Напряжений тензор след его

Однако в вышеприведенной схеме имеется одна трудность, поскольку, вообще говоря, тензор т в уравнении (6-4.23) не есть девиаторный тензор избыточных напряжений, т. е. его след не равен нулю. Например, уравнение (6-4.4) дает тензор т с нуле- [c.236]

В анизотропных телах положение осложняется в тех случаях, когда анизотропия криволинейна. Например, цилиндр, изготовленный из стеклопластика или углепластика путем намотки, ортотропен, но упругие свойства его обладают цилиндрической симметрией, в цилиндрических координатах модули упругости и коэффициенты температурного расширения постоянны. Но при переходе к декартовым координатам тензоры Ei и а будут уже не постоянными, а функциями координат Ха, поэтому даже равномерное температурное ноле вызовет напряжения. Эта задача легко решается методом, совершенно подобным тому, который был применен в 8.12 для трубы из изотропного материала. Присваивая радиальному направлению индекс единицы, мы запишем уравнение упругости в форме (10.6.4). Теперь уравнение для функции напряжений оказывается следующим [c.385]

Под действием заданных нагрузок в точках твердого тела возникает напряженное состояние. Для его описания вводится симметричный тензор напряжений второго ранга (см. 8.2) с шестью независимыми компонентами aij. Первый индекс указывает нормаль к площадке, на которой действует это напряжение, второй—обозначает ось, которой оно параллельно. Компоненты с одинаковыми индексами совпадают с напряжениями, нормальными рассматриваемой площадке. Если индексы разные, то aij совпадают с касательными напряжениями. Растягивающие нормальные напряжения считаются положительными, сжимающие—отрицательными. Симметрия тензора напряжений = = aji следует из условия равновесия элемента рассматриваемого тела (равенство нулю суммарного момента сил, действующего на элемент). [c.24]

Инварианты тензора напряжений, выраженные через его главные значения, вычисляются следующим образом [c.204]

Следуя I, 13 представим тензор напряжений Коши Т его разбиением на шаровую и девиаторную части [c.174]

Здесь е - полный тензор скоростей деформаций, - собственная скорость ростовой деформации в отсутствие напряжений, - тензор податливости (обратный тензору упругости), N - тензорный коэффициент (не обязательно постоянный), отражающий влияние напряжений на скорость ростовой деформации. Соотношение (4.3) или его обобщения сохраняют силу, но под е теперь следует понимать не полную, а только упругую (быструю) деформацию. [c.17]

Поскольку деформация однородна, т. е. u J. постоянны вдоль тела, то постоянен также и тензор напряжений а поэтому его можно определить непосредственно из граничных условий (2.8). На боковой поверхности стержня внешние силы отсутствуют, откуда следует, что 0. Поскольку единичный вектор п на боковой поверхности перпендикулярен к оси гг, т. е. имеет только компоненты п , Пу, то отсюда следует, что все компоненты з ., за исключением только равны нулю. На поверхности концов стержня имеем = р, откуда [c.651]

Очевидно, что включение члена, определяемого уравнением (6-4.25), эквивалентно выбору значения Ь = — /3 а в общем операторе временного дифференцирования, определяемом уравнением (6-4.3). Очевидно также, что при таком выборе значение с становится несущественным, поскольку содержащий его член обращается в тождественный нуль. Было предложено несколько релаксационных уравнений состояния, построенных таким образом, что напряжение определялось в виде тензора с нулевым следом. Следует заметить, однако, что добавление к заданному релаксационному уравнению состояния членов типа (6-4.25) полностью изменяет скорректированное уравнение по сравнению с исходным. А именно, это не только преобразует рассматриваемый ранее тензор напряжений к тензору с нулевым следом, но и полностью изменяет реологическое поведение. Если, например, уравнение (6-4.12) предсказывает постоянство сдвиговой вязкости (см. (6-4.8)), то модификация уравнения (6-4.12) к виду уравнения с бесследным тензором, т. е. к виду [c.237]

Подчеркнем, что не имеет теперь смысла плотности потока импульса (тензора напряжений). В обычной теории такое истолкование получалось в результате интегрирования плотности объемной силы doi /dx по объему тела. При этом существенно, что при интегрировании мы не делали различия между координатами точек тела до и после деформирования, пренебрегая разницей между ними. Однако при переходе к следующим приближениям такое пренебрежение становится невозможным, и поверхность, ограничивающая область интегрирования, не совпадает с реальной поверхностью рассматриваемого участка тела после его деформирования. [c.148]

