Тензор Примеры

Далее рассматривается изотропная функция одного тензора. Примерами служат [c.458]

Известным примером тензора может служить тензор напряжений, который может быть введен следующим образом. Один из методов обнаружения напряженного состояния в точке тела состоит в том, что делается разрез (разумеется, мысленный) через эту точку и наблюдается, с какой силой каждая из двух частей тела воздействует на другую. (Эта сила однозначно определяется как сила, которая должна быть приложена к поверхности разреза с тем, чтобы сохранить условия, которые существовали перед тем, как [c.20]

Другие примеры тензоров, имеющие важное физическое значение, встретятся в других разделах. [c.21]

Уравнения (1-3.23)—(1-3.30) можно легко вывести и на основа уже установленных свойств тензоров и векторов и определения компонент. Приведем здесь один пример, показывающий, как одно из уравнений (1-3.30) можно получить из (1-3.1). [c.25]

Третий инвариант 1Пл, или детерминант тензора, является еще одним примером изотропной скалярной функции. Он может быть определен следующим образом. Пусть заданы три некомпланарных вектора рассмотрим объем параллелепипеда, построенного на этих трех векторах. Затем рассмотрим три вектора, полученных из трех заданных путем воздействия на последние тензора А, и вновь вычислим объем параллелепипеда, построенного на трех преобразованных векторах. Отношение этого объема к объему первоначального параллелепипеда и дает величину детерминанта тензора А. Считается, что знак детерминанта положительный, если упорядоченность поворотов трех векторов сохраняется после воздействия тензора, и отрицательный — в противном случае ). Можно показать, что определенная таким образом величина детерминанта не зависит от выбора тройки векторов и определяется только тензором А. [c.28]

Примерами нейтральных скаляров служат плотность, температура, внутренняя энергия и т. п. Другими примерами нейтральных скаляров являются скаляры, однозначно определяемые нейтральными векторами и тензорами например, длина , или модуль, нейтрального вектора сама является нейтральной. Действительно, если а есть такой вектор, то [c.40]

Это определение, уже известное для скалярной функции, распространяется, таким образом, на векторные, точечные и тензорные функции. Производная il3, которая является скаляром для скалярных функций, представляет собой вектор для векторных и точечных функций и тензор для тензорных функций. Мы уже встречались с примерами таких производных в гл. 1. [c.78]

Применим теперь введенные понятия к простейшему примеру нейтрального тензора, а именно к единичному тензору (который может рассматриваться как функция времени, хотя и имеющая постоянное значение). Из уравнений (3-3.21) и (3-3.22) можно получить [c.108]

Пример ЗА Кинематические тензоры для линейного течения Куэтта простой сдвиг). [c.122]

В этом примере в силу того, что векторы базиса изменяются вдоль траектории частиц, т. е. они различны при X (т) и Х(, вышеприведенная матрица не совпадает ни с одной из матриц компонент тензора F (см. уравнение (3-1.41)). [c.125]

Конечно, простейший пример функции имеет место в случае, к гда как аргумент (или аргументы), так и значение функции являются скалярными величинами. Тем не менее распространение этого понятия на другие случаи оказывается интуитивно весьма несложным. В частности, мы трактовали тензоры как векторные функции векторных аргументов, обладающие специальным свойством линейности. Кроме того, мы встречались с функциями тензорных аргументов, значения которых могут быть скалярами, векторами или тензорами. [c.134]

Аналогично, физическая интуиция подсказывает, что, если не рассматривать влияние прошлых деформаций, должны иметь особую значимость деформации, происходящие непосредственно в момент наблюдения. Поскольку деформации определяются по отношению к некоторой конфигурации, принимаемой за отсчетную, поясним нашу точку зрения, рассмотрев следующий пример, где за отсчетную выбрана конфигурация, не совпадающая с конфигурацией, принимаемой рассматриваемым жидким элементом в момент наблюдения. Рассмотрим два движения с одинаковыми значениями тензора деформаций (например, тензора Коши) во все моменты времени, за исключением момента наблюдения, где эти значения различны. (Вновь, как и в примере с температурой, по крайней мере одна из двух деформационных предысторий разрывна в момент наблюдения.) Физическая интуиция подсказывает, что при равенстве других переменных текущие значения свободной энергии в этих двух случаях будут различными. [c.158]

В качестве другого примера рассмотрим движение, которое имеет предысторию, описываемую тензором Коши С (т), непрерывным во все моменты времени вместе со всеми своими производными, а также другое движение с предысторией С (т), совпадающей с историей С (т) в интервале < т f и отличающейся [c.212]

Если рассматривать уравнение (6-3.1) как справедливое для любой предыстории, а не только в предельном случае малых деформаций, оно представляет собой пример интегрального уравнения состояния. Физическая предпосылка, лежащая в основе уравнения (6-3.1), ясна предполагается, что все деформации, которые имели место в прошлом и измеряются при помощи тензора Коши, дают линейный вклад в текущее значение напряжения. Весовая функция / (s) представляет собой материальную функцию, которая полностью определяет Частный тип материала, удовлетворяющего такому правилу линейности. Линейное соотношение, выражаемое уравнением (6-3.1), известно также как принцип суперпозиции Больцмана. [c.216]

