Тензор напряжения 10, 11 — Разложение

Разложим тензор напряжений (Oij) на шаровой тензор (6,/ао) и девиатор (S,/). Это разложение описывается формулой [c.52]

Вся изложенная теория упругих колебаний является приближенной в том же смысле, в[каком приближенна вообще вся теория упругости, основанная на законе Гука. Напомним, что в ее основе лежит разложение упругой энергии в ряд по степеням тензора деформации, причем оставляются члены до второго порядка включительно. Соответственно этому компоненты тензора напряжений оказываются линейными функциями компонент тензора деформации, и уравнения движения — линейны. [c.144]

РАЗЛОЖЕНИЕ ТЕНЗОРА НАПРЯЖЕНИЙ НА ШАРОВОЙ ТЕНЗОР И ДЕВИАТОР НАПРЯЖЕНИЙ. ИНТЕНСИВНОСТЬ НАПРЯЖЕНИИ [c.17]

Если подставить выражения (11.30) для компонент тензора напряжений в уравнения Бельтрами (11.25), а функции (1 — д // )" -, (1 — xlR)" заменить их разложениями в ряды [c.373]

Потребуем, чтобы компоненты тензора напряжений остались на бесконечности ограниченными. Для этого нужно, чтобы в разложении (10,2,7) исчезли все члены, соответствующие положительным w 2 таким образом, [c.330]

Разложение тензора напряжений на шаровой тензор и девиатор. [c.419]

Первое слагаемое, To, называется шаровым тензором напряжений (поверхность Коши для него — сферическая) второе слагаемое, Do, называется девиатором напряжений. Пример разложения тензора напряжений на шаровой и девиатор показан на рис. 5.22. [c.419]

Так, более подробно разобраны понятия тензоров напряжений и деформаций и их разложение на шаровой тензор и девиатор, добавлен закон Гука в тензорной форме. В новой, V главе рассматриваются простейшие задачи теории упругости чистый изгиб прямого призматического стержня и кручение круглого стержня постоянного сечения. В главе VI добавлен расчет балки-стенки. Далее добавлены следую-ш,ие параграфы Понятие о действии сосредоточенной силы на упругое полупространство , Понятие о расчете гибких пластинок , Понятие о расчете гибких пологих оболочек . Переработан раздел о математическом аппарате теории пластичности, добавлено понятие о теории пластического течения, дано понятие о несущей способности балок и плит на основе модели жесткопластического материала. Вновь написаны главы ХП1 и XIV об основных- зависимостях теории ползучести и даны простейшие задачи теории ползучести. [c.3]

Разложение тензора напряжений на шаровой тензор и девиатор напряжений будет использовано в дальнейшем при рассмотрении физических соотношений в теории упругости и теории пластичности. [c.84]

И обусловлено совместным действием сингулярной и регулярной составляющих поля напряжений. Следовательно, работа внешних воздействий, расходуемая на затупление вершины трещины, активирует появление боковых микротрещин, стремящихся повернуть магистральную трещину в сторону от исходного направления ее распространения (нарушить автомодельность ). Параметрами, относящимися к вершине трещины и управляющими расположением и ориентацией этих возмущающих микротрещин, являются коэффициенты интенсивности напряжений для смешанного типа деформации и компоненты тензора напряжений на бесконечности, представляющие собой первый регулярный член в разложении поля напряжений в окрестности вершины. Большие значения коэффициентов интенсивности напряжений приводят к уменьшению кривизны вершины и соответственно к большим значениям накопленной энергии деформации, которая после высвобождения порождает множество трещин, распространяющихся по различным путям. Поворот [c.28]

Часто бывает необходимо разложение тензора напряжений на шаровой тензор и девиатор. Шаровым называют тензор, получаемый умножением единичного тензора 613 на среднее нормальное напряжение ст, определяемое равенством [c.11]

В 3.2 были определены векторы напряжений а . Я, = 1,2, 3. Первый тензор напряжений Пиолы—Кирхгофа ), обозначаемый через определяется с помощью разложения по базисным векторам i , х = 1, 2, 3, так что [c.474]

С другой стороны, второй тензор напряжений Пиолы — Кирхгофа ), обозначаемый через a , определяется с помощью разложения по векторам решетки Е , х = 1, 2, 3, так что [c.474]

