Компоненты тензора

До сих пор мы рассматривали тензоры и тензорные операции, не привлекая понятия компонент тензора. С такой ситуацией мы уже сталкивались при рассмотрении векторов, когда наглядно представляли их в виде стрелок в пространстве. С введением векторного базиса е , е , бд компоненты тензора в выбранном базисе можно определить как [c.23]

Мы видим, что тензор при этом воздействует на один из базисных векторов, после чего результирующий вектор скалярно умножается на другой базисный вектор. Ясно, что при помощи уравнения (1-3.16) можно получить девять компонент тензора, которые представляются обычно в виде матрицы размером 3x3. Первый индекс указывает номер строки, а второй — номер столбца. [c.23]

Мы завершаем определение тем, что при произвольном выборе одной из частей тела выбираем внешнее направление нормали к ее поверхности, а в качестве соответствующей силы выбираем ту, с которой другая часть воздействует на выбранную нами (рис. 1-2). Если принять такое соглашение, то сразу становится очевидным, что нормальные компоненты тензора напряжений (например, Гц) положительны, если вдоль выбранного направления осуществляется растяжение, и отрицательны, если осуществляется сжатие. [c.24]

Уравнения преобразования компонент тензоров от одной системы координат к другой аналогичны соответствующим уравнениям для компонент векторов (см. уравнения (1-2.10) и (1-2.11)). [c.25]

Из уравнений (1-3.30) следует, что любая система из девяти компонент тензора полностью определяет тензор. Действительно, исходя из компонент любого вектора, компоненты результирующего вектора вычисляют по соответствующему уравнению из <1-3.30). [c.26]

Можно показать также, что значение Шд может быть вычислено как детерминант матрицы компонент тензора А в произвольном ортонормальном базисе. [c.29]

Выбирая координатную систему, можно найти соотношение между компонентами тензора Va и вектора а. Это соотношение оказывается более сложным, чем соотношение для градиента скалярной величины в ранее рассмотренном случае. Действительно, компоненты тензора Va вовсе не являются производными по координатам компонент вектора а, как это можно было бы предположить на основании аналогии между уравнениями (1-4.8) и (1-4.1). Такой простой результат имеет место лишь в том случае, когда система координат является декартовой. [c.32]

Путем длинных вычислений можно показать, что в общем случае компоненты тензора Va даются указанными ниже выражениями. [c.32]

Вязкость ньютоновских жидкостей определяется уравнением (1-9.4) как половина коэффициента пропорциональности в зависимости, связывающей тензор напряжений т с тензором растяжения D. Уравнение (1-9.4) предполагает, что компоненты тензора напряжений должны быть пропорциональны соответствующим компонентам тензора растяжений для любого заданного участка течения. Одним из хорошо известных следствий уравнений Навье — Стокса (уравнение. (1-9.8)) является закон Хагена — Пуазейля, связывающий объемный расход Q в стационарном прямолинейном течении жидкости по длинной круглой трубе с градиентом давления в осевом направлении [c.55]

Компоненты тензора растяжения D для линейного течения Куэтта суть [c.56]

Вычислить компоненты тензора завихренности W для линейного течения Куэтта. [c.89]

Вообще говоря, компоненты тензоров V и U представляют собой иррациональные функции легко измеряемых величин, и предпочтительно ввести следующие два относительных тензора [c.94]

Укажем теперь процедуру, по которой, зная движение, можно вычислить компоненты тензоров Коши и Фингера. Пусть три скалярные проекции векторного уравнения (3-1.1) в координатной системе x имеют вид [c.96]

Рассмотрим теперь ковариантные компоненты тензора Коши в точке Xj. По определению [c.97]

Здесь и ниже мы называем левыми смешанными компонентами тензора А компоненты A j, а правыми смешанными компонентами — компоненты Aj. [c.110]

Из уравнения (3-4.3) следует, что компоненты метрического тензора yij (т) совпадают в любой момент с ковариантными компонентами тензора деформации Коши [c.112]

Здесь использован (и будет использоваться в дальнейшем) специальный символ <=> для того, чтобы подчеркнуть особый смысл равенства правой и левой частей уравнения. Фактически Уи (т) суть ковариантные компоненты единичного тензора в системе координат величины же ( )j суть ковариантные компоненты тензора Коши в системе координат х Хотя их две матрицы совпадают при любом т, ясно, что речь идет о двух различных тензорах равенство компонент двух тензоров еще не означает равенства тензоров, если компоненты не рассматриваются в одной и той же системе координат. [c.112]

Метрический тензор yij (т) можно вычислить согласно правилу преобразования ковариантных компонент тензоров, определяемо- [c.112]

Обратим теперь внимание на дифференцирование тензоров по времени. Следует подчеркнуть весьма важное обстоятельство производные по времени компонент тензора не являются компонентами производной тензора по времени. Это особенно ясно можно представить, учитывая, что даже компоненты постоянного тензора могут иметь отличные от нуля производные по времени. Действительно, базис, по отношению к которому определены компоненты, может изменяться со временем по одной или двум следующим причинам [c.113]

Для течений четвертого порядка матрица компонент тензора N в соответствующем ортогональном базисе имеет вид [c.122]

Мы уже рассматривали такое течение в предыдущей главе, где были получены кинематические тензоры Vy и D. Теперь мы хотим получить выражения для компонент тензоров деформации, таких, как С, и т. д. В декартовой системе координат течение описывается уравнениями (2-1.2) и (2-1.3) [c.122]

В этом примере в силу того, что векторы базиса изменяются вдоль траектории частиц, т. е. они различны при X (т) и Х(, вышеприведенная матрица не совпадает ни с одной из матриц компонент тензора F (см. уравнение (3-1.41)). [c.125]

