Тензор определение

Три относительных тензора, определенных таким образом, нейтральны, если нейтрален J, как в этом можно убедиться при [c.106]

Уравнения для всех кинематических тензоров, определенных в предыдущих разделах, легко получаются из уравнения (3-5.17), приведенного выше. Для удобства все они сведены в табл. 3-1. [c.120]

Рассмотрим некоторые обобщения понятий, введенных в 204. Скалярные и векторные поля представляют собой частные случаи тензорных полей. Тензорным полем называется часть пространства, каждой точке которого можно поставить в соответствие определенное значение компонент тензора. Тензор, определенный этими компонентами, является функцией точки поля или ее радиуса-вектора. [c.385]

Начнем с рассмотрения частных случаев, а далее обобщим их, пользуясь инвариантными свойствами тензоров определенного ранга. [c.385]

В него входят тензоры, определенные в векторных базисах У-объема, G — единичный тензор в этих базисах (не смешивать с G 4). [c.637]

Для каждого фиксированного момента времени t пространственный и материальный текущий базисы определены для разных (пространственной и материальной), но мгновенно совпадающих точек. При отождествлении материальных точек с соответствующими пространственными точками текущей конфигурации материальные и пространственные координаты соответствуют двум равноправным системам координат. Компоненты тензоров при переходе от пространственного базиса к материальному текущему базису пересчитываются по обычным законам тензорного преобразования. В общем случае материальный отсчетный базис определен в другой (отсчетной) конфигурации, поэтому преобразования компонент тензоров, определенных в материальном от-счетном базисе, к компонентам, определенным в двух других базисах, происходят по другим (не имеющим тензорного характера) правилам. Исключениями являются случаи [c.22]

Аналогичные представления справедливы для тензоров второго и высшего рангов. Векторы и тензоры, определенные компонентами в материальном отсчетном базисе (функции X), называем векторами и тензорами, определенными в переменных Лагранжа. Аналогично векторы и тензоры, определенные компонентами в пространственном базисе (функции х), называем векторами и тензорами, определенными в переменных Эйлера. Любой вектор или тензор, определенный в переменных Лагранжа, можно переопределить в переменных Эйлера и наоборот, в силу закона (1.7). Для тензоров второго ранга можно также использовать двойные [c.23]

Для обозначения оператора Гамильтона, действующего в актуальной конфигурации тела, можно использовать как знак V [9], так и V [36] в соответствии со второй формулой (1.12). В [38] используются оба обозначения, но это представляется нелогичным, так как V и V являются одним и тем же символическим вектором. В настоящей книге используется обозначение V в связи с тем, что оператор Гамильтона в актуальной конфигурации в основном используется для тензоров, определенных в переменных Эйлера. [c.24]

В [43] показано, что материальная производная тензора является тензором того же ранга. Наиболее просто получаются выражения для компонент материальных производных тензоров, определенных в материальном отсчетном базисе (в переменных Лагранжа). Так как базисные векторы (ё ) неизменны во времени, для произвольного тензора второго ранга h [c.28]

Сложнее обстоит дело с векторами и тензорами, определенными компонентами в пространственном или материальном текущем базисе. Для произвольного тензора второго ранга h, определенного разложениями по пространственному базису (в переменных Эйлера), получаем [43] [c.28]

В соответствии с [65, 105] выберем декартову систему координат (ж1,ж2,жз) таким образом, чтобы плоскость Х Х2 была параллельна плоскости деформирования (в случае плоской деформации) или совпадала со средней плоскостью пластины (для обобщенного плоского напряженного состояния), а оси х и Х2 совпадали с главными осями начальной деформации. Пусть ei i = 1,2,3) — единичные векторы, направленные вдоль соответствующих осей. Обозначим через S тензор, определенный следующим образом для сжимаемого материала S = Li[u], а для несжимаемого S = Ь2[и р] (этот тензор соответствует тензору напряжений линейной упругости). Тогда в случае плоской деформации или плоского напряженного состояния векторы и, f, Q, N и тензор S могут быть представлены в координатной форме следующим образом [c.67]

Следовательно, W = W 1 . Согласно (6.7) тензор определен с точностью до pg4, а следовательно, и тензор — с точностью до функции [c.49]

Тензор определен формулой (4.33). [c.210]

Действительно, при самой общей постановке задачи пластического формоизменения тела, в мысленно выделенной его материальной частице не представляется возможным установить определенной связи между напряжениями и деформациями или между напряжениями и скоростями протекания деформации. Если, как это следует из современного учения о конечной пластической деформации, направления главных осей и вид напряженного состояния выделенной материальной частицы в большинстве реальных случаев деформации совпадают с направлениями главных осей и видом тензора (определенной совокупности векторов) скорости деформации, то интенсивность напряженного состояния частицы зависит не только от интенсивности скорости деформации, но и от интенсивности итоговой (за весь предшествующий процесс) деформации, от степени деформации и от температуры. [c.202]