Разложение тензора напряжения. Так как материалы обладают, как правило, различными механическими свойствами по отношению к равномерному всестороннему растяжению и к касательным напряжениям, то выгодно представить тензор напряжения в виде суммы ) [c.12]

Напряжения (см. рис. 6.12, 6.13) следует понимать как физические компоненты — составляющие разложения тензора напряжений а по единичным векторам основного косоугольного базиса местной криволинейной системы координат а = и, a =v, а =2, в которой описана геликоидальная оболочка. [c.196]

Поэтому, например, нельзя считать удовлетворительной теорию изгиба плит, построенную Пуассоном и Коши. Поскольку они применили разложение компонент тензора напряжений по возрастающим степеням координаты х , то может не быть сходимости на всем интервале [—h, h] изменения координаты х . [c.17]

Разложение тензора напряжений на шаровую и девиаторную части имеет большое принципиальное значение при исследовании поведения упругих и неупругих тел под нагрузкой. Шаровая часть выделяет из напряженного состояния равномерное всестороннее растяжение или сжатие, при котором изменяется лишь объем данного элемента тела без изменения формы. Девиатор напряжений характеризует состояние сдвига, при котором изменяется форма элемента без изменения его объема. Как показы- [c.26]

Иными словами, мы нашли соотношения (в виде разложений в ряды) между тензором напряжений и вектором теплового потока, с одной стороны, и основными макроскопическими неизвестными (плотность, скорость и температура либо внутренняя энергия) — с другой. Это означает, что данный метод позволил замкнуть (по крайней мере формально) систему уравнений сохранения и построить макроскопическую модель, базирующуюся на понятиях плотности, скорости и температуры, из микроскопического описания, основанного на функции распределения. [c.119]

Разложение тензора напряжений на девиаторную (1.23) и шаровую (1.22) части выглядит в матричной [c.52]

Дальнейшая конкретизация соотношения (6.24) связана с выбором функции Р (Tij, Г). Однако представление этой функции в виде разложения в ряд Тейлора по степеням Oij некорректно, так как компоненты тензора напряжений совсем не обязательно удовлетворяют условию (Tij <С <С 1, позволяющему в этом разложении ограничиться линейными по (Tij слагаемыми. Поскольку представление объемной плотности свободной [c.131]

Представим компоненты тензора напряжений внутри слоя взаимодействия асимптотическими разложениями следующего вида [c.192]

Лагранжев и эйлеров тензоры линейных деформаций можно разложить на шаровые тензоры и девиаторы тем же самым способом, как в гл. 2 было выполнено разложение тензора напряжений. Если компоненты лагранжева и эйлерова девиаторов обозначить через йц и соответственно, то нужные выражения имеют вид [c.131]

Хея—Вестергарда), изображенном на рис. 8.4, по осям координат откладываются главные значения тензора напряжений. Каждая точка такого пространства соответствует некоторому напряженному состоянию. Радиус-вектор ОР любой точки Р (сг1, ац, Сщ) может быть разложен на две компоненты ОА — вдоль прямой 0Z, которая составляет равные углы с осями координат, и ов — в плоскости, перпендикулярной 0Z и проходящей через начало координат (эта плоскость известна под названием П-плоскости). Компонента вдоль 0Z, для которой 01 = (Тц = (Тщ, представляет гидростатическое давление, а компонента в П-плоскости — девиаторную часть напряжения. Легко показать, что П-плоскость имеет уравнение [c.254]

При создании трехмерной теории линейной вязкоупругости обычно принято рассматривать отдельно вязкоупругое поведение в условиях так называемого чистого сдвига и чистого расширения. Таким образом, эффекты искажения формы и изменения величины объема изучаются независимо и затем их описания комбинируются, чтобы построить общую теорию. Математически это обеспечивается разложением тензоров напряжений и деформаций на их девиаторную и шаровую части, для каждой из которых затем пишутся определяющие соотношения вязкоупругости. Разложение тензора напряжений дано формулой (2.70) [c.290]

Производя аналогичное разложение тензора напряжений на девиаторную и шаровую части [c.15]

Разложение тензора напряжений на шаровой тензор [c.56]

Граничные условия к уравнению (2. 3. 21) совпадают с усло-ВИЯМ11 (2. 2. 10)—(2. 2. 13). Соотношение (2. 2. 13), определяющее нор.мальные ко.мпоненты тензора напряжений на поверхности пузырька, сводится к предположению о сферичности пузырька. Функцию тока будем искать в виде разложения [13] [c.27]