Возможно, имеет смысл обсудить в общих словах значение размерностей оператора. Если либо аргумент, либо значение оператора, либо и то и другое представляют собой размерные величины, оператор является размерным в том смысле, что единицы измерения, выбранные для аргумента (и/или значения), определяют аналитический вид оператора. Если оператор линеен (хорошим примером тому являются тензоры), можно строго определить его размерность например, размерность его значения поделить на размерность его аргумента. Таким образом, если значение оператора и его аргумент имеют одинаковые размерности, линейный оператор безразмерен. Нелинейные операторы безразмерны только тогда, когда как их аргументы, так и значения безразмерны, ибо только в этом случае их аналитический вид не зависит от выбора единицы измерения. [c.264]

Например, можно вычислить а (Г) для сферически симметричного течения к стоку, выбирая в качестве уравнения состояния простое уравнение Максвелла (6-4.12). Как уже показано, уравнение Максвелла совпадает с интегральным уравнением состояния (6-4.19). Матрица тензора С (s) для этого течения к стоку была вычислена в примере ЗБ (гл. 3). Прямое интегрирование дает следующее выражение [c.291]

Если взамен исходной системы осей х, у, г выбрать какую-то новую систему, компоненты тензора изменятся, т. е. значения а ., Оу. .. будут иными. Однако, сам тензор напряженного состояния остается тем же. Сказанное легко поясняется на примере вектора, показанного па рис. 272. [c.235]

Упражнение 12. Для приведенного выше примера 1.11 проверить наличие равенства 3°, = О (1.130). Учесть тождественное равенство = = выражения элементов тензора в осях системы [c.57]

Пример 2.16. Найти главные моменты и оси инерции для тензора инерции [c.119]

Примеры вычисления тензора инерции [c.64]

Пример 1.14.1. Определить центральный тензор инерции для множества из п точек одинаковой массы т, расположенных на одной прямой так, что каждая точка отстоит от соседних на одинаковое расстояние Д. [c.64]

Пример 1.14.2. Определить центральный тензор инерции для прямолинейного однородного отрезка длины I и массы М. [c.64]

Пример 1.14.3. Определить центральный тензор инерции для массы М, равномерно распределенной по периметру прямоугольника со сторонами а и 6. [c.65]

Пример 1.14.4. Определить центральный тензор инерции для однородного плоского прямоугольника с массой М и сторонами а и 6. [c.66]

Пример 1.14.5. Определить центральный тензор инерции однородного прямоугольного параллелепипеда с массой М и размерами а, [c.67]

Пример 1.14.7. Определить центральный тензор инерции для однородного круга массы М и радиуса Я. [c.68]

Пример 1.14.8. Определить центральный тензор инерции для однородного сплошного эллипса массы М, с границей, заданной в декартовых осях ( i, 2) посредством уравнения [c.69]

Пример 1.14.9. Определить центральный тензор инерции однородной сферы массы М и радиуса П. [c.69]

Пример 1.14.11. Определить центральный тензор инерции однородного сплошного эллипсоида массы М, граница которого задана в декартовых осях (х1,Х2,хз) посредством уравнения [c.71]

Полиадные представления типа (4.1) позволяют проще и с большим пониманием оперировать с тензорами. Примеры у В = V, , [c.14]

Не все векторы и тензоры нейтральны. Мы встретим много примеров тензоров, которые преобразуются по правилам, отличающимся от (1-5.11). Типичным ненейтральным вектором является вектор скорости V. Поскольку эта величина будет использоваться в последующем, мы выведем уравнение преобразования v. [c.39]

Рассмотрим теперь линейное течение Куэтта жидкости Рейнера — Ривлина. Из уравнения (2-3.4) получаются следующие выражения для компонент тензора напряжений (см. пример 2А) [c.65]

Ассоциированные относительные тензоры и производные, опре-делснные выше, не единственно возможные нейтральные тензоры. Можно рассмотреть еще два других примера [c.109]

Пример ЗГ Тензоры Риелина — Эриксена для течений, рассмот-ренных в примерах ЗА и ЗБ. [c.127]

Найти тензоры Уайта — Метцнера для течения, рассмотренного в примерах ЗА и ЗБ (см. пример ЗГ). [c.129]

Расширена глава о моментах инерции. Это позволяет на примере тензора инерции описать некоторые общие свойства тензора скоростей деформации и тензора напряжений в мехатш-ке сплошной среды. [c.3]

Пример 21. Определить тензор инерции однородной круглой пластинки малой толщнны массой m и радиусом R для осей координат x y"z", проходящих через точку О, если плоскость у Ог совпадает с вертикальной плоскостью ось г" вертикальна, а ОС = 7 /2. Плоскость пластинки составляет с горизонтальной плоскостью угол 60 (рис. [c.115]

В приведенном примере вопрос об угловой скорости вращения главных осей инерции относительно осер системы рещался просто. В общем случае для нахождения разности ( Г - со) можно использовать представление абсолютной производной тензора инерции (1.95) в осях системы, вращающихся с угловой скоростью со. [c.55]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...