Симметрия тензора деформаций напряжений

Здесь Д — детерминанты коэффициентов жесткости (дг = с) и коэффициентов податливости (х = s), а Д д/ представляют дополнения к коэффициентам жесткости или податливости в соответствующих детерминантах. Чтобы определить последние, запишем, в соответствии с (1.13), упругое напряжение T j с помощью составляющих деформации Ski. Учитывая симметрию тензора деформации, т. е. Sn = S21, S13 = S31, S23 = S32, выражение для упругого напряжения можно представить как [c.18]

В силу симметрии тензоров напряжений ац = ац и деформаций гтп = пт получаем [c.114]

Поменяв теперь местами во втором слагаемом индексы i, j, учтя симметрию тензора напряжений Сц = а . и деформацию е, =-= 1 dui du [c.63]

Поэтому можно говорить о симметричности термодинамического (изобарного) потенциала твердого кристаллического тела в том смысле, что локальное значение химического потенциала в точке определяется абсолютной величиной гидростатической части тензора напряжений независимо от направления механической силы— растягивающей или сжимающей твердое тело (относительно равновесного положения с нулевыми силами). Подобный анализ можно провести для любого главного значения тензора напряжений (рассматривая изменения соответствующих компонент тензора деформаций), чтобы сделать заключение о симметрии термодинамического потенциала Гиббса по знаку компонент тензора напряжений (относительно недеформированного состояния). [c.18]

Здесь цифры, показанные справа и снизу от матриц, обозначают размеры блоков матриц. В соответствии с рис. 15.6 коэффициенты упругости — тензор четвертого ранга. Ранг тензора, компонентами которого являются элементы в блоках квадратной матрицы в (15.51), равняется сумме рангов тензоров, входящих в соответствующие зависимости, где эти элементы суть коэффициенты. Вследствие симметрии тензоров напряжений и деформаций, порядок матрицы С коэффициентов упругости (см. (7.3)) получается не девятый, а шестой. [c.469]

Применительно к механике сплошной среды, которая строится на основе ньютоновской механики, законы сохранения приводят к существенным результатам. Из закона сохранения массы следует уравнение неразрывности, т. е. необходимое условие существования движущейся и деформирующейся среды именно как сплошной. Из закона сохранения импульса следуют дифференциальные уравнения движения сплошной среды, которые являются основой расчета ее движения и деформации. Из закона сохранения момента импульса следует симметрия тензора напряжения, что существенно упрощает динамические уравнения сплошной среды. Закон сохранения энергии лежит в основе экстремальных принципов сплошной среды и энергетических методов расчета напряженно-дефор-мированного состояния. [c.134]

Очевидно, что из свойств симметрии тензоров напряжений и деформаций вытекают следующие условия симметрии коэффициентов ) [c.86]

Скалярная достаточно гладкая функция компонент тензора деформаций Коши W(е) называется удельной потенциальной энергией деформаций (упругим потенциалом). В силу симметрии тензора напряжений Коши сг на (е) накладываются ограничения [c.68]

Из симметрии тензоров напряжений и деформаций в отсутствие объемных моментов следует Сщц = Сищ = Сш), а это сокращает число независимых коэффициентов с 81 до 36. [c.244]

Описанную выше процедуру можно распространить на трехмерный случай, если рассмотреть тройную точку в углу, чтобы представить разрыв усилий. Для граничной задачи с заданными смещениями в угловом узле мы будем иметь три уравнения, содержащие девять неизвестных (в противоположность двум уравнениям с четырьмя неизвестными для обсужденного выше двумерного случая). Из шести требующихся дополнительных соотношений три могут быть получены из условия симметрии тензора напряжений (Oi2 = = 02i, Oi3 = Osi и 023 = Озг), а три остальные следуют из инвариантности следа тензора деформаций и соотношений между деформациями и смещениями на поверхностных элементах, сходящихся в угловом узле. [c.198]

Симметрия тензоров напряжений и деформаций приводит к следующим условиям симметрии тензоров функций ползучести и релаксации [c.15]

