Пиолы—Кирхгофа тензор напряжений второй

Перемещений метод 46, 290, 297 Пиолы— Кирхгофа тензор напряжений второй 84, 382, 474 ----первый 474 [c.534]

Перепишем граничное условие (5.275) через компоненты второго тензора напряжений Пиолы — Кирхгофа. В силу (1.79) и определения (1.81), имеем [c.277]

В настоящее время достаточно хорошо установлено [1,2], что обращение (2.90) не является однозначным. Однако если определить так называемый второй тензор напряжений Пиолы — Кирхгофа [c.155]

С другой стороны, второй тензор напряжений Пиолы — Кирхгофа ), обозначаемый через a , определяется с помощью разложения по векторам решетки Е , х = 1, 2, 3, так что [c.474]

Утверждение. Определяющие соотношения для любых материалов (упругих и неупругих), справедливые при геометрически линейном деформировании тела, обобщаются на случай геометрически нелинейного деформирования при условии малости деформаций прямой заменой тензора напряжений Коши а, тензора деформаций Коши е и их скоростей , к соответственно вторым тензором напряжений Пиола — Кирхгофа S, тензором деформаций Грина — Лагранжа Е и их материальными производными S, Е. При такой деформации тензоры S и Е имеют простую механическую интерпретацию компоненты этил тензоров приближенно равны компонентам тензоров и ё, полученных из тензоров а и е операцией поворота, осуществляемой ортогональным тензором R. Такие же приближенные равенства справедливы для материальных производных компонент-зтих тензоров, т. е. S w сг, Е 6, S сг, Ё 6. [c.78]

В предположении непрерывной дифференцируемости компонент второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа S эквивалентность уравнения (3.3) и уравнений движения и статических (естественных) граничных условий (1.119) и (1.120) следует из произвольности йи. Кинематические граничные условия (на Su) в (1.119) или (1.120) являются жесткими. [c.111]

Пусть известна некоторая последовательность равновесных конфигураций, соответствующая монотонно возрастающему значению параметра А и характеризуемая полем вектора перемещений и(А) и полем второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа S(A). Эта последовательность конфигураций может быть получена, например, решением задачи (4.12), (4.2), (4.7) с использованием теории пластического течения с изотропным упрочнением материала с гладкой поверхностью текучести. Кроме того, для некоторых задач с однородным докритическим состоянием (основное решение) можно пренебречь изменением геометрии тела в основном решении (и(А) = 0), а компоненты тензора напряжений S(A) получать непосредственно из условий равновесия тела через известные внешние силы. Кроме того, в условиях пропорционального нагружения окрестностей материальных точек тела получаются совпадающие решения задач по теории пластического течения и по деформационной теории пластичности, приводящие к некоторой известной последовательности равновесных конфигураций. Обозначим через X[ и Af касательно-модульные нагрузки, полученные по теории пластического течения и деформационной теории пластичности соответственно. Тогда справедлива следующая теорема [32]. [c.147]

Для упрощения доказательства в каждой точке области вместо базисных векторов декартовой системы отсчета используем тройку ортонормальных базисных векторов, направленных вдоль главных осей второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа S. Далее предполагаем, что компоненты всех тензоров определяются в этом базисе, так что S12 = >513 = S23 — 0. Подставляя (4.35), (4.36) в (4.34), получаем [c.148]

Примем правило расположения левых индексов, следуя [49] нижний индекс обозначает отсчетную конфигурацию для некоторой величины, а верхний индекс — тот момент времени, в который она рассматривается . Например, суть компоненты второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа в момент [c.156]

Так как при использовании потенциала (6.22) вместо несжимаемого рассматривается сжимаемый материал, то компоненты второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа определяются по формулам (2.14) с помощью потенциальной функции (6.22). [c.200]

Компоненты второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа получим в соответствии с (2.14). В обозначениях настоящей части эти формулы записываются в виде [c.201]

Второй тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа S определяется следующим образом [c.15]

При отсутствии наложения деформаций тензор S = So,i представляет собой второй тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа [c.34]

Для записи уравнений (3.13) можно также использовать второй тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа из соотношений (2.81). Тогда уравнения (3.13) следует записать в виде [c.68]