Для решения поставленной задачи будем использовать метод последовательных итераций [22]. Он заключается в следующем. В качестве начального приближения для ф и используем функции тока, являющиеся решением задачи об обтекании пузырька потоком жидкости при учете инерционных эффектов (см. разд. 2.3). С помощью этих выражений для функций тока можно определить нормальные компоненты тензора напряжений в обеих фа.чах. Тогда можно решить уравнение (2. 7. 9) и тем самым определить начальное значение функции С (т]). Далее для найденной формы пузырька нужно повторить решение уравнения Навье—Стокса при помощи метода сращиваемых асимптотических разложений (см. разд. 2.3) и т. д. Рассмотрим решение уравнения (2. 7. 9) в соответствии с [22], считая, что неоднородная его часть явля- [c.66]

Разложение (2.12) является не только формальной операцией, (Jh[c.31]

При переходе к трехмерной теории линеиной вязкоупругости эффекты формоизменения и изменения объема изучают независимо. Математически это соответствует разложению тензоров напряжений и деформаций па шаровую часть и девиатор [c.142]

Первый подход предложил Л. М. Зубов [71. В этом подходе принцип стационарности потенциальной энергии был обобщен с использованием тензоров напряжений Пиолы ) и тензоров градиентов перемещений. Второй подход предложил Фрайш де Вебеке 181. Его формулировка основана на теореме о полярном разложении матрицы Якоби. В подходе использованы технические тензоры деформаций и сопряженные с ними тензоры напряжений, которые рассматриваются как функции тензоров напряжений Пиолы и материальных вращений. Таким образом, функционал [c.368]

Записав разложение тензора напряжений Коши в лаграиже-вом базисе актуальной конфи рацив [c.42]

Для выяснения механического смысла компонент введенных тензоров напряжений рассмотрим векторы напряжений tj и Tj, действующие на элементарных площадках поверхностей 0 = onst и отнесенные к этим площадкам в актуальной и отсчетной конфигурациях соответственно (рис. 1.3). Слово вектор употребляется условно, так как объекты tj и Tj не являются настоящими векторами вследствие их неинвариантности относительно преобразования координат. Имеем следующие разложения [68] [c.49]

Между девятью компонентами тензора напряжения (S) существуют некоторые зависимости. Для вывода их проведем три пары плоскостей, параллельных координатным плоскостям, на расстояниях Ьх, Ьу, bz друг от друга так, чтобы рассматриваемая точка была внутри образовавшегося параллелепипеда. Вырезавши мысленно этот параллелепипед из тела и заменив действие отброшенной части равнодействующими внутренних усилий, приложенными в центре каждой грани, и произведя затем разложение каждой равнодействующей по координатным осям, получим картину, подобную рис. 14, на которой усилия, действующие на каждую грань, изображены в виде компонент тензора напряжений. Например, усилие в направленрш оси х, действующее на правую грань параллелепипеда, равно Gy bxbz. Значения этих усилий на гранях параллелепипеда совместно с массовыми силами определяют напряжения во всех точках внутри параллелепипеда. [c.29]

Из сравнения коэффициентов разложения с механическим уравнением состояния, составленным на основе свободной энергии, видно, что первый коэффициент dflduoi является компонентой тензора напряжения. Однако он взят при нулевой деформации. Поэтому второе слагаемое рассматриваемого ряда равно нулю. Следующие слагаемые преобразуются так, как показано ниже [c.401]

Разложение тензора напряжений на шаровую и девиаторную части имеет большое принципиальное значение при исследовании поведения упругих и пластических тел под нагрузкой. Шаровая часть выделяет из напряженного состояния равномерное всестороннее растяжение или сжатие, при котором изменяется лишь объем данного элемента тела без изменения формы. Девиатор папряжепий характеризует состояние сдвига, ири котором изменяется форма элемента без изменения его объема. Следовательно, девиатор напряжений указывает отклонение (девиацию) рассматриваемого паиряжепиого состояния от всестороннего растяжения (сжатия) или отклонение приобретенной формы тела от первоначальной. Как показывают опыты, материалы по-разному реагируют на всестороннее сжатие и на напряжепие сдвига. [c.30]

Приведенные сообра кения о возможности разложения напряженного состояния позволяют представить тензор напряжений в [c.20]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...