Первый же член в реактивной части тензора напряжений (40,16) квадратичен по бп и потому должен быть опущен. Должны быть опущены также и квадратичные члены, возникающие при образовании тензорной дивергенции д aУk в уравнении (40,7) и член (vV) V в его левой стороне. В результате это уравнение сводится к следующему [c.220]

От предельного изгибающего момента отвечающего развитому пластическому течению и неспособности соединения при этом воспринимать дальнейшую нагрузку, следует отличать предельный разрушающий момент М , при котором происходит нарушение сплошности материала (образование микротрещин и т. д.) вследствие исчерпания ресурса пластичности материала прослойки / р. Так как ресурс пластичности является функцией показателя жесткости напряженного состояния П ( П = а /Т—отношение шаровой части тензора напряжений к девиаторной /11 /). с повышением уровня нормальных напряжений растяжения в прослойке повышается показатель жесткости напряженного состояния и падает ресурс пластичности мягкого металла Лр. Уровень нормальных напряжений в прослойке возрастает с уменьшением ее относительной толщины ае, следовательно и предельный разрушающий момент Мр будет зависеть от геометрических параметров мягкой прослойки. Основные соотношения для его определения приведены в /12/. [c.27]

Первая основная граничная задача состоит в нахождении в области, занятой телом, трех проекций вектора перемещения и шести компонентов тензора напряжений, которые должны быть непрерывными вплоть до поверхности тела функциями координат и удовлетворять уравнениям (5.1) и (5.2), а на поверхности его еще следующим условиям [c.84]

После трех-четырехкратного пробега волн напряжений по сфере наступает процесс колебательного движения сферы, находящейся под действием указанных внешних силовых факторов. Этот процесс характеризуется тензором кинетических напряжений (Т). Построение этого тензора выполняется в сферической системе координат (0, ф, г, л ) с началом в центре сферы и основано на использовании обш,его решения (2.1.61) уравнений равновесия фиктивного тела, которое выражает компоненты тензора (Т) через функцию кинетических напряжений / (г, х ). Функция кинетических напряжений / (/ л °) строится так, чтобы выполнялись следующие граничные условия [c.286]

Механический смысл приведения тензора напряжений к главным осям состоит в следующем. Около каждой точки напряженного тела можно выделить такой элемент в виде бесконечно малого прямоугольного параллелепипеда, что на грани его действуют только нормальные напряжения Oi, 02 и Оз. Перефразируя этот результат применительно к тензору деформаций, мы можем утверждать существование такого бесконечно малого прямоугольного параллелепипеда, ребра которого удлиняются или укорачиваются в отношениях 1 + е,, 1 + е , 1 + е , но прямые углы остаются прямыми. Для инвариантов, представляющих собою коэффициенты соответствующего кубического уравнения, сохраняются формулы (7.5.1) с заменой О на С . [c.222]

Фактическое вычисление потенциала U по формуле (18.11.3) встречает затруднения, получить явное его выражение не удается. Обычный путь, по которому идут разные авторы в тех случаях, когда и усилия и моменты Мао играют одинаковую роль и ни теми, ни другими пренебрегать нельзя, состоит в той или иной аппроксимации потенциала (обычно потенциала скоростей Ф) с помощью некоторого подходящего выражения, например квадратичной формы относительно Гар и Д/ р. Если Таъ = 0 или Л/as = О, то потенциал легко вычисляется. В первом случае получается обычный случай плоского напряженного состояния мы рассмотрим только случай изгиба. Если еар = —zx p, то v = zk вследствие однородности, к представляет собою выражение, образованное из компонент тензора Хар точно таким же способом, как V было образовано из компонент тензора вор. Потенциал моментов будет теперь определяться следующей формулой [c.640]

Xf° — предел прочности при растяжении под углом 45° к направлению главных осей симметрии, а А, ц и р — дополнительные экспериментально определяемые постоянные. Уравнение (70а) справедливо лишь для (ai + аг) 0 если же ( i + 02) О, то предел прочности при растяжении следует заменить пределом прочности при сжатии. Таким образом, для полного описания поверхности разрушения требуется два различных критерия, определяемых в совокупности тринадцатью постоянными. Алгебраическая структура данного критерия не связана непосредственно с первоначальным понятием тензоров прочности, введенных ранее формулами (666). Тем не менее уравнение (70а) по внешнему виду напоминает формулировку критерия через эквивалентные напряжения, если его переписать так [c.446]

