Оси главные тензора напряжени

Окружность шарнирная 247 Оси главные тензора напряжения 10 [c.322]

Для упрощения доказательства в каждой точке области вместо базисных векторов декартовой системы отсчета используем тройку ортонормальных базисных векторов, направленных вдоль главных осей второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа S. Далее предполагаем, что компоненты всех тензоров определяются в этом базисе, так что S12 = >513 = S23 — 0. Подставляя (4.35), (4.36) в (4.34), получаем [c.148]

Как ориентированы касательные к а- и р-линиям семейства линий скольжения относительно главных осей координат тензора напряжений [c.219]

Если за оси координат принять главные оси, то тензор напряжений примет вид [c.19]

В системе главных осей матрица тензора напряжений имеет вид [c.243]

Б данной точке тела всегда можно выбрать такие три ортогональных направления 1, 2, 3, вдоль которых касательные напряжения равны нулю. Эти направления называются главными, тензор напряжений в главных осях имеет вид [c.10]

Главные оси симметричного тензора напряжений [c.157]

Таким образом, векторы базиса совпадают с так называемыми главными осями тензора напряжений. [c.289]

Очевидно, что, поскольку, вообще говоря, Ш (s) Ф О, главные оси тензора напряжений будут различаться в различные моменты времени t (т. е. базис не зависит от s, но зависит от t). Главные оси тензора напряжений будут неподвижными только при рассмотрении вращающейся системы отсчета. [c.289]

Если известны компоненты тензора напряжений для любых координатных осей, то главные напряжения р , р ,, ря определяются как корпи уравнения собственных значений тензора напряжений [c.552]

Можно получить также формулы, по которым вычисляются компо-тенты тензора напряжений для любых прямоугольных осей координат, если известны их направления относительно главных осей и известны главные напряжения p , р , Ря- Приведем их без вывода [c.552]

Выберем в качестве координатных осей главные направления тензора напряжений. Тогда на основании формул (2.10), (2.6) имеем [c.49]

Эллипсоид напряжений Ламе. Пусть координатные оси в данной точке совпадают с главными осями тензора напряжений. Тогда уравнения Коши (2.6) примут вид [c.50]

Круги напряжений Мора. Удобное двумерное графическое представление трехмерного напряженного состояния в точке тела было предложено О. Мором . Возьмем вновь в качестве координатных осей главные оси тензора напряжений в данной точке тела. Рассечем материальную точку тела (рис. 2.8, а) плоскостью, параллельной аз, и рассмотрим равновесие отсеченной части (рис. [c.50]

Рассмотрим площадки, равнонаклоненные к главным осям тензора напряжений. Такие площадки называются октаэдрическими. Они образуют геометрическую фигуру октаэдр. Для первого октанта (рис. 2.10, а), образуемого положительными направлениями главных осей, направляющие косинусы внешней нормали V равны и= У2>. Поэтому на основании формул (2.9), (2.30) получаем [c.54]

Следовательно, направляющий тензор полностью характеризуется заданием четырех чисел, поскольку шесть его компонент связаны двумя соотношениями (2.65), (2.66). Отметим, что главные оси направляющего тензора совпадают с главными осями тензора и девиатора напряжений. [c.56]

Помимо ориентации трех главных осей тензора напряжений направляющий тензор определяет также вид напряженного состояния, т. е., например, параметр Лоде либо угол вида напряженного состояния ф. Действительно, для определения главных направлений направляющего тензора согласно (2.43) имеем систему уравнений [c.56]

Опыты и наблюдения привели к заключению, что в изотропной среде главные оси тензоров напряжений и деформаций совпадают. [c.511]

В главных осях тензора напряжении Р недиагональные компоненты его матрицы — касательные наиряжения — равны нулю, а диагональные — нормальные напряжения — главным напряжениям, которые обозначим через [c.130]

