными нормальными напряжениями, а деформированное состояние соответственно характеризуется гремя инвариантами тензора деформации или тремя главными удлинениями. [c.161]

Три инварианта тензора деформации находятся аналогично инвариантам тензора напряжений и выражаются формулами, которые получаются из (5.40 ) путем замены компонентов в соответствии с аналогией То и Те [(6.19) и (6.20)]. [c.461]

С. Ривлиным[33] предложена теория конечных равновесных упругих деформаций. В основе теории лежит развитое им представление об упругом потенциале W, зависящем от инвариантов тензора деформаций. Для случая простого сдвига теория предсказывает следующее распределение нормальных напряжений [c.30]

Рассматривая тензорно линейные определяющие соотношения, приходим к выводу, что в случае изотермических процессов и склерономной изотропной среды функции ка д зависят только от двух инвариантов тензора деформаций, а г и г — от двух инвариантов тензора напряжений. При этом если тензоры <г и е являются потенциальными, т.е. существуют скалярные функции W viw такие, что [c.107]

Соотношения между напряжениями и деформациями (6.18) и (6.24), предложенные для описания неупругого поведения трансверсально изотропных материалов, содержат материальные функции, зависящие в общем случае от четырех независимых инвариантов, что определяется тензорной линейностью соотношений и типом анизотропии среды [203]. В качестве аргументов материальных функций могут быть использованы инварианты тензоров деформаций и напряжений, заданные уравнениями (6.20) и (6.21) [c.108]

Пусть ii сг(г) — инвариант тензора деформаций, соответствую- щий пределу прочности при формоизменении. В зависимости от вида напряженно-деформированного состояния реализуются различные по-. 11 [c.128]

Независимо от системы координат каждый инвариант тензора напряжений является функцией от инвариантов тензора деформаций [c.239]

Упругие константы компонентов были выбраны следующими G = = 2,1 ГПа, I/ = 0,25 для матрицы и G = 10,5 ГПа, I/ = 0,25 для волокна. С помощью входящих, согласно (6.4), в уравнения (9.20) функций поврежденности неупругие свойства материала матрицы описывались нелинейной зависимостью второго инварианта тензора напряжений от соответствующего инварианта тензора деформаций. Значения инвариантов определялись по (6.6) и (6.7). Графическое выражение зтой зависимости приведено на рис. 11.6. Подобные диаграммы деформирования были получены, в частности, при проведении экспериментов на образцах полиэтилена [68] и сплава ВТ5-1 [233]. [c.261]

Инварианты тензора. Инварианты тензора деформации образуются так же, как для тензора напряжений, и в главных осях имеют вид [c.19]

В литературе [8, 41, 98] используются методы решений физически нелинейных задач, но линейных геометрически, основанные на законе упругости (1.3.9), где модули упругости С и К являются функциями инвариантов тензора деформаций или напряжений. Например, считают их зависящими от гидростатического давления [180]. Объясняют нелинейный эффект тем, что уже при малых деформациях в сжатом слое развиваются значительные напряжения типа гидростатического давления, которые сказываются на механических свойствах материала, [c.57]

В идеально упругом изотропном теле удельная потенциальная энергия Ф (упругий потенциал) является функцией трех независимых инвариантов тензоров деформаций или напряжений, например следующих [c.277]

Примем теперь в качестве основных инварианты тензора деформаций (3.10) и соответствующие инварианты тензора напряжений [c.237]

Здесь К — модуль сжатия, а Л — скалярный оператор двух инвариантов тензора деформации. Предположим, что соотношения (1.1) обращаются, т.е. можно выразить компоненты девиатора тензора деформации через напряжения [c.118]

Вместе с тем использование интегральных соотношений между напряжениями и скоростями деформации, записанных в матричной форме, позволяет решить другую проблему — линеаризовать краевую задачу. Действительно, в общем случае ядра R i, т) и Ro t т)— функции инвариантов тензоров (девиаторов) напряжений, скоростей деформаций, температуры, степени деформации. Однако, организовав итерационный процесс при численном решении краевой задачи на ЭВМ, можно в каждой очередной итерации считать, что эти величины определены предыдущим приближением. В этом случае определяющие уравнения становятся линейными. Применяя проекционно-сеточные методы решения краевых задач, в конечном счете приходим к линейной системе алгебраических уравнений для определения искомых параметров. [c.259]

Соотношения (3.132) представляют собой обычный закон Гука, записанный в скоростях напряжений и деформаций. Очевидно, что таким образом можно записать закон бесконечно малого деформирования в окрестности произвольной конечной деформации любого несжимаемого упругого тела, однако модуль Юнга будет, вообще говоря, зависеть от величины конечной деформации (точнее говоря, от трех инвариантов тензора деформации, так как тело считается изотропным). Предположение о постоянстве Е означает, что реакция выбранной модели упругого тела на малые возмущения не зависит от величины конечной деформации. [c.105]

Соотношения, выражающие приращения компонент тензора напряжений через приращения компонент тензора деформаций, инварианта тензора деформаций и накопленные значения геометрических параметров, имеют вид [c.148]