Последний член описывает тепловое давление, пропорциональное плотности кинетической энергии теплового движения и весьма малое при достаточно низких температурах. Следовательно, и в случае дискретного строения деформированного твердого тела его отдельные атомы испытывают локальное потенциальное изотропное давление, определяемое шаровой частью макроскопического тензора напряжений, как это следует из уравнения состояния (42). Поэтому обусловленное механическими напряжениями приращение объемного химического потенциала атома внутри тела (т. е. зависящего от изотропного локального давления) определяется шаровой частью макроскопического тензора напряжений. [c.20]

Анизотропное упрочнение первоначально изотропного материала отличается зависимостью сопротивления деформированию от ориентации тензора скорости деформации по отношению к тензору упрочнения в процессе предшествующего деформирования, и кривая интенсивность напряжений — интенсивность деформаций зависит от пути нагружения. В статических испытаниях анизотропное упрочнение наиболее рельефно проявляется в возникновении следа запаздывания за угловой точкой билинейного пути нагружения. Изменение сопротивления в зависимости от пути импульсного нагружения является основой импульсной обработки материала с целью направленного формирования его характеристик прочности и пластичности. Представление анизотропного упрочнения как результата суммирования изотропного упрочнения и кинематического (связанного с изменением пути предшествующего нагружения) [430] позволяет описать поведение материала при сложном нагружении. [c.12]

Здесь Еж,. . , Yzx — линейные формы компонент тензора напряжений Т, определяемые по (3.2.8) гл. III и выражаемые формулами (3.1.8) гл. III е—тензор, задаваемый этими формами его компонент и, значит, представимый формулой (1.1.4). Вариации компонент тензора бГ под знаком интегралов в (2.5.10) не независимы, а должны удовлетворять зависимостям (2.5.3). Пришли к связанной задаче вариационного исчисления и, следует известному правилу, вводим в объеме V лагранжев вектор X это позволяет, представив теперь (2.5,10) в виде [c.158]

Подставляя, далее, (4.14) и (4.36) в ряд (4.8.30) и суммируя его, получим следующие ненулевые компоненты тензора напряжений [c.162]

В качестве примера рассматриваются три различных случая нагружения тонкостенного трубчатого образца осевой силой (Р-опыты) крутящим моментом (М-опыты) осевой силой, крутящим моментом и внутренним давлением Р, М, q -опыты). В первых двух случаях реализуются одноосные растяжение (сжатие) и кручение, а в третьем случае — обобщённое плоское состояние. Для всех трёх случаев тензор напряжений и его инварианты имеют следующий вид (ось 1 направлена вдоль оси образца) [c.11]

Прямой пьезоэффект в кристалле описывался соотношением (3.92) для электрической индукции D в некотором заранее заданном направлении и механическим напряжением о также в некотором заданном направлении. Если же представить механические напряжения в общем виде как тензор с составляющими Огк, а электрическую индукцию как вектор, то тогда следует обобщить выражение (3.92), записав его так [c.91]

Действительно, при самой общей постановке задачи пластического формоизменения тела, в мысленно выделенной его материальной частице не представляется возможным установить определенной связи между напряжениями и деформациями или между напряжениями и скоростями протекания деформации. Если, как это следует из современного учения о конечной пластической деформации, направления главных осей и вид напряженного состояния выделенной материальной частицы в большинстве реальных случаев деформации совпадают с направлениями главных осей и видом тензора (определенной совокупности векторов) скорости деформации, то интенсивность напряженного состояния частицы зависит не только от интенсивности скорости деформации, но и от интенсивности итоговой (за весь предшествующий процесс) деформации, от степени деформации и от температуры. [c.202]

Из соотношений (12.12) и (12.14) следует, что для решения задачи теории упругости не требуется знания тензора функций напряжений, а достаточно иметь выражения его дивергенции и первого инварианта. Этот вектор и скаляр, однако, не независимы друг от друга, а связаны соотношением, которое получим, вычислив дивергенцию тензоров в правой и левой частях соотношения (12.11). Применив формулы преобразования [c.60]