Учитывая закон парности касательных напряжений, известный из курса сопротивления материалов, напряженное состояние точки, определяемое тензором (Т), характеризуется не девятью, а шестью различными значениями скалярных величин. Если за координатные оси принять главные направления, то напряженное состояние можно характеризовать заданием трех главных напряжений, так как по главным площадкам касательные напряжения отсутствуют. Тензор напряжений будет равен [c.7]

Тензор характеризует сразу три напряжения по трем взаимно перпендикулярным площадкам и используется для описания физических явлений и процессов, происходящих в упругой среде. В механике сплошной среды используется трехмерное евклидово пространство с различными системами координат. Примененный для описания напряженного состояния точки тензор напряжений инвариантен относительно преобразования прямоугольных координатных осей. Тензор напряжений симметричный, так как коэффициенты матрицы симметричны относительно главной диагонали и равны между собой. Задать тензор напряжений— значит определить напряженное состояние в данной точке тела. В частных случаях напряженное состояние точки определяет напряженное состояние всего тела (при простом растяжении — сжатии), такое напряженное состояние называется однородным. [c.8]

На первый взгляд кажется, что условие пластичности Треска — Сен-Венана более простое. Действительно, если главные оси заранее известны, то это условие выражается при помощи линейных функций от компонент тензора напряжений, притом самых простых линейных функций. Но при решении задач теории пластичности мы обычно не знаем, какое напряжение окажется больше, какое меньше мы далеко не всегда можем указать заранее и знак напряжения. Поэтому мы не знаем, на какой стороне шестиугольника окажемся, какую из простых формул нужно применить. А если главные оси заранее неизвестны, то теория Треска — Сен-Венана оказывается существенно более сложной. [c.58]

Переходя к формулировке законов теории течения, сделаем одно предварительное замечание, носящее совершенно очевидный характер. Для изотропных тел главные оси тензора напряжений и тензора скоростей деформаций совпадают. Попросту это означает следующее. Если кубик, изображенный на рис. 36, находится под действием нормальных напряжений Oj, 02 и Оз, то, деформируясь, он превратится в прямоугольный параллелепипед. Скорости дефор- [c.59]

Сам тензор напряжений в главных осях имеет вид [c.15]

Если координатные оси совместить с главными направлениями тензора напряжений, то в этой системе координат компоненты анг кфг) обратятся в нулю остаются лишь действующие на этих площадках нормальные напряжения а . [c.45]

Докажем, что в каждой точке изотропного тела главные направления тензора деформаций совпадают с главными направлениями тензора напряжений. Примем главные направления тензора деформаций в некоторой точке тела за оси координат, тогда будем иметь 612=1624 = 631 = 0, в силу формул (4.35) также 012=023=031 = 0, что и требовалось доказать. Поэтому для изотропных тел не различают главные направления тензора деформаций и тензора напряжений те и другие называются главными направлениями. [c.69]

Если координатные оси направить по главным осям тензора (а ), то его нормальные компоненты будут главными напряжениями bj, Oj, а а, а касательные компоненты (i Ф /) равны нулю, т. е. матрица (2.17) компонент тензора напряжений будет диагональной [c.40]

Координатные оси совместим g главными осями тензора (ojy) для некоторой точки М тела. При таком направлении координатных осей касательные компоненты (i Ф /) тензора напряжений будут равны нулю, а нормальные компоненты будут главными напряжениями Ос, = о и [c.42]

Если два главных напряжения равны нулю, то эллипсоид напряжений превращается в отрезок прямой линии, расположенной на одной из главных осей тензора напряжений. Напряженное состояние в этом случае называется одноосным. Необходимым условием существования одноосного напряженного состояния в некоторой точке тела является одновременное равенство нулю второго и третьего инвариантов тензора (о- ,). . . [c.44]

Если координатные оси совместить в главными осями тензора деформации, то при этом Vi2 = 2з= Yai = О- Тогда на основании уравнений (3.47) = СТаз = = О, а это означает, что площадки, проходящие через рассматриваемую точку тела и перпендикулярные принятым координатным осям, являются главными площадками, т. е. координатные оси оказались совмещенными и о главными осями тензора напряжений. Отсюда следует, что в каждой точке изотропного тела главные оси тензора деформации совпадают с главными осями тензора напряжений. [c.61]