Если в качестве материальной меры напряженного состояния использовать второй тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа, то, с учетом соотношений (2.81), получим [c.70]

Рассмотрим первый подход. Предположим, что состояние рассматриваемой сплошной среды в окрестности любой материальной точки определяется четырьмя термодинамиче скими функциями — активными переменными массовыми плотностями свободной энергии А и энтропии Н, вторым тензором напряжений Пиолы-Кирхгофа с компонентами и вектором плотности теплового потока с компонентами qoi, г,] = 1,2,3. Аргументами этих функций будем считать следующие реактивные переменные тензор конечной деформации Грина с компонентами Ькь абсолютную температуру Т, материальный градиент температуры, компоненты которого [c.78]

Тензор Т носит название первого тензора напряжений Пиолы — Кирхгофа. Мы также введём второй тензор напряжений Пиолы—Кирхгофа S = который является симметриче- [c.91]

Оба тензора напряжений Пиолы—Кирхгофа Т(х) и 2 (л ) зависят от деформации ф. Эта зависимость изучается в гл. 3. Она обусловлена, во-первых, структурой преобразования Пиолы и, во-вторых, зависимостью от ф тензора напряжений Коши. [c.107]

Эту теорему можно также сформулировать в терминах Второго тензора напряжений Пиолы—Кирхгофа [c.110]

Теорема 2.6-2. Второй тензор напряжений Пиолы—Кирхгофа [c.110]

Поскольку эти соотношения можно принять в качестве эквивалентных определений упругих материалов, им также даётся название определяющих уравнений, причём отображения Г и 3 называются функциями реакции соответственно для первого и второго тензоров напряжений Пиолы—Кирхгофа. [c.124]

Записывая соотношение (ж, QF) = QT х, F)Q в условии (а) через функции реакции Г и S для первого и второго тензоров напряжений Пиолы—Кирхгофа соответственно, получим, что аксиома независимости материала от системы отсчёта эквивалентна любому из соотношений [c.136]

Условие (Ь), т. е. равенство Т х, Р) =Rf x, 11)известное как теорема Рихтера, означает, что функция реакции в точке x Q полностью определяется своим сужением на множество всех симметрических положительно-определённых матриц иными словами, вклад поворота R не зависит от конкретной функции реакции . На основании эквивалентности аксиомы условию (с) аналогичное утверждение можно сделать относительно второго тензора напряжений Пиолы—Кирхгофа. В этом случае определяющее уравнение предстаёт как функциональная зависимость между мерой деформации , т. е. тензором деформации С = и мерой напряжения , т. е. тензором напряже-, ний 2. По этой причине определяющие уравнения часто называют в литературе законами соответствия между напряжениями и деформациями (или просто законами напряжение—деформа- ция). [c.136]

Если материал изотропен в точке х, то мы будем также говорить, что любая из соответствующих ему функций реакции изотропна в точке х. Свойство изотропности в точке х, выраженное посредством функций реакции Г и S для первого и второго тензоров напряжений Пиолы—Кирхгофа, эквивалентно каждому из следующих соотношений [c.138]

Тензор т называется тензором напряжений Кирхгофа, г — тензором напряжений Кирхгофа с исключенным поворотом тензором напряжений Нолла), — вторым тензором напряжений Пиола — Кирхгофа, — тензором напряжений Грина — Ривлина. Тензор назовем повернутым вторым тензором на- [c.46]

Величины введенные соотношениями (3.23), называются компоиеи-тами тензора напряжений Кирхгофа, но в дальнейшем эти величины будут называться просто напряжениями.Относительно первого и второго тензоров Пиолы—Кирхгофа см. приложение Е, где также введен и тензор Эйлера (или Коши). [c.84]

Во-пгрвых, введем вторые тензоры напряжений Пиолы — Кирхгофа (далее для краткости называемые тензорами напряжений Кирхгофа), образованные величинами [c.382]

