Тензор функций напряжений второй

Для того, чтобы подтвердить сказанное, во-первых, покажем, что в пространственной задаче теории упругости компоненты напряжений могут быть выражены через шесть некоторых функций напряжений (наподобие функции Эри в плоской задаче теории упругости), образующих так называемый тензор функций напряжений, а во-вторых, представим все основные уравнения и зависимости пространственной задачи теории упругости в матричной форме. [c.451]

Кроме того, введем первый и второй тензоры функций напряжения соответственно с помощью равенств [c.81]

Равным образом из (6.39.5), (6.39.6) следует правильность выбора физических составляющих первого и второго тензоров функций напряжения. [c.82]

Итак, задача В для упругого композита (3.32), (3.34) сводит--ся к решению двух рекуррентных последовательностей задач. Пер- вая из них (задачи Дв(й), к = 0, 1, 2,. ..) заключается в многократном решении краевой задачи (3.61), (3.62) по теории эффек- тивного модуля с входными данными, определяющимися из предыдущих приближений. Результатом решения каждой задачи Дв(й) служит тензор функций напряжений из которых формируется тензор функций напряжений ф (3.60) для усредненных г напряжений т°, а из них и сам тензор а (3.41). Правда для этого нужно еще решить вторую рекуррентную последовательность задач (задачи Жв( ), = 0, 1, 2,. ..) (3.57), при решении которой находятся локальные функции М<") и эффективные податливости п-го уровня Н<"). [c.116]

Здесь имеются в виду математические поля (векторное н тензорные). Такие поля представляют собой область пространства (в частности плоскости), каждой точке М которой поставлен в соответствие вектор (в нашем случае — перемещение и) и(Л4) или тензор (в нашем случае—тензор второго ранга — напряжение в точке, деформация в точке, функции напряжений) в М , е(Д4), Х(Л4). Математическое поле может быть и скалярным (например, поле температур в некоторой области). Существует математическая теория — теория поля, изучающая свойства скалярных, векторных и тензорных полей. [c.456]

Здесь G (a) - общая потенциальная энергия напряжений. Вторая переменная Л ст представляет собой заданные объемные силы в J2, а функция F (-A a) совпадает с индикаторной функцией множества К, т.е. она равна нулю для а К и + > для остальных тензоров а [14]. Поэтому двойственная вариационная задача принимает вид sup [—(7 (а)]. Эта задача соответствует принципу максимума дополнительной энергии. В [14] указаны условия существования и единственности решения исходной задачи ы и существования решения двойственной задачи а. Для этих решений справедливо равенство функционалов J (ы, Л ) =/ (Л а, а), а также экстремальное соотношение [c.144]

Для внесения полной ясности процитируем ряд высказываний из-диссертации Говарда Силы, сказывающиеся на движении среды, делятся на объемные и поверхностные. Второй закон Ньютона формулируется таким образом, чтобы ввести поверхностные силы как дивергенцию симметричного тензора (тензор напряжения). Вид тензора касательного напряжения для изотропной среды основывается на свойствах изотропных функций. [c.92]

Повреждение, обусловленное интенсивным порообразованием по границам зерен в материале, может приводить к значительному его разрыхлению. В этом случае проведение независимого (несвязного) анализа НДС и развития повреждений в материале дает значительные погрешности. Например, отсутствие учета разрыхления в определенных случаях приводит к существенному занижению скорости деформации ползучести и к снижению скорости накопления собственно кавитационных повреждений. В настоящее время связный анализ НДС и повреждаемости базируется в основном на феноменологических подходах, когда в реологические уравнения среды вводится параметр D, а в качестве разрушения принимается условие D = 1 [47, 50, 95, 194, 258, 259]. Дать физическую интерпретацию параметру D достаточно трудно, так как его чувствительность к факторам, определяющим развитие межзеренного повреждения, априорно предопределена той или иной феноменологической схемой. Так, во многих моделях предполагается, что D зависит только от второго инварианта тензора напряжений и деформаций и тем самым исключаются ситуации, когда повреждаемость и, как следствие, кинетика деформаций (при наличии связного анализа НДС и повреждения) являются функциями жесткости напряженного состояния. [c.168]

Вся изложенная теория упругих колебаний является приближенной в том же смысле, в[каком приближенна вообще вся теория упругости, основанная на законе Гука. Напомним, что в ее основе лежит разложение упругой энергии в ряд по степеням тензора деформации, причем оставляются члены до второго порядка включительно. Соответственно этому компоненты тензора напряжений оказываются линейными функциями компонент тензора деформации, и уравнения движения — линейны. [c.144]