Формулы (9.281), если принять ортогональные направления ( ) и (tj) соответственно за первую и вторую главные оси тензора напряжений, т. е. положить (Тц = Оцц = стг, = О, можно привески к такому виду [c.321]

При определении считаем, что напряженное состояние преграды в области внедрения характеризуется тензором напряжений (о) с компонентами ое, о , Учитывая симметрию по координате 9 и тот факт, что координатная линия 9 совпадает с главным направлением, имеем главное напряжение = Ое два других главных направления совпадают с направлением нормали к поверхности тела, которому соответствует главное напряжение и с направлением касательной к образующей поверхности тела, которому соответствует главное напряжение Од. Главные напряжения Ох, сГд связаны с напряжениями Стг, а , (Тгг. причем Од = при / = О на оси Ог [c.162]

Характерно, что главные оси тензора напряжений совпадают с главными осями направляющего тензора напряжений. Можно показать, что направляющий тензор напряжений полностью определяется четырьмя компонентами, например его тремя главными направлениями и одним из главных напряжений или отношением любой пары главных напряжений между собой. Учитывая эти замечания, можно сказать, что тензор напряжений полностью определен, если известны его направляющий тензор напряжений 0 , среднее напряжение а р и октаэдрическое касательное напряжение Токт, или интенсивность касательных напряжений т , или интенсивность напряжений а . [c.19]

Следствием третьего положения теории являются совпадение главных осей и тензоров,напряжений и деформаций, а также пропорциональность главных значений девиа-торов. [c.133]

При механическйх испытапиях главные направления напряжений обычно заранее известны и их можно выбрать в качестве координатных осей. Тогда тензор напряжений упрощается и принимает вид [c.10]

В некоторой частице тела известны компоненты тензора напряжений 011 = 60 МПа, 022 = 20 МПа, 033= 10 МПа, о,2 = 40 МПа, О2з = Оз1 = 0. Определить главные напряжения и орентацию главных осей. [c.62]

В системе главных осей тензора напряжений Р равенства Кошн (12) гл. VII примут вид [c.130]

Через каждую точку тела можно провести три взаимно перпендикулярные плоскости, на которые действуют главные нормальные напря>кения. Следовательно, значения главных напряжений должны быть одними и теми же независимо от выбора исходной системы координат, в которой были определены компоненты тензора напряжений. Это означает, что коэффициенты /j, 1 и /3 кубического уравнения не меняют своего значения при изменении системы координат. Отсюда можно сделать вывод, что указанные коэффициенты являются соответственно первым (/j), вторым (I ) и третьим I3) инвариантами тензора напряжений по отношению к повороту координатных осей. [c.15]

Подставив в (2.36) вместо а поочередно главные значения Oi, О2, О3 тензора ((т ) и решив каждую из трех полученных групп уравнений совместно G равенством (2.37), найдем три группы направляющих косинусов tiij, n j, n j, определяющих направления трех главных осей тензора напряжений. [c.39]

При совмещении координатных осей с главными осями тензора ioij) его касательные компоненты ( ф /) будут равны нулю, а диагональные компоненты, т. е. нормальные напряжения ст/ , будут совпадать с главными значениями tj тензора напряжений [см. (1 .3), с.400], которые называются главными напряжениями. Следовательно, площадки, проходящие через данную точку тела и перпендикулярные главным осям тензора о ), свободны от касательных напряжений, а нормальные напряжения на них есть главные значения тензора напряжений или главные напряжения. Эти площадки называются главными площадками. [c.39]

Таким образом, величины о / — компоненты тензора напряжений являющегося тензором II ранга. Число компонент этого тензора равно 9, однако в соответствии с соотношениями (8.1) только S из них независимы. Это означает, что тензор напряжений — симметричный и, как любой симметричный тензор II ранга, он может быть с помощью преобразования координат приреден к главным осям. Относительно этих осей недиагональные компоненты тензора обратятся в нуль, и он приобретет вид. [c.189]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...