В 3.2 был определен второй тензор напряжений Пиолы— Кирхгофа, образованный величинами о , X, ц = 1, 2, 3, в точке Р деформированного тела. Здесь мы сделаем несколько замечаний о других видах тензоров напряжений, которые возникают в теории конечных перемещений, основанной на лагранжевом или эйлеровом подходах. [c.472]

T. e. контравариантные компоненты повернутого второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа и ковариантные компоненты повернутого тензора напряжений Грина — Ривлина в повернутом материальном отсчетном базисе численно равны соответственно контравариантным и ковариантным компонентам тензора напряжений Кирхгофа т в материальном текущем базисе. [c.51]

В настоящей и последующих главах упрощаем некоторые обозначения. Для второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа вместо вводим обозначение S, а для тензоров деформаций Грина — Лагранжа и Альманси вместо обозначений и используем Е и е соответственно. [c.68]

Путем наложения некоторых связей в уравнениях обобщенного вариационного принципа можно получить сформулированные относительно скоростей уравнения вариационного принципа Хилла для упругих и упругопластических тел при произвольной величине деформаций [47, 73, 78, 79, 81]. Рассмотрим уравнения (3.6). Предположим, что варьируемые поля скоростей перемещений й принимают заданные значения на границе qSu, т.е. выполнены кинематические граничные условия в (3.6). В этом случае исчезает последний член в правой части (3.8). Далее предполагаем, что материальная производная тензора градиента деформации не является произвольной варьируемой величиной, а выражается через материальную производную тензора градиента перемещения с помощью четвертого равенства (3.6). Тогда исчезает второй член в правой части (3.8). Предположим также, что материальная производная первого тензора напряжений Пиола — Кирхгофа не является независимой варьируемой величиной, а выражается через материальную производную тензора градиента деформации с помощью последней формулы (3.6), т.е. определяющие соотношения предполагаются заданными. В этом случае вариационное уравнение (3.7) преобразуется в следующее [c.117]

Компоненты тензора (истинных) напряжений Коши S j можно выразить через компоненты второго тензора напряжений Пиола —- Кирхгофа gSij с помощью компонент тензора градиента деформации по формулам (1.82) с учетом (1.19). Имеем [49] [c.194]

Таким образом, t ij — линейная часть приращений компонент тензора деформаций Грина — Лагранжа tEij, отнесенного к текущей конфигурации, является инкрементальным аналогом производной Коттера — Ривлина от тензора деформаций Альман-си или инкрементальным аналогом тензора скоростей деформаций. Кроме того, приращения компонент второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа, отнесенные к текущей конфигурации, являются инкрементальными аналогами компонент производной Трусделла от тензора напряжений Коши. [c.196]

Здесь Уо и 5о — объем и поверхность части оболочки, соответствующей конкретному элементу в исходном, иедеформироваином состоянии — компоненты второго тензора напряжений Пиолы—Кирхгофа ei — компоненты тен- [c.285]

Как и в случае жесткогибкой оболочки, в качестве теоретического материала рассматриваем стандартный материал второго порядка, для которого компоненты тензора напряжений Пиолы-Кирхгофа могут быть вычислены по формулам (2.7.9). Раскрывая последние с использованием соотношений (З.б), получаем [c.285]

При записи уравнений (3.34) использованы соотношения (2.66), (2.79) и (2.80). Если в качестве реактгтной переменной использовать второй тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа, то в силу соотношений (2.83) закон сохранения энергии в локальной формулировке будет иметь вид [c.73]

Тем не менее полезно ввести в отсчётной конфигурации некоторый симметрический тензор напряжений, главным образом потому, что это позволяет, как мы увидим в следующей главе, привести определяющее уравнение в отсчётной конфигурации к более простому виду (см., в особенности, теорему 3.6-2). А именно, определим второй тензор напряжений Пиолы—Кирхгофа 2 (л ), полагая [c.106]

Тем не менее, хотя определяющее уравнение в отсчётной конфигурации удобнее записать при помощи второго, а не первого тензора напряжений Пиолы—Кирхгофа, именно первый тензор напряжений Пиолы—Кирхгофа естественным образом возникает в уравнениях равновесия в отсчётной конфигурации (см. гл. 2), а также в определяющем уравнении гиперупругого материала ( 4.1). [c.148]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...