Показать, что главные оси тензора, определенные в задаче [c.56]

Таким образом, объекты = дА> /дд ") и = (дА /дд ) не являются тензорами. Для того чтобы правильно определить операцию ковариантного дифференцирования, воспользуемся принципом эквивалентности тензор, определенный в геодезических координатах, является тензором в любых других координатах. Обозначим ковариантную [c.131]

Таким образом, в соответствии с формулами (7.97)—(7.102) тензор определенный в (6.19 , имеет следующие компоненты [c.160]

Легко установить, что тензоры, определенные выражениями [c.381]

Отметим, что все материальные тензоры, определенные соотношениями (7.9.30), вычисляются в сегнетоэлектрическом состоянии в отсчетной конфигурации Жи в которой были заданы начальные поля (7.9.10), а не в отсчетной конфигурации Ж Согласно (7.9.8), все они зависят от начального состояния электрической поляризации оР- Чтобы явно охарактеризовать влияние этого начального состояния, нужно конкретизировать тип симметрии материала (см. ниже п. О). [c.486]

Существенной особенностью векторов и тензоров определенных в точках элементов d па граничной поверхности 2з -Ь будет их зависимость не только от ориентации этих элементов, как это имеет место для обычных напряжений, но и от кривизны этих элементов и от других более топких дифференциальных геометрических свойств рассматриваемых элементов ). [c.482]

I. Теорема Остроградского-Гаусса. Если Т- тензор,определенный в трехмерной области V с границей 5, то при выполнении ряда требований по отношению к тензорному полю и поверхности (регулярность поверхности, непрерывность первых производных Т в открытой области V, непрерывность самого тензора в замкнутой области 1/и 5 ) имеет место следующее равенство, называемое теоремой Остроградского-Гаусса [c.56]

Первое из них есть обычное гидродинамическое уравнение непрерывности, выражающее собой сохранение массы газа. Второе уравнение выражает сохранение импульса тензор определен как [c.29]

В уравнении (1-1.3) второй член левой части представляет собой все силы, действующие на поверхности, ограничивающие систему, в то время как третий член — силы, например силу гравитации, которые действуют на каждый элемент системы. Среди переменных, фигурирующих в уравнении (1-1.3), вновь встречаются плотность и скорость, но появляются также и две новые переменные давление, которое действует через граничные поверхности и, следовательно, фигурирует во втором члене, и напряжение. Действительно, для того чтобы вычислить второй член в уравнении (1-1.3), необходимо иметь возможность вычислить силы, действующие на любую произвольную поверхность в материале при условии, что система, к которой применяют уравнение (1-1.3), может быть выбрана произвольно. Сила, действующая на любую заданную поверхность, не сводится просто к давлению, поскольку она не обязательно ортогональна к этой поверхности и ее величина не обязательно независима по отношению к ориентации этой поверхности в пространстве. Напряжение является тензором (точное определение будет введено в разд. 1-3), который связывает вектор силы с поверхностным вектором. Поверхность является вектором в том смысле, что для ее определения требуется задать не только ее величину, но и ориентацию в пространстве. [c.13]

Если тензор ортогональный, то из его определения и уравнения (1-3.11) следует [c.23]

Мы должны теперь устранить ту неопределенность, которая осталась в определении тензора напряжений. Определяя тензор [c.24]

Мы завершаем определение тем, что при произвольном выборе одной из частей тела выбираем внешнее направление нормали к ее поверхности, а в качестве соответствующей силы выбираем ту, с которой другая часть воздействует на выбранную нами (рис. 1-2). Если принять такое соглашение, то сразу становится очевидным, что нормальные компоненты тензора напряжений (например, Гц) положительны, если вдоль выбранного направления осуществляется растяжение, и отрицательны, если осуществляется сжатие. [c.24]

Уравнения (1-3.23)—(1-3.30) можно легко вывести и на основа уже установленных свойств тензоров и векторов и определения компонент. Приведем здесь один пример, показывающий, как одно из уравнений (1-3.30) можно получить из (1-3.1). [c.25]

Третий инвариант 1Пл, или детерминант тензора, является еще одним примером изотропной скалярной функции. Он может быть определен следующим образом. Пусть заданы три некомпланарных вектора рассмотрим объем параллелепипеда, построенного на этих трех векторах. Затем рассмотрим три вектора, полученных из трех заданных путем воздействия на последние тензора А, и вновь вычислим объем параллелепипеда, построенного на трех преобразованных векторах. Отношение этого объема к объему первоначального параллелепипеда и дает величину детерминанта тензора А. Считается, что знак детерминанта положительный, если упорядоченность поворотов трех векторов сохраняется после воздействия тензора, и отрицательный — в противном случае ). Можно показать, что определенная таким образом величина детерминанта не зависит от выбора тройки векторов и определяется только тензором А. [c.28]

Три определенных выше инварианта, называемых в совокупности главными инвариантами, чрезвычайно важны из-за следующей теоремы представления симметричных тензоров. [c.29]