Для решения поставленной задачи будем использовать метод последовательных итераций [22]. Он заключается в следующем. В качестве начального приближения для ф и используем функции тока, являющиеся решением задачи об обтекании пузырька потоком жидкости при учете инерционных эффектов (см. разд. 2.3). С помощью этих выражений для функций тока можно определить нормальные компоненты тензора напряжений в обеих фа.чах. Тогда можно решить уравнение (2. 7. 9) и тем самым определить начальное значение функции С (т]). Далее для найденной формы пузырька нужно повторить решение уравнения Навье—Стокса при помощи метода сращиваемых асимптотических разложений (см. разд. 2.3) и т. д. Рассмотрим решение уравнения (2. 7. 9) в соответствии с [22], считая, что неоднородная его часть явля- [c.66]

При отсутствии фазовых переходов (li = Ег = О) п поверхностного натяжения = О) и еслп при этом одна из фаз — жидкость или газ, то обычпо можно принять, что на межфазной новорхности Sia непрерывны не только нормальные, по и касательные составляющие скоростей фаз, что соответствует условию прилипания пли отсутствию проскальзывания. Тогда из (1.2.9а) следует, что на поверхности раздела фаз Sit непрерывны массовые скорости, нормальные составляющие тензора напряжений и ворстора потока тепла [c.45]

Чтобы сохранить в модели некоторые свойства, присущие твердому телу (сопротивляемость деформациям сдвига, упругость, пластичность, существование упругих предвестников ударных волн и волн разгрузкн, связанных с наличием более высокой скорости распространения возмущений, чем это следует из чисто гидродинамической модели), вводится девиатор напряжений т". В случае однофазной среды его принимают изменяющимся линейно с ростом деформаций по закону Гука до некоторого предела, после чего он должен удовлетворять условию пластпч-ностп. В главных осях тензора напряжений закон Гука, определяемый модулем сдвиговой упругости G, можно записать в виде [c.147]

Материал, свойства которого одинаковы для образцов, вырезанных в любом направлении, называется изотропным. Более точно, это определение изотропии относится к весьма малым образцам, вырезанным в окрестности одной и Toii же точки. Изотропный материал может быть неоднородным, т. е. упругие свойства его могут меняться от точки к точке. Очевидно, что потенциал напряжений или упругая энергия изотропного тела не должен меняться при измененпи осей координат, поэтому он должен выражаться через инварианты тензора деформаций. Единственная однородная квадратичная форма, составленная из этих инвариантов, зависит от двух констант и выражается следующим образом [c.239]

Феноменологическое исследование механических свойств композиционных материалов может быть проведено двумя путями. Первый основан на рассмотрении армирующего материала как конструкции и учитывает реальную структуру композиции. В этом случае задача состоит в установлении зависимостей между усредненными напряжениями и деформациями. Второй путь основан на рассмотрении армированных материалов как квазноднородных сред и использовании традиционных для механики твердых деформируемых тел средств и методов их описания. Краткая схема аналитического расчета упругих констант композиционного материала методом разложения тензоров жесткости и податливости в ряд по объемным коэффициентам армирования приведена в монографии [60, 83]. Установлено, что при малом содержании арматуры можно ограничиться решением задачи для отдельного волокна, находящегося в бесконечной по объему матрице. Однако такой подход заведомо приводит к грубым погрешностям при расчете упругих характеристик пространственно армированных материалов, объем которых заполнен арматурой на 40—70 %. К тому же следует учесть, что пространственное расположение волокон в этих материалах приводит к росту трудностей при решении задачи теории упругости по определению напряженно-деформированного состояния в многосвязанной области матрица—волокно. Коэффициент армирования при этом входит в расчетные выражения нелинейно, что приводит к очередным трудностям реализации метода разложения упругих констант материала по концентрациям его компонентов. [c.55]

Эти воздействия частей среды друг на друга определяют поле внутренних сил — поле напряжений в сплошной среде. Его количественные характеристики изменяются не только от точки к точке, как в скалярных полях, но и в данной точке ему нельзя сопоставить определенного направления, как в случае векторных полей. Величина, задающая поле напряжений, должна опре.аелять вектор ti dO в каждой точке поля и для каждой ориентированной площадки N dO в этой точке (или вектор trr по вектору Л ). Это значит, что физическое состояние, названное полем напряжений, определяется величиной, сопоставляющей одному вектору N другой Если принять, что связь между этими векторами линейна (этот вопрос рассмотрен в следующем п. 1.4), то такой величиной служит тензор второго ранга ). Рис. 1, в данном случае тензор напряжения. Он [c.18]

Саусвелл первоначально дал вывод уравнений неразрывности, основанный на применении общих решений Максвелла и Морера, т. е. фактически использовал тензор функций напряжений ф. По-видимому, появление нового длинного и запутанного доказательства объясняется тем, что этот вывод его не удовлетворил по следующей причине. [c.61]