Следовательно, упругий потенциал для линейно-упругого тела можно представить как функцию второго порядка компонент atj тензора напряжений. [c.66]

Тогда из второй формулы (9.246) вытекает, что при заданном тензоре напряжений производная г]5 (г) определяется единственным образом, а функция ф (г) — о точностью до слагаемого а + tji. Таким образом, при замене [c.290]

Один вариант теории пластического течения с упрочнением мы уже разобрали в 16.1. Предполагая, что поверхность течения есть призма Треска — Сен-Венана, и считая, что мы находимся все время на одной и топ же грани этой призмы, мы проинтегрировали по существу уравнения (16.3.2) и пришли к некоторому варианту деформационной теории. Другой вариант был предложен Прагером, он основан на предположении, что как функция /, так и функция Н зависят лишь от второго инварианта девиатора тензора напряжений, например [c.540]

Тензор второго ранга в общем случае описывается девятью функциями трех переменных. Однако тензор напряжений (1.8) обладает одной важной особенностью. Из условия равенства нулю моментов, действующих на элементарный объем (см. рис. 1.1), следует, что касательные напряжения с одинаковыми, но расположенными в обратном порядке индексами равны = Оу . Такой тензор называется симметричным и вместо (1.8) можно написать [c.8]

Ниже приведены результаты решения стохастической краевой задачи с учетом реального вида моментных функций упругих свойств двухфазных композитов. Построено полное корреляционное приближение задачи в перемещениях, когда при вычислении бинарных ко >-реляционных тензоров деформаций удерживаются только члены бесконечного ряда, содержащие моментные функции упругих свойств с порядком не выше второго. Однако при вычислении бинарных корреляционных тензоров напряжений и условных моментов, характеризующих средние значения и дисперсии полей деформаций и напряжений [c.39]

Из выражения (3.68) видно, что для вычисления бинарного корреляционного тензора напряжений даже в корреляционном приближении стохастической задачи (3.64) в перемещениях необходимы моментные функции не только второго, но также и третьего и четвертого порядков случайного поля упругих свойств. Однако с учетом приведенных ранее соотношений между моментными функциями и индикатора к(г) и моментными функциями высших порядков и формулы [c.59]

Упругие константы компонентов были выбраны следующими G = = 2,1 ГПа, I/ = 0,25 для матрицы и G = 10,5 ГПа, I/ = 0,25 для волокна. С помощью входящих, согласно (6.4), в уравнения (9.20) функций поврежденности неупругие свойства материала матрицы описывались нелинейной зависимостью второго инварианта тензора напряжений от соответствующего инварианта тензора деформаций. Значения инвариантов определялись по (6.6) и (6.7). Графическое выражение зтой зависимости приведено на рис. 11.6. Подобные диаграммы деформирования были получены, в частности, при проведении экспериментов на образцах полиэтилена [68] и сплава ВТ5-1 [233]. [c.261]

Во втором подходе определяющие соотношения строятся в виде однородных функций первой степени компонент некоторых объективных производных тензоров напряжений от компонент объективных производных тензоров деформаций. Определяющие соотношения этого типа называются определяющими соотношениями теории пластического течения. Они свободны от упомянутых выше недостатков определяющих соотношений деформационных теорий пластичности. [c.86]

Так как при использовании потенциала (6.22) вместо несжимаемого рассматривается сжимаемый материал, то компоненты второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа определяются по формулам (2.14) с помощью потенциальной функции (6.22). [c.200]

Докажем, что вектор напряжения можно представить как произведение орта га, характеризующего выбор ориентировки площадки бо в пространстве, на независящий от направления площадки, т. е. от орта га, тензор второго ранга Р, который является функцией только вектор-радиуса г и, вообще говоря, времени Ь и, следовательно, образует поле. [c.58]

Здесь — длина дуги неупругой деформации (накопленная неупругая деформация оц — — первый инвариант тензора напряжений ji — параметр вида активного напряжённого состояния G G [—1, 1] при сжатии fi — —1, при сдвиге = О, при растяжении = = +1 сг — интенсивность активных напряжений h D ) и /з(-О ) соответственно второй и третий инварианты девиатора активных напряжений qe,q T,q ,qR — функции подлежащие экспериментальному определению. [c.119]