Физические и геометрические величины, характеризующие состояние сплошной среды, не зависят от выбора системы координат, т. е. представляют собой инвариантные объекты. Однако эти величины удобно изучать в некоторой системе координат. При этом инвариантный объект определяется совокупностью величин, называемых его компонентами, которые зависят от системы координат. Например, из курса сопротивления материалов известно, что напряженное состояние в точке тела определяется девятью компонентами — напряжениями на трех координатных площадках. Такие многокомпонентные инвариантные объекты и называют тензорами, определения которых ддны ниже. [c.390]

Разность (12.24) сама по себе — телесный тензор, так как содержит тензоры, определенные в одной и той же точке рассматриваемого многообразия. Заметим, что величины (12.24) не являются компонентами какого-либо пространственного тензорного поля. Действительно, тензоры Y,j(g, i) и ViHi- 2) относятся к одной частице, которая в общем случае занимает разные пространственные положения в этих двух состояниях. [c.396]

Простые выражения компонент конвективных производных Олдройда, Коттера — Ривлина и Яуманна имеют тензоры, определенные в переменных Эйлера. Пусть система отсчета — декартова система координат. Тогда с учетом (1.29) выпишем компоненты производных ЬР и [c.32]

Получим компоненты матрицы q с помощью компонент тензора определенного в (2.31). Дифференцируя соотношения (6.31), находим элементы матрицы дС (f) ji = g ij) [c.202]

Система координат, для которой квадрат бесконечно малого элемента длины всюду имеет вид (1.83), называется системой однородных координат. Преобразования, переводящие одну систему однородных координат в другую, являются ортогональными, и если ограничиться только ортогональными преобразованиями, то тензоры, определенные таким образом, называются декартовьши тензорами. В частности, это верно для законов преобразования ортогональных декартовых систем координат с общим началом. Для декартовых тензоров нет различия между контравариантными и ковариантньши компонентами, и поэтому в выражениях, представляющих декартовы тензоры, принято пользоваться исключительно нижними индексами. Как будет показано далее, в законах преобразования, определяющих декартовы тензоры, частные производные в общих тензорных определениях (1.80) и (1.81) заменяются константами. [c.26]

Термин тензор , определенный указанным образом, был предложен фпзиком В. Фойгтом (Гёттинген) в его работе по физике кристаллов. С тех пор. этот термин находил разнообразные применения в многочисленных частных вопросах. [c.184]

Задание. этой формы тензор определен при переставимости пар 1к), (пт) [c.447]

В 6.4—6.6 мы имели дело с адиабатическим процессом в упругой среде, т. е. исследовали динамику чисто механической системы. Такая система описывается тензором энергии со свойствами (6.67), (6.68). Теперь рассмотрим более общую систему, связанную с непрерывно распределенной реальной материей, внутри которой может иметь место теплопроводность. Движение материи описывается полем скоростей и (х, t) или соответствующей 4-скоростью U( (х). Тензор энергии Тц, этой обобщенной системы все еще симметричен, но для чисто механической системы уже не удовлетворяет условию (6.68). Из Tjj , Ui и тензора определенного в (6.73), мoлiHo снова образовать скаляр h°(x) и тензор Sik по формулам (6.72) и (6.75) соответственно. В этом случае эти величины также будут удовлетворять соотношениям (6.70) и (6.78). Кроме того, можно образовать ненулевой вектор [c.162]

Вместо того, чтобы придавать четырем компонентам метрического тензора определенные значения, можно потребовать, чтобы компоненты метрического тензора удовлетворяли четырем дифференциальным условиям. Важным примером таких координатных условий являются соотношения де Дондера [c.250]

Хдаергенция тензора. Определение (с "пробным" вектором л,) Контравариантные компоненты [c.27]

Цзгсть - ковариантные и контравариантные компоненты дискриминантного тензора, определенного фор- [c.53]

В книге отдается иредночтение прямой тензорной записи используемых со-отноглений механики и термодинамики сплошных сред в духе классического сочинения [ ] п рациональной механики [ ]. Прямая тензорная запись, будучи чрезвычайно ясной и экономной в плане получения п осмысления нового знания, часто скрывает природу тензора, которая скрыта за одним единственным символом. Особенно это касается тензоров, определение которых заимствует элементы как отсчетного, так и пространственного оппсанпй. Классическая теория ноля, изложенная в, естественно, но крайней мере в формульном плане, представляется именно в индексной записи п прямая запись здесь будет лишь скрывать естественные и канонические представления тензоров и тензорных уравнений поля. [c.519]

Рис. 1-2. К определению тензора напряжений. ds, — вектор, паправленпый во внешность области 2 dt — сила воздействия области 1 на область 2.

Первые два соотношзс1ия выражают тот факт, что след является линейной функцией. Третье дает точную величину следа, когда тензор представляет собой диаду. Можно показать, что приведенное определение однозначно устанавливает функцию для всех значений аргугиента, т. е. для всех тензоров. [c.27]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...