Так же, как й ранее, для тензора напряжений, могут быть образованы инварианты тензора деформаций. В качестве базисных часто используют следующие независимые инварианты [c.20]

Анализ эффективного уравнения состояния твердой фазы осложняется фактическим наличием двух систем напряжений, определяющих гидростатическое сжатие сплошного материала под воздействием порового давления в жидкости и деформацию всего скелета в целом из-за фиктивных напряжений. В связи с этим введем в рассмотрение первый 0 инвариант тензора истинных средних напряжений в твердой фазе, связанный с первым инвариантом тензора фиктивных напряжений 0 = 0(1 - - 0 3 соотношением ( /д)0 = [c.38]

Примем, что первый инвариант тензора напряжений линейно зависит от первых инвариантов тензоров деформаций и скоростей деформаций, т. е. [c.68]

Изотропия упругого тела 103 Изотропный тензор 103 Инварианты тензора деформаций 25 --напряжений 49 [c.860]

В монографии И. И. Гольденблата (1955), подводящей итог более ранним работам автора (1949, 1950), детально рассмотрен случай, отвечающий принятию в качестве аргументов термодинамических потенциалов инвариантов тензоров деформации и напряжений—упругих модулей (коэффициентов деформаций). Л. И. Седовым (1965) введены в рассмотрение моментные напряжения. [c.74]

Таким образом, объемная деформация в точности совпадает с первым, линейным инвариантом тензора деформации (2.32а). Он так же, как и остальные два инварианта, построен аналогично соответственным инвариантам тензора напряжений поэтому все, что в 5 сказано относительно инвариантов тензора напряжений, может быть перенесено и на инварианты тензора деформации и формально сведется лишь к замене обозначений [c.60]

Октаэдрические напряжения > могут быть выражены также через инварианты тензора деформаций, а именно [c.32]

На основании этого можно принимать, при рассмотрении изменения объема тела, что при упруго-пластических деформациях первый инвариант тензора главных напряжений пропорционален первому инварианту тензора главных относительных удлинений. [c.477]

По аналогии с инвариантом тензора напряжений может быть введен инвариант тензора деформации [c.72]

Рассмотрим соотношения Сц — Оц для изотропного линейно-упругого тела при малых деформациях. Для изотропного тела потенциал напряжений 7(e ) может зависеть лишь от трех инвариантов тензора деформаций. В качестве трех независимых инвариантов выберем следующие [c.15]

Материал, свойства которого одинаковы для образцов, вырезанных в любом направлении, называется изотропным. Более точно, это определение изотропии относится к весьма малым образцам, вырезанным в окрестности одной и Toii же точки. Изотропный материал может быть неоднородным, т. е. упругие свойства его могут меняться от точки к точке. Очевидно, что потенциал напряжений или упругая энергия изотропного тела не должен меняться при измененпи осей координат, поэтому он должен выражаться через инварианты тензора деформаций. Единственная однородная квадратичная форма, составленная из этих инвариантов, зависит от двух констант и выражается следующим образом [c.239]

Нелинейная упругость. Как было показано, напряжения а -, Оу, а , Гху, Туг. могут быть представлены формулами (8.13), если материал обладает сной-ствами упругости, т. е. после снятия приложенных нагрузок он полностью восстанавливает свою прежнюю форму. В ортогональных осях Oxyz первый, второй и третий инварианты тензора деформации имеют вид (см. 6.7) [c.148]

В главе VI было показано, что первый инвариант тензора деформации равен относительному изменению объема тела в окрестности рассматриваемой точки тела. Так как у девиатора деформации первый инвариант равен нулю, его компоненты характеризуют изменение лишь формы элемента (без изменения его объема). Та доля полной величины компонентов напряжений, которая входит в шаровой тензор напряжения, приводит к изменению лишь объема элемента, без изменения его формы. Вследствие же воздействия на элементостальной части полной величины компонентов напряжений, т. е. части, входящей в девиатор напряжения, происходит изменение лишь формы элемента, без изменения его объема. [c.505]

Переход к сложному напряжённому состоянию осуществляется обычно принятием одной из двух гипотез для деформаций ползучести в первом случае принимается, что тензор деформаций ползучести p j пропорционален девиатору тензора напряжений pij = XSij, во втором принимается гипотеза о пропорциональности тензора скоростей деформаций ползучести ру тому же девиатору 8 у Первая — деформац, вариант, вторая — теория течения для сложного напряжённого состояния. Параметр X определяется как отношение соответствующих инвариантов тензоров деформаций ползучести и напряжений, для определения к-рых принимаются системы (1) и (2), куда в качестве параметров могут войти произвольные инварианты тензоров напряжений и деформаций. [c.10]

Тензорно-линейные определяющие уравнения содержат тензор по врежденности четвертого ранга, зависящий для склерономных сред от линейных и квадратичных инвариантов тензора деформаций, а критерии разрушения представляют собой условия достижения мерами тензора поврежденности своих предельных значений. Построенные определяющие соотношения и модели разрушения по совокупности критериев позволяют ставить и решать краевые задачи для многостадийных и многоуровневых процессов накопления повреждений с учетом перераспределения напряжений. [c.11]