Используем теперь уравнение (3-1.46) для вычисления кова-риантных компонент тензора С в точке Х(. Для этого необходимо иметь метрический тензор в точке X (т) [c.126]

Из ковариантных компонент и метрического тензора в точке Х< можно получить другие типы компонент тензора С. Особую роль играют физические компоненты. Учитывая уравнение (2-7.20), имеем [c.126]

Тензор D можно получить из С при помощи уравнения (3-2.17). Поскольку ортогональный базис физических компонент не изменяется вдоль траекторий частиц (которые, кстати, радиальны), матрица физических компонент тензора D получается из [c.126]

Разумеется, уравнения (5-4.3) и (5-4.4) выполняются в отдельности для каждой компоненты входящих туда тензоров. Если можно измерить одну компоненту тензора т (будем обозначать ее через а) и аналогичную компоненту тензора 2D (которую будем обозначать через 7), то можно вычислить по этим данным комплексную вязкость Т). [c.195]

Действительно, пусть Г есть компонента тензора Г, однородная как по о, так и по у. Поскольку последние величины периодичны по времени с частотой со, можно записать [c.195]

Стандартные вычисления позволяют определить функцию G . С точностью до членов первого порядка малости по величине деформации (т. е. по а / со ) имеется лишь одна отличная от нуля компонента тензора а именно компонента с индексом 12 [c.196]

Поскольку, вообще говоря, нулевые компоненты тензора % соответствуют нулевым компонентам тензора г зк и наоборот, значения г] и G получаются измерением двух компонент тензора т. [c.203]

Далее будем предполагать, что alh мало, и поэтому запишем все соответствующие уравнения с точностью до малых первого порядка по alh] это эквивалентно тому, что мы ограничиваемся рассмотрением малых деформаций. При таких упрощающих предположениях оказываются отличными от нуля лишь две компоненты тензора G [c.204]

При анализе полей течения типа, описываемого уравнением (7-3.2) (с малым числом е и вычислениями, проводимыми с точностью до первого порядка малости по е), можно вывести соотношения, связывающие некоторые интегралы (по интервалу О < S < оо) компонент тензора X и производные материальных функций основного течения. Такие соотношения называются соотношениями согласованности и могут быть получены при помощи постулата, что любое течение с предысторией постоянной деформации можно представить в виде суперпозиции подходящих малых возмущений и некоторого течения с предысторией постоянной деформации того же самого типа. Пусть /с и N определяют основное течение с предысторией постоянной деформации, а /с + еАг и N — возмущенное течение с такой же предысторией. Простые вычисления показывают, что возмущенное течение удовлетворяет уравнению (7-3.2), если G определяется в виде [c.274]

Согласно Колеману [33], точное определение течения растяжения состоит в следующем движение является растяжением вплоть до момента t, если существует ортогональный базис е , не зависящий от s, такой, что матрица компонент тензора U (или С , (С ) , Н ) в этом базисе имеет диагональный вид, а именно [c.288]

Вернемся к схеме, представленной на рис. В.1. Анализ зарождения макроразрушения проводится на основании данных о НДС (включая изменение НДС во времени) элементов конструкций и локальных критериев разрушения, сформулированных в терминах механики сплошной среды в компонентах тензоров напряжений и деформаций и (или) их инвариантов. Традиционно процедура анализа заключается в сравнении в каж- [c.5]

Компоненты тензора скоростей пластической деформации определяются ассоциированным законом [124] [c.15]

Принимается, что приращение компонентов тензора полных деформаций den равно сумме приращений компонентов тензора упругих de пластических Lz p и температурных деформаций, [c.16]

Здесь функция Ч определяет состояние материала, а начальные деформации. Компоненты тензора микронапряжений Ра в момент времени т можно найти, интегрируя уравнение (1.6) на отрезке Дт, [c.17]

X, < р и р соответственно компоненты тензоров напряжений, скоростей пластических деформаций, микронапряжений, активных напряжений и девиатора микронапряжений в направлении действия одноосной нагрузки, (1.58) с учетом (1.59) будут иметь вид [c.35]

Контраварпантные компоненты, а также другие типы смешанных компонент тензора Va получаются поднятием второго индекса в уравнениях (1-4.9) и (1-4,14) соответственно. Символы и а, - называются контравариантными производными контрава-риантного и ковариантного векторов соответственно. [c.33]

В некоторых руководствах отдают предпочтение противоположной ннтерпретацип, а именно в соотношении (1-4.12) считается первым индексом. Это соответствует либо иному определению компонент тензора [c.33]

Рассмотрим теперь линейное течение Куэтта жидкости Рейнера — Ривлина. Из уравнения (2-3.4) получаются следующие выражения для компонент тензора напряжений (см. пример 2А) [c.65]

Здесь — компоненты тензора напряжений 6ij — символ Кро-некера От — гидростатическая компонента тензора напряжений, От = Оц13. [c.14]

Будем полагать, что в момент начала процесса неустойчивого деформирования за счет наличия пор нагруженность материала такова, что его реология начинает подчиняться закону упругопластического, а не упруговязкого деформирования. При этом принимается, как и в подразделе 2.2.2, что локальное изменение деформации в характерном сечении не приводит к изменению соотношения компонент тензора напряжений (а следовательно, и параметров qn = a fOi и q,n omfoi) в структурном элементе. Окончательно условие достижения критической деформации при межзеренном разрушении формулируется аналогично условию предельного состояния в случае внутризеренного вязкого разрушения [c.156]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...