Преобразование компонент тензора напряжений

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОМПОНЕНТ ТЕНЗОРА НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ПОВОРОТЕ КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ [c.38]

Преобразование компонент тензоров напряжений и деформаций к новым осям в общем случае осуществляется по известным формулам [311 [c.18]

Величины определяющие напряженное состояние в точке Р, зависят от выбора координат. Сейчас мы получим закон преобразования компонент тензора напряжений. Образуем бесконечно [c.85]

Выражения (3.42) получаем следующим образом а) через Ф, Ч , имеющие вид (3.40), определяем о , Оее, Огн по формулам (2.18) б) подставляем эти выражения в формулы преобразования компонент тензора напряжений при повороте координатных осей [c.93]

Действуя согласно правилам преобразования компонент тензора напряжений и тензора скоростей деформации, можно представить закон пространственного деформирования вязкопластической среды в произвольной системе координат и получить полную систему уравнений для решения задач пространственного течения. [c.625]

Согласно известным формулам преобразования компонент тензора напряжений и компонент тензора скоростей деформации (см. также круги Мора на рис. 189, 190) имеем в данном случае соотношения [c.629]

Преобразование компонент тензора напряжений [c.46]

Формулы преобразования компонент тензора напряжений в точке тела при повороте координатных осей [c.30]

При преобразовании компонент тензора напряжений вследствие поворота системы координат возникают два важных вопроса при каком векторе нормали п вектор напряжений о" в точке будет параллелен п и при каком п нормальные компоненты вектора напряжений будут иметь экстремальные значения Оба вопроса связаны с определением собственных значений тензора напряжений. Математически это сводится к преобразованию главных осей, и решение задачи достигается так называемой диагонализацией тензора напряжений. [c.25]

Соотношения типа (1. ) называются формулами преобразования компонент тензора напряжений при повороте координатных осей. Заметим, что вообще всякая физическая величина, определяемая шестью компонентами, которые удовлетворяют формулам преобразования при повороте осей координат типа (1.2), называется симметричным тензором второго ранга. Примерами таких величин являются деформация тела, инерция твёрдого тела с одной неподвижной точкой и другие ). Как числа и как векторы, тензоры можно складывать, вычитать, умно- [c.19]

Как видно, эти формулы почти буквально, с точностью до знака при У и Уж у, совпадают с формулами для преобразования компонент тензора напряжений (см. 37). Так же как плоское напряженное состояние, совокупность моментов инерции для множества пар осей, проходящих через точку, так называемый тензор инерции, можно представить с помощью круговой диаграммы Мора (рис. 144). [c.215]

Предположим, что сопротивление среды деформированию не зависит от направления деформирования, т. е. среда изотропна. Это означает, что если в теле создать определенное состояние деформации, описываемое тензором деформации е,у, а затем систему координат подвергнуть произвольному преобразованию (для простоты речь идет о декартовых системах) и после этого в теле создать состояние деформации, по отношению к новой системе описываемое теми же компонентами тензора деформации, что и в первом случае, то компоненты тензора напряжений в обоих случаях совпадут. [c.47]

В третьей главе было сказано, что шесть компонентов тензора деформаций ehr не являются произвольными функциями координат точки тела, а должны удовлетворять шести условиям совместности деформаций Сен-Венана. Учитывая это обстоятельство, подставим формулы (5,27) в условия совместности деформаций Сен-Венана тогда после ряда преобразований найдем шесть соотношений, связывающих между собою компоненты тензора напряжений. Следовательно, в итоге будем иметь три дифференциальных уравнения (5.26) и шесть соотношений между компонентами тензора напряжений, к выводу которых и приступим. Будем считать, что тело однородное, т. е. Я и не зависят от координат. Тогда полученная система уравнений будет применима только для изотропных, однородных и линейно-упругих тел. [c.81]