Введем градиент деформаций D, т. е. градиент х относительно X. Этот градиент деформаций представляет собой, вообще говоря, функцию времени и координат точки материала. Предположим, что напряжение, связанное с этой деформацией, зависит от истории деформирования и математически может быть представлено в виде функционала от градиента деформаций. Механическое поведение материала будет описываться при помощи переменных состояния. В соответствии с одним частным вариантом такой методики описания [4, 5] зависимость между напряжениями и историей деформирования строится в два этапа напряжение рассматривается как функция переменных, характеризующих состояние материала и ориентацию его частиц, а затем эти переменные связываются с прошлой предысторией деформирования при помощи соответствующих законов роста . В настоящей работе предполагается, что состояние материала и его ориентация с достаточной точностью описываются двумя переменными — симметричными тензорами второго ранга с, q. Компоненты этих [c.151]

Опыт показывает, что при малых деформациях напряжение пропорционально де( юрмации. Этот факт, установленный Гуком для простейших деформаций, составляет формулировку известного закона Гука, справедливого только для достаточно малых деформаций и напряжений. Применительно к акустике бесконечно малых амплитуд мы можем ограничиться рассмотрением идеально упругих сред, для которых связь между напряжением и деформацией линейна. Поскольку в общем случае напряжение и деформация определяются тензорами второго ранга, имеющими по шесть независимых компонент, то естественным обобщением закона Гука будет линейная зависимость между ними. Тогда обобщенный закон Гука можно сформулировать так компоненты напряжения в данной точке тела являются линейными и однородными функциями всех компонент деформации, т. е. [c.20]

Совокупность сумм главных напряжений и гидростатического давления входит в схему напряженного состояния, именуемую девиатором напряженного состояния. Пользуясь языком тензорного анализа, можно так называемый тензор напряжений, т. е. векторную функцию от векторного аргумента разложить на шаровой тензор (у которого три диагональных составляющих из девяти, написанных в виде определителя, друг другу равны, а остальные составляющие равны нулю) и на известный нам уже девиатор напряженного состояния. Иначе говоря любая схема напряженного состояния может быть разложена на схему всестороннего сжатия или растяжения — схему положительного или отрицательного гидростатического давления — и на схему напряженного состояния, при котором сумма трех нормальных составляющих равна нулю. Напомним, что гидростатическое давление вызывает только изменение объема элемента, в то время как вторая схема, представленная совокупностью сумм главных напряжений и гидростатического давления, осуществляет упруго-пластическое изменение формы материального элемента. [c.122]

В первое слагаемое входят известные, неварьируемые величины оно не нуждается в дальнейших преобразованиях. Чтобы избавиться от перемещений во втором слагаемом, выразим вектор напряжений f + e°-n через компоненты тензора функций напряжений Ф у и некоторые функции (а, Р=1, 2) от их нормальных производных в системе координат, связанной с поверх- [c.56]

Первый подход предложил Л. М. Зубов [71. В этом подходе принцип стационарности потенциальной энергии был обобщен с использованием тензоров напряжений Пиолы ) и тензоров градиентов перемещений. Второй подход предложил Фрайш де Вебеке 181. Его формулировка основана на теореме о полярном разложении матрицы Якоби. В подходе использованы технические тензоры деформаций и сопряженные с ними тензоры напряжений, которые рассматриваются как функции тензоров напряжений Пиолы и материальных вращений. Таким образом, функционал [c.368]

Решения Максвелла и Морёра не являются единственно возможными В. И. Блох и Ю. А. Крутков указали ряд других форм общего решения уравнений равновесия ). Эти решения выражаются через вторые производные функций напряжений можно искать решения, выраженные через производные более высоких порядков. Возьмем, например, одну произвольную функцию F х, у, z) и три также произвольных постоянных параметра а, Ь, с и запишем ком-лоненты тензора напряжений в следующем виде [c.246]

Несжимаемость и отсутствие объемной вязкости. В литературе по вязкой жидкости важную роль играют два частных случая жидкость без объемной вязкости и несжимаемая жидкость [37]. Первая из этих моделей обладает тем свойством, что диссипативная функция и, следовательно, тензор необратимых напряжений зависят только от скорости изменения формы V jk, так что изменения объема чисто упругие. Вторая модель вообще не допускает изменения объема и характеризуется поэтому соотношением или в соответствии с (6.29) Vjk=V jk, так что скорость деформации представляет собой девиатор. В первом случае реолопгаеская модель изменений объема представляет собой пружину (рис. 6.1) в обоих случаях реакция на изменение формы характеризуется катарактой (рис. 6.3). [c.106]