В зоне упругих деформаций существует линейная зависимость между тензорами деформаций и напряжением, это закон Гука, который мы использовали в простейшем случае одноосного напряжения. Для кристаллического тела (анизотропного), упругие свойства которого различны по разным направлениям, в самом общем случае должна существовать линейная зависимость каждой компоненты тензора деформаций от всех компонент тензора напряжений. Расчет показывает, что из-за симметрии тензоров число независимых коэффициентов будет равно 21. Двадцать один параметр определяет упругие свойства анизотропного вещества. [c.306]

С другой стороны, благодаря симметрии тензора напряжений и выражению для вариации деформаций (4.2) [c.73]

Симметрия тензора напряжений Коши = Т влечет за собой равенство С Р = Р С, где С = Г — правый тензор деформации Коши-Грина. [c.662]

Если ось вращения совпадает с осью z, то в силу симметрии термоупругой деформации относительно оси 2 все компоненты тензора напряжения не зависят от угла б. [c.153]

Цилиндрические координаты. При осевой симметрии напряженного состояния компоненты вектора перемещения и , тензора деформации е в и и тензора напряжения 0, и обращаются в нуль ( 2.6). [c.154]

Цилиндрические координаты. При осевой симметрии компонент Uq вектора перемещения, компоненты е е и в%г тензора деформации и компоненты а е и oqz тензора напряжения обращаются в нуль ( 2.6). Компоненты и определяются выражениями [c.218]

Первое из этих свойств отражает симметрию тензора напряжений, а второе получается как следствие разделения тензора Сгщ на симметричную и антисимметричную части по индексам /г и /. Наконец, третье свойство следует из (1). Соотношения (4) показывают, что имеется 21 независимых постоянных, описывающих общую анизотропность упругого тела. Следует добавить, что жесткости сг ы относятся к изотермическому состоянию и определяются в естественном состоянии, т. е. Сг ы= сцы)т Разрешая систему уравнений (3) относительно деформаций, получаем [c.214]

Основные результаты моментной теории термоупругости изложены в работах [3, 17Ь—с, 35g—1, 40b, 43а—Ь, 44Ь, 53Ь]. Выведены уравнения движения и сформулирован принцип сохранения энергии, из которого получены определяющие уравнения для среды с центральной симметрией при условии, что внутренняя энергия есть квадратичная функция от температуры и компонентов тензоров деформаций и кручения. С помощью определяющих уравнений уравнения движения записываются для температуры и векторов перемещения и вращения. Векторы перемещения и вращения представлены в форме Стокса для потенциальных и соленоидальных функций выписаны соответствующие уравнения. Решения последних определяют в пространстве волны расширения, вращения и искажения. Здесь также волны расширения затухают и диспергируют, остальные волны не взаимодействуют с температурным полем. Методом ассоциированных матриц решения уравнений движения для перемещений, вращений и температуры представлены с помощью функций напряжений, для которых получены раздельные уравнения. [c.245]

Трубчатые образцы имеют два принципиальных отличия от плоских образцов, которые необходимо учитывать при сопоставлении результатов испытаний. Во-первых, технология изготовления плоских и трубчатых образцов различна. При изготовлении трубчатых образцов труднее обеспечить постоянство толщины изделия, процентного содержания и направления укладки арматуры, а отклонения в этих характеристиках могут существенно повлиять на результаты испытаний. Во-вторых, в анизотропной оболочке оси тензора напряжений и тензора деформаций совпадают лишь в случаях, когда направление действия главных напряжений совпадает с одной из главных осей упругой симметрии материала (см. п. 2.4.1). Число публикаций по испытаниям трубчатых образцов растет [13, 18, 55, 76, 93, 203, 233, 234], однако многие вопросы еще не решены. Поэтому на практике результаты, полученные на плоских и трубчатых образцах, часто расходятся [76, 93]. Результаты испытаний на растяжение трубчатых и плоских образцов из стеклопластиков приведены в табл. 2.5.1. [c.87]