Геометрическая интерпретация критерия разрушения сразу делает ясными приведенные выше основные требования, которые следует предъявлять к математической модели разрушения. В частности, критерий разрушения должен быть инвариантным по отношению к преобразованиям координат, поскольку условие начала разрушения является внутренней характеристикой материала, в то время как значения компонент тензора напряжений зависят от выбора системы отсчета. [c.407]

Критерий максимального напряжения представляет собой вырожденный случай тензорно-полиномиального критерия (56) в напряжениях, и коэффициенты соответствующего выражения подчиняются закону преобразования компонент тензора. (33) [c.430]

По выражениям (4.87), (4.88) компоненты тензора напряжений, преобразованные по Лапласу, равны [c.92]

Согласно (1.65) получили закон преобразования компонент тензора второго ранга. Следовательно (IV.4) — матрица компонент симметричного тензора второго ранга, называемого тензором напряжений Т . Матрица (IV.7) его контравариантных компонент также симметричная, т. е. [c.117]

Термодинамический потенциал Гиббса. Эта термодинамическая функция, обозначаемая через G, в которой за независимые переменные приняты компоненты тензора напряжения Т и температура 0, связана со свободной энергией преобразованием Лежандра [c.120]

Симметрия таких величин, как напряжения в элементе какой угодно соответствует преобразованию ком-тензора при повороте прямоугольной системы координат. Это преобразование сводится для напряжений и деформаций к суммированию произведений, содержащих множителями по два косинуса углов поворота осей координат, поэтому ранг соответствующего тензора — второй. Число компонент тензора напряжений не зависит от симметрии среды, а величина компонент не характеризует свойств среды, так как это полевой тензор. Например, действие гидростатического давления можно описать шаровым тензором напряжений, у которого все компо- [c.8]

Учитывая выражения (3.52), а также формулы преобразования компонент тензоров и векторов при повороте системы координат на угол if), получаем соотношения для составляющих тензора напряжений [c.67]

Решение неоднородной краевой задачи для уравнений Ламе при условиях (5.98) построим с помощью преобразования Ханкеля. Выражения для перемещений и компонент тензора напряжений выпишем в виде G — модуль сдвига материала, Jn x) (п = О, 1) — функции Бесселя) [c.214]

В 3 были установлены дифференциальные уравнения движения жидкости в напряжениях. Чтобы написать эти уравнения через проекции вектора скорости, необходимо воспользоваться соотношениями, представляющими компоненты тензора напряжения через компоненты тензора скоростей деформации. Такое преобразование мы проведём лишь для случая вязкой жидкости, для которой принимается обобщённая гипотеза Ньютона, связывающая компоненты напряжения с компонентами скоростей деформаций линейными соотношениями (11.1) и (11.16) главы I. [c.90]

Подобным же образом по правилу преобразования (1.102) для декартовых тензоров второго ранга компоненты тензора напряжений в двух системах связаны соотношением ) [c.76]

Доказать, что ог а, а / — инвариант тензора напряжений. По правилу преобразования компонент тензора (2.27) [c.98]

Девять составляющих (1.16) или (1.17) определяют тензор напряжений и с этой точки зрения называются компонентами тензора напряжений. Формулы типа (1.12) и (1.13) (общее их число, как мы сказали, равно девяти) определяют преобразование тензора от одной системы координат к другой. Тензор напряжений (1.16) симметричен, так как компоненты, симметричные относительно главной диагонали (Хд., У у, Z , равны между собой на основании (1.6) это свойство сохраняется, очевидно, и при других системах координат ). [c.27]

Сделаем еще одно замечание корни уравнения (1.32) не должны зависеть от системы координат х, у, г значит, коэффициенты этого уравнения тоже не зависят от выбора координатной системы. Отсюда заключаем, что формулы (1.33) дают три функции от компонентов тензора напряжений (1.16), являющиеся инвариантами преобразования координат. Особое значение имеет первый из них—линейный инвариант [c.32]