Число фигурирующих в уравнениях движения коэффициентов вязкости уменьшается в важном случае, когда движущуюся жидкость можно считать несжимаемой (для чего ее скорость должна быть мала по сравнению со скоростью звука). Уравнение непрерывности несжимаемой жидкости сводится к равенству div v = = Vii = 0. В тензоре напряжений (41,4) второй член выпадает вовсе, а третий принимает вид onst. 6 (nin vim). Замечаем, что последний член не дает вклада в диссипативную функцию (он выпадает при образовании произведения a ik ik, поскольку = [c.217]

Наконец, если тело изотропное, то упругий потенциал должен быть постоянным при произвольном повороте осей координат. С другой стороны, тензор напряжений или тензор деформаций имеет три независимых инварианта первой, второй и третьей степени относительно компонентов тензоров напряжений и деформаций. Поэтому упругий потенциал должен быть выражен через инвариан- ты тензора напряжений, если упругий потенциал представлен компонентами тензора напряжений, или через инварианты тензора де-. формаций, если упругий потенциал представлен компонентами тензора деформаций (4.28). В силу того, что упругий потенциал является однородной функцией второй степени, он может содержать только первый инвариант во второй степени и второй инвариант в первой степени, т. е. [c.68]

Итак, компоненты тензора напряжений согласно закону Гука есть линейные функции компонент e тензора деформации и вместе с тем в соответствии в формулой Грина являются частными производными первого порядка упругого потенциала W (в ) по соответствующим компонентам тензора деформации. Отсюда становится очевидным,"что упругий потениил W ( и) представляет собой функцию второго поряд-к а компонент тензора деформации. Общее выражение этой функции можно представить в следующем виде [c.57]

Здесь G — функция инвариантов тензора или efj. При рассмотрении конкретных примеров авторы считали, что G зависит только от второго инварианта девиатора тензора Sy и в уравнении (16.7.3) фигурируют компоненты девиаторов. При интерпретации этого уравнения тензор Sy рассматривают как тензор внутренних самоуравновешенных напряжений, точнее — как некоторую интегральную меру этих напряжений, возникающих в кристаллических зернах. [c.554]

Указанные предположения непринципиальны, однако позволяют ухватить физический механизм процесса и существенно упростить теорию. В частности, первое предположение позволяет нам использовать сферическую систему координат для описания поля скоростей и напряжений в ламелле. Второе - предполагает сушествование лишь диагональных компонент тензора напряжений Тгг, твв, остальные в течениях типа растяжения равны нулю. Ненулевые компоненты тензора напряжений являются функциями только толщины ламеллы. [c.119]

Одних только уравнений движения сплошной среды в напряжениях и уравнений несжимаемости недостаточно для нахождения поля скоростей (или поля смещений). Для определенности задачи необходимо еще охарактеризовать соотношение между компонентами тензора скоростей деформации (или тензора деформации или, в общем случае, некоторого кинематического тензора, построенного с помощью этих тензоров) и компонентами тензора напряжений, причем эти соотношения должны обладать некоторыми свойствами, определяемыми тензорностью величин. Связь между напряжениями, деформациями и их производными по времени называется уравнением (функцией) реологического состояния. Важным частным случаем уравнения состояния является уравнение течения, которое определяет собой зависимость между скоростями деформаций и напряжениями. Ниже рассматриваются, во-первых, задачи в условиях простого напряженного состояния, когда существует лишь одна составляющая тензора напряжений и соответствующая ей составляющая тензора скоростей деформаций, во-вторых (за исключением, когда это особо не оговаривается), только те случаи, когда скорость деформации — непрерывная однозначная 12 [c.12]

В частном случае, когда поведение изотропного материала описывается функциями < (ie ), ЧТО Нб противоре-чит условиям потенциальности, для их определения достаточно двух независимых экспериментов. Например, по результатам испытаний на кручение тонких трубчатых образцов может быть получена зависимость И построены функции Знание зависимости азз 33, обнаруженной в результате испытаний на одноосное растяжение, позволяет вычислить связь первых инвариантов , определив значение по напряжениям 0-33 и о-ц = 0-22 = = О, получив значение второго инварианта тензора деформаций с использованием функции T(j h и найдя деформации ц = 22 соот-ветствующие вычисленной величине ji . На основании зависимости 3 строятся функции < (ie ) и т.е. для них выбирается вид аналитических зависимостей и определяются все константы. [c.108]