Тензор упругости кристалла есть тензор четвертого ранга. Он связывает тензоры деформации и напряжения. Применяя соображения симметрии к тензору упругости, можно уменьшить число его независимых компонент, равное в общем случае 81. Так, например, в кубических кристаллах лишь три компоненты этого тензора независимы. [c.24]

Приложение теоремы Мелана к случаю качения трехмерных тех значительно более сложно, так как могут быть отличны от нуля все компоненты тензора остаточных напряжений и, кроме того, плоская поверхность не сохраняется плоской после деформации. Если рассмотреть плоскость симметрии у = 0) щара, катящегося по упругопластическому полупространству, то, со- [c.331]

Тензор четвертого ранга имеет 3 = 81 компоненту, но из-за симметрии тензора напряжений (в классическом случае) и симметрии тензоров деформаций и скоростей деформаций независимых компонент будет только 36, так как тензоры А ж В должны быть симметричными по паре индексов I и / и их можно принять стметричными по паре индексов а и р. Если среда, поведение которой описывается законом Гука или Навье — Стокса, обладает какими-либо геометрическими свойствами симметрии, то число независимых компонент ЛУ и еще больше сокращается. В частности, если соответствующая среда изотропна, то все и определяются двумя параметрами. [c.167]

Однако не все компоненты обоих тензоров независимы и отличны от нуля. Так, из уже установленного факта — симметрии тензоров напряжений и деформации — следует, что из 81 (9x9) компоненты тензоров Sikim и ikim независимы только 6x6 = 36. [c.196]

Тогда векторы о и е служат изображением тензоров напряжений и деформаций в шестимерных пространствах напряжений и деформаций соответственно. Впоследствии будет выяснено, почему в качестве е , Сь и выбраны удвоенные компоненты тензора ец. Такое изображение не единственно с одной стороны, можно было бы ввести не шестимерное, а девятимерное пространство, если не обращать внимание на симметрию тензоров и е , обозначать, скажем, О12 и Оц как разные компоненты вектора о и не умножать вц i j) на два. С другой стороны, нужно помнить, что представление тензора в виде вектора имеет лишь ограниченный смысл и пригодно только для определенной фиксированной системы отнесения формулы преобразования компонент вектора и компонент тензора при изменении осей координат различны, поэтому, отнеся тензор напряжений или дефор- [c.236]

Проводя все выкладки в обратном порядке, можно из принципа виртуальной работы получить уравнения равновесия (3.27) и условия в напряжениях (3.42). При выводе предполагается, что удовлетворяются граничные условия (3.43), соотношения между деформациями и перемещениями (3.18) и условия симметрии тензора напряжений (3.25). Отметим, что этот принцип выполняется безотносительно к конкретному виду соотношений напря-жени я —дефор маци и. [c.91]

Тогда векторы а и е служат изображениями этих тензоров в шестимерных пространствах напряжений и деформаций соответственно. Заметим, что такое изображение неединственно. Можно было бы ввести не шестимерное, а девятимерное пространство, если не обращать внимания на симметрию тензоров a j и Sij. Ильюшин ввел пятимерные пространства для девиаторов напряжений и деформаций, так как среди их компонентов только пять независимых (в силу равенства нулю первых инвариантов). [c.31]

Система состоит из ряда таких paвeн tв (в нашем случае из девяти), в каждом из которых значки имеют определенную комбинацию двух из трех возможных значений 1, 2, 3. Величины составляют квадратную таблицу из 81-го значения и представляют собой компоненты так называемого тензора четвертого ранга, преобразующего компоненты тензора напряжений в компоненты тензора деформации. Вследствие симметрии число независимых компонент s kJ)q сокращается с 81 до 21, так как [c.89]

Тогда векторы сг и е служат изображениями тензоров напряжений и деформаций в шестимерных пространствах напряжений и деформаций соответственно. Заметим, что такое изображение не единственно. Можпо было бы ввести пе шестимерпое, а девятимерное пространство, если не обращать внимания на симметрию тензоров (7ij и ij. Ильюшин ввел нятимерные пространства для девиаторов папряжепий и деформаций, так как среди их компонентов только пять независимых. [c.41]