Компоненты тензора напряжений ац в точке, определенные в декартовых координатах х, Xi, хз, изменяются при повороте системы координат согласно закону преобразования компонент аффинного тензора второго ранга (рис. 1.8). Формулы преобразования координат имеют вид [c.18]

Закон преобразования компонент тензора напряжений при повороте декартовой системы осей дается формулами (1.3.6). Их можно получить также, исходя из зависимости Коши (1.4.5). Совместим N с единичным вектором тогда k s проекции на старые оси квазивектора — напряжения на площадке с нормалью — по (1.4.6) будут [c.28]

Соотношения (6.10) носят название обобщенного закона Гука для анизотропного упругого тела. Коэффициент ii,mn образуют тензор упругих констант. Их всего восемьдесят одна. Действительно, пусть преобразование координат дается формулой x i = lijxj. Тогда в новых осях x i компоненты тензора напряжений а ц найдутся по формуле [c.114]

Таким образом, величины о / — компоненты тензора напряжений являющегося тензором II ранга. Число компонент этого тензора равно 9, однако в соответствии с соотношениями (8.1) только S из них независимы. Это означает, что тензор напряжений — симметричный и, как любой симметричный тензор II ранга, он может быть с помощью преобразования координат приреден к главным осям. Относительно этих осей недиагональные компоненты тензора обратятся в нуль, и он приобретет вид. [c.189]

В вышеприведенных рассуждениях мы применяли векторный язык, ведя разговор о тензорах. Для простоты и краткости в дальнб11шем мы будем часто пользоваться и векторной символикой, обозначая через в напряженное состояние, а через г — распределение скоростей деформаций. Однако нужно помнить, что любые векторные операции для векторов о и е совершенно незаконны, их нельзя, например, преобразовывать к другим осям координат, формулы преобразования компонент тензора и вектора различны. [c.483]

Две оставшиеся компоненсы Е ч з , характеризующие влияние поперечных к плоскости 2 3 касательных напряжений на деформации в ней, зависят от угла поворота осей ф, что потребовало к свойству осевой симметрии материала добавить приставку квази . Между компонентами Е и "П, относящимися к координатным плоскостям 1 2 и 13, должен существовать взаимный переход их значении при угле поворота, меньшем чем л/2. Так как ось 1 является осью симметрии третьего порядка (упругие свойства материала при повороте вокруг нее на 120° сохраняются), угол между компонентами Е и т) равен я/6. Дейст вительно, преобразованием компонент тензора податливости нетрудно убедиться, что [c.193]

Преобразование компонент. Главные напряжения. Главные инварианты. Можно повторить применительно к тензору напряжений сказанное в Приложении I о свойствах симметриЧ ного тензора. [c.27]

Для нахождения сдвиговых коэффициентов aik, g k, Щк, pik, q k, rriik вводится новая система координат х , х, поворотом осей x , Xk на положительный угол ф вокруг оси Xj до совпадения оси х с направлением V, вдоль которого действует напряжение а , и получены константы Fik, Bik, Dik, kuk, h k, tiik. Выразим компоненты тензора напряжений, отнесенные к старой системе координат, через напряжение, совпадающее по направлению с осью л . Если ф = 45°, то согласно правилу преобразования компонентов тензора при переходе от одной системы координат к другой = Okilnlik (здесь действует правило суммирования), где — компоненты тензора напряжений в новой системе координат, 1ц, Ijk — направляющие косинусы, ац — Okk = = = /1 — Оц == а Ik = О я Sv) S// —-- Sv, Sik = [c.120]

Для геометрического представления предельной поверхности анизотропного матери ала следует ввести особое пространство и систему координат в нем, на одних осях которой должны быть отложены компоненты тензора напряжений на других осях — компоненты тензоров анизотропии Пц , Пц,пт и др. В таком обобщенном пространстве предельная поверхность анизотролного материала оставалась бы неизменной при любых преобразованиях координат в физическом пространстве. [c.147]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...