Предполагается, что потенциальная функция W e) имеет непрерывные первые и, по крайней мере, кусочно-непрерывные вторые производные от своих аргументов. Эта функция параметрически зависит от компонент тензора напряжений Коши и от параметров, содержащих всю историю деформирования. Обоснование необходимости записи определяющих соотношений упругопластического материала в потенциальном виде (2.57) представлено в [19, 23, 25] (следствие принципа макродетерминизма). Таким образом, возможность представления определяющих соотношений упругопластического материала в виде (2.57) дает критерий отбора феноменологических теорий пластичности. Например, определяющие соотношения деформационной теории пластичности, сформулированные относительно скоростей, не допускают записи в виде (2.57). Но если игнорировать условие разгрузки по упругому закону то рассматриваемые далее соотношения деформационной теории пластичности для материала с изотропным упрочнением записываются в виде (2.57). Если функциональные зависимости <т(ё) известны и допускают запись в виде (2.57), то по теореме Эйлера об однородных функциях можно получить явный вид потенциальной функции [c.87]

Детали машин и элементы конструкций — распределенные системы, поля напряжений, деформаций и температур в которых, как правило, неоднородны. Поэтому накопление повреждений протекает в различных точках неодинаково, так что меры повреждений — функции не только времени, но и координат. Это приводит к континуальным моделям повреждения, в которых наряду с полями напряжений и температуры рассматривают поля некоторых скалярных и тензорных характеристик поврежденности материала. По существу модели теории пластичности и теории ползучести представляют собой континуальные модели накопления повреждений, в которых степень повреждения материала определена через поля тензора пластических деформаций или его инвариантов. В более общем случае можно ввести дополнительные поля, которые характеризуют плотность дислокаций, линий скольжения, микротрещин и т. п. Предложен ряд моделей, использующих тензоры второго и более высокого ранга. Однако для использования этих моделей в прикладных расчетах необходимо иметь весьма обширные опытные данные, которые можно получить только из весьма тонких и обстоятельных экспериментов (которые пока никто не проводил). Возможно, что более практичным является другой путь развивать не полуэмпири-ческие, а структурные модели, которые явным образом описывают явления, происходящие в структуре материала при его повреждении. Влияние неоднородности полей напряжений и температур на процессы повреждения целесообразнее учитывать, рассматривая достаточно большое число наиболее напряженных точек и узлов, т. е. увеличивая размерность вектора г 5. [c.93]

Из (8.43) следует, что компонейта смещения из" должна удовлетворять однородному волновому уравнению, но поскольку из"(0) t) = О, очевидно, что щ" = О, т. е. при распространении лоперечной волны в изотропном твердом теле не генерируется поперечная вторая гармоника. Этот результат физически довольно очевиден, так как при распространении поперечных волн не изменяется плотность среды и в изотропном твердом теле упругие напряжения при сдвиговых деформациях не зависят от знака деформации. Последнее, в частности, проявляется в том, что для плоских волн внутренняя энергия (8.13) является четной функцией сдвиговых компонент тензора деформации. По этой же причине две поперечные волны, распространяющиеся в одном направлении, не будут взаимодействовать. [c.316]

Уравнение (2.34) постулирует, что скорость изменения тензора неупругой деформации является функцией превышения напряжением квазистатического условия текучести. В вязко-пластичности это предположение было впервые выдвинуто Го-генемзером и Прагером [99] и в дальнейшем развито в работах [209—225]. Чтобы обеспечить инвариантность тензора Р внутреннего состояния относительно системы отсчета, достаточно предположить, что инвариантен симметричный тензор М. второго порядка. [c.106]

Выражения (6.9) соответствуют приближению Навье — Стокса. Оставляя три члена ряда и исключая производные по t из второго члена с помощью уравнений Навье — Стокса и из третьего с помощью уравнений Эйлера, получим функцию распределения барнеттовского приближения. Подставляя ее в выражения для тензора напряжений и вектора потока тепла, входящие в уравнения сохранения (1.8)—(1.10), получим уравнения Барнетта, и т. д. [c.129]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...