Последнее выражение можно упростить, учитывая симметрию тензора напряжений и тождества = Так как компоненты Vij тензора скорости деформаций симметричны, а компоненты тензора вихря oij антисимметричны, то aij Oij O. [c.122]

Пусть определяющие уравнения имеют вид Оц- = = KiipqDpq. Доказать, что из-за симметрии тензоров напряжений и скоростей деформации тензор четвертого ранга /С,ур, имеет не более 36 независимых компонент. Записать эти компоненты в виде матрицы шестого порядка. [c.195]

Характерпстиками механических свойств сред являются константы и — тензоры четвертого ранга. Если свойства среды в разных направлениях различны, т. е. среда анизотропна, с учетом симметрии тензоров напряжений, деформаций и скоростей деформаций, тензоры и имеют 36 независимых компонент (вместо 81 = 3 для тензора четвертого ранга). При симметрии различных типов число компонент сокращается. Если свойства среды одинаковы по всем направлениям (среда изотропна, или гиро-тропна), то вместо А >°- и появляются только два определяющих параметра. Для линейного упругого тела при малых деформациях ими являются коэффициенты Л яме Я и л, связанные с соотношениями [c.25]

Необходимость введения тензорных величин связана с различного рода анизотропией свойств физических макроскопических объектов. Тензор связывает две векторные величины, которые пропорциональны друг другу по модулю, но в силу анизотропии свойств объекта не совпадают друг с другом по направлению. В случае L и сэ решающую роль играет анизотропия формы тела (отсутствие определенной симметрии относительно осей xyz). В других случаях это может быть анизотропия, например, электрических или магнитных свойств вещества. Так, векторы поляризации вещества Р и напряженности электрического поля Е связаны тензором поляризуемости а Р = egaE (Sg — электрическая постоянная). Это означает, что в силу анизотропии электрических свойств вещество поляризуется не по полю , то есть не по полю смещаются положительные и отрицательные заряды в молекулах вещества. Примерами других, в общем случае тензорных величин являются диэлектрическая проницаемость и магнитная проницаемость вещества. Важную роль в механике играют тензоры деформаций и напряжений. С этими и другими тензорными величинами вы познакомитесь при изучении соответствующих разделов курса общей физики. [c.24]

Перейдем теперь к обсуждению простых примеров, позволяющих яснее представить себе характер связанных акустоэлектро-магнитных волн в пьезокристаллах. Пусть в плоскости ху кристалла, принадлежащего классу бтт, распространяется поперечная (сдвиговая) упругая волна, поляризованная вдоль оси симметрии и = (0. О, и х, у, О). Отличные от нуля компоненты тензора деформаций и тензора напряжений с, равны [c.18]

Обсудим теперь обобщенные рэлеевские поверхностные волны в той Hie геометрии (см. рис. III.1). Согласно результатам 3 гл. I, волны, поляризованные в плоскости ху, не связаны с пьезоэффектом. Пусть вектор смещения u = w (a , у, t), Uyix, у, i), 0 . Отличны от нуля компоненты тензора деформации Uxx, Uyy, Uxy и тензора напряжений с х, Оуу, Ощ. Будем считать, что соответствующая часть упругой энергии содержит (в системе координат, связанной с кристаллографическими осями) три упругих модуля Сц=Саа, и Результаты будут справедливы для перечисленных классов, а также для всех классов кубической и тетрагональной систем, не обладающих пьезоэффектом. Обобщение на случай кристаллов ромбической симметрии, где Не представляет особой сложности. Стандартный метод решения задачи о распространении обобщенных поверхностных волн, который мы использовали для исследования сдвиговых ОПВ, приводит к довольно громоздким вычислениям. Поэтому применим несколько иной способ [1201. Будем использовать в качестве независимых переменных компоненты тензора напряжений а, и выразим через них компоненты тензора деформаций Uik. В системе координат х, у, связанной с кристаллографическими осями, имеем, как обычно, [c.105]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...