В частном случае, когда поведение изотропного материала описывается функциями < (ie ), ЧТО Нб противоре-чит условиям потенциальности, для их определения достаточно двух независимых экспериментов. Например, по результатам испытаний на кручение тонких трубчатых образцов может быть получена зависимость И построены функции Знание зависимости азз 33, обнаруженной в результате испытаний на одноосное растяжение, позволяет вычислить связь первых инвариантов , определив значение по напряжениям 0-33 и о-ц = 0-22 = = О, получив значение второго инварианта тензора деформаций с использованием функции T(j h и найдя деформации ц = 22 соот-ветствующие вычисленной величине ji . На основании зависимости 3 строятся функции < (ie ) и т.е. для них выбирается вид аналитических зависимостей и определяются все константы. [c.108]

Следует отметить, что инварианты тензоров деформаций и напряжений совпадают с компонентами этих тензоров, как это зафиксировано в уравнениях (6.33) и (6.34), только в специально выбранной системе координат, оси которой совпадают с главными осями орто-тропии. [c.110]

Для вычисления объемных долей компонентов композита по вып№ санным формулам необходимо на каждом шаге знать значения инв . риантов и ВО всех структурных элементах (если допустим гипотеза об однородности полей напряжений и деформаций в их пределах), а следовательно, все структурные деформации, соответству ющие заданным макродеформациям или макронапряжениям. Анало гично можно записать выражения для объемных долей компонентов > композита через инварианты тензора структурных напряжений. При состгивлении алгоритма численного решения задачи должна быть организована итерационная процедура пересчета объемных долей компонентов и полей микронапряжений и микродеформаций на каждом шаге макродеформирования до тех пор, пока не исчезнет вероятность, актов микроразрушения. [c.156]

Проблема заключается в следующем. Поиск действительных значений инвариантов деформаций по полученным в очередном приближении значениям инвариантов напряжений в соответствии с методом дополнительных деформаций на стадии разупрочнения приводит к расхождению итерационной процедуры. Согласно же методу переменных параметров упругости, как и методу дополнительных напряжений, в каждом упругом решении положительному приращению инвариантов тензора деформаций соответствует положительное приращение инвариантов тензора напряжений, т.е. и на закритической стадии деформирования материал воспринимгьется как упрочняющийся, что не способствует сходимости. [c.241]

При больших деформациях используют нелинейный згжон связи напряжений с деформациями — нелинейная упругость. Обычно задают удельную потенциальную энергию — упругий потенциал как функцию трех инвариантов тензора деформаций. Предложено множество различных потенциалов, большинство из них используют гипотезу несжимаемости материала. Потенциалов, учитывающих сжимаемость, значительно меньше. Подробнее с данным вопросом можно ознакомиться в работах [9, 54, 55, 59, 104, 183, 190, 191, 194, 195, 201, 203, 220, 229, 234]. [c.13]

Вследствие смещения поверхности нагружения, которое описывается тензором смещения (добавочных напряжений), уравнение поверхности нагружения зависит от инвариантов тензора активных напряжений, составляющие которого отсчитываются от центра поверхности задаваемого тензором смещения. Зависимость поверхности нагружения от первого инварианта тензора напряжений позволяет описать неупругое изменение объема, т. е. деформацию разрыхления. Неупругое изменение объема пренебрежимо мало по сравнению с остальными деформациями практически для всех конструкционных материалов, поэтому прини- [c.250]

Возможен также другой путь получения определяющих уравнений. Пользуясь принципами термодинамики, можно написать дифференциальные уравнения для базисных инвариантов тензора напряжений, рассматриваемых/Как функции базисных инвариантов тензора деформации и температуры. Экспериментальное получение условий Коши для таких уравнений проще, чем в случае дифференциальных уравнений для-термодинамических потенциалов. Вместе с тем в упомянутой работе показано, что если известны зависимости базисных инвариантов тензора напряжений от инвариантов тензора деформации и температуры, то в случае изотропных сред могут быть автоматически написаны определяющие уравнения, связывающие тензор напряжений тензор деформации и тёмпературу. Этот метод может быть обобщен и на случай анизотропных сред. [c.57]

Грунты и другие физические среды изменяют необратимым образом свой объем при всестороннем сжатии это обстоятельство учитывалось, например, в [2]. В заметке [3] рассматривалось видоизменение теоремы Мизеса, согласно которому удалось определить соотношения между первыми инвариантами тензоров деформаций и напряжений независимо от вида поверхности текучести. Однако соотношения закона связи между напряжениями и деформациями, предложенные в 3], обладают сугцественным недостатком характеристические многообразия уравнений, определяюгцих напряженное и деформированное состояния, оказываются в обгцем случае различными и, следовательно, граничные условия, заданные на данной части поверхности тела, определяют различные области сугцествования решений для напряжений и скоростей перемегцения. Эти области, согласно [3], совпадают лишь для материалов, условие текучести которых не зависит от пер- [c.138]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...