Различные предположения или представления о поведении материала при разгрузке приводят к следующей классификации моделей сред по этому признаку [74]. Рассмотрим идеализированные кривые напряжения — деформации, приведенные на рис. 9.1. Здесь и далее координаты ff, е рассматриваются как обобщенные, под которыми Подразумеваются либо компоненты тензоров напряжений и деформаций, либо их инварианты. На рис. 9.1а поведение материала характеризуется нелинейной зависимостью, однако, при разгрузке все пути деформаций ведут в начало координат, и остаточные деформации после разгрузки отсутствуют. Такой материал и его поведение будем называть упругохрупким. [c.187]

С помощью (1.3.13) и (1.3.15) формулу (1.3.16) можно предсгавигь в виде, в котором х полностью определяется тензором напряжения Т<, и единичной внешней нормалью п. К аналогичному виду с помощью формулы О.Коши (1.3.13) приводится формула (1.3.17). Однако эти виды записи касательного напряжения х здесь не приводятся, так как в следующем пункте будет показано, что для расчета поверхностного касательного нащ)яжения тР достаточно использовать не весь тшзор напряжения Т , а лишь его девиаториую часть. [c.90]

Из рис. 28 следует, что боковые компоненты а i k) тензора Т являются касателыалми напряжениями на координатных площадках ASi, а его диагональные компоненты (i=k) - нормальными напряжашя-ми, действующими на этих площажах. [c.90]

Здесь мартенситное превращение рассматривается как фазовый переход первого рода [172], в результате которого образуется макроскопи- чески однородная, монокристаллическая, однодоменная и неискаженная фаза. При этом состояние системы характеризуется удельным термодинамическим потенциалом <Ра = <р (Т,Р ), являющимся функцией температуры Т, давления Р (в общем случае вместо Р следует использовать тензор напряжений и внутреннего параметра — собственной деформации мартенситного превращения е [172], Если величины Т,Р представляют независимые параметры состояния, то равновесное значение Со = о( параметра мартенситного превращения фиксируется условием равновесия д<р /д р = О, причем для его устойчивости требуется д щ/де ,р > О [17]. Данный подход позволяет представить характерную черту мартенситного превращения — сосуществование фаз. В этом случае неоднородность системы, характеризуемая координатной зависимостью определяется средним по объему кристалла е(,(г)р, которое, очевидно, сводится к объемной доле мартенситной фазы р. В макроскопическом приближении средний термодинамический потенциал неоднородной системы = <Ра(Т, Р, (,(г)) имеет вид [c.182]

Некоторые авторы (например, Ламб [8]) определяют давление иначе, а именно полагают р = — 7з Spur Т. Это определение вполне корректно, но выражение для тензора напряжений Т имеет в этом случае более сложный вид. В нашей статье мы будем называть — /з рчг Т средним давлением и обозначать его через р. Разность между давлением и средним давлением для несжимаемой жидкости нетрудно найти из формулы (59.11) в следующем виде [c.201]

Напряжение а= 1/3(ац + 022 +Озз) называется средним гидростатическим по следующей причине. Мысленно выделим в среде частицу, которая имеет форму правильного октаэдра, главные оси которого совпадают с главными осями тензора 5. В первом октанте его грань имеет нормаль п, равионаклонную к главным [c.102]

Применив уравнение (1.72) к одноосному напряженному состоянию, что дало уравнение (1.73), мы неявно предположили, что в эффект адиабатического нагревания или охлаждения существенный вклад вносит только изотропная часть а = ах/3 тензора одноосного напряжения или, другими словами, что на тепловой эффект пренебрежимо мало влияет девиаторная часть напряженного состояния, которая в рассматриваемом случае представляет собой сумму двух чистых сдвигов, а именно 01 = —(У2 = аж/3, аз = 0 и (Т1 = —аз = ах/3, а2=0. Мы уверены, что в этом утверждении следуем Томсону, хотя автор мог проверить это только косвенно, так как не смог найти в подробных исследованиях Томсона по термоупругости примера, в котором бы явно определялись тепловые эффекты напряженного состояния, характеризующие чистый сдвиг (чисто девиа-торные напряжения, не связанные с изменением объема). Этот выдающийся физик утверждает только, что его общее уравнение для теплового эффекта [см. уравнение (1.81) ниже] справедливо для любого вида напряженного состояния. [c.60]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...