Тензор касательных напряжений

Для внесения полной ясности процитируем ряд высказываний из-диссертации Говарда Силы, сказывающиеся на движении среды, делятся на объемные и поверхностные. Второй закон Ньютона формулируется таким образом, чтобы ввести поверхностные силы как дивергенцию симметричного тензора (тензор напряжения). Вид тензора касательного напряжения для изотропной среды основывается на свойствах изотропных функций. [c.92]

Если через обозначить тензор касательного напряжения, то для случая параллельного потока получаем [c.93]

Это и есть закон Ньютона для касательных напряжений в жидкости. Для некоторых жидкостей линейной зависимости между тензорами напряжений и скоростей деформаций недостаточно. Такие жидкости называют неньютоновскими жидкостями. [c.573]

В каждой точке пространства, занятого движущейся жидкостью, имеем тензор напряжений П и тензор скоростей деформаций 5. Первоначально были сформулированы и экспериментально проверены простейшие частные случаи зависимости компонентов этих двух тензоров, как, например, закон Ньютона для касательных напряжений. Эти зависимости оказались линейными. Это привело к предположению, что линейная зависимость соблюдается и в общем случае. Для жидкостей эта линейная зависимость тензора напряжений от тензора скоростей деформаций носит название обобщенного закона Ньютона или закона Навье—Стокса. [c.553]

Таким образом, величины tij, зависящие от положения точки Л1, являются компонентами тензора напряжений. Выясним теперь механический смысл компонент tij. Так как вектор представляет собой напряжение, которое действует на элемент поверхности, перпендикулярный оси Mx-i, то величина представляет собой нормальное напряжение на рассматриваемой площадке и направлены по касательным к рассматриваемому элементу и представляют собой касательные напряжения (напряжения сдвига). Аналогичным путем выясняется механический смысл остальных компонент тензора напряжений. [c.19]

Отметим два примера линейных преобразований вектора в вектор, совокупности коэффициентов которых образуют тензоры. Это, как уже упоминалось, равенства Коши (12) гл. VII, в которых коэффициенты представляют собой нормальные и касательные напряжения. Эта совокупность образует тензор напряжений Р с компонентами pki [k, / = 1, 2, 3). [c.117]

По ранее доказанному свойству симметрии тензора напр т-жений касательные напряжения, отличающиеся порядком индексов, равны между собой [c.139]

Учитывая закон парности касательных напряжений, известный из курса сопротивления материалов, напряженное состояние точки, определяемое тензором (Т), характеризуется не девятью, а шестью различными значениями скалярных величин. Если за координатные оси принять главные направления, то напряженное состояние можно характеризовать заданием трех главных напряжений, так как по главным площадкам касательные напряжения отсутствуют. Тензор напряжений будет равен [c.7]

Пусть заданы все компоненты тензора напряжений для данной точки. Известны нормальные и касательные напряжения по трем ортогональным граням бесконечно малого параллелепипеда. [c.8]

Шаровой тензор характеризует изменение объема в пределах упругих деформаций. Считают, что при пластических деформациях объем тела не меняется. Исследования показывают, что при всестороннем растяжении или сжатии пластические деформации не возникают. Образование их связано с искажением формы элемента, т. е. с касательными напряжениями, усилиями сдвига. [c.98]

Следовательно, на гранях параллелепипеда действуют три нормальных и шесть касательных напряжений, совокупность которых образует тензор напряжений [c.11]

Если разделить компоненты девиатора напряжений на интенсивность касательных напряжений, получим направляющий тензор напряжений [c.19]

Напряжения, возникающие в теле, должны удовлетворять следующим граничным условиям на бесконечности все компоненты тензора напряжений обращаются в нуль в точках плоскости В касательные напряжения Tjy равны нулю, а нормальные напряжения а. равны нулю во всех точках, за исключением точки приложения силы F. [c.139]

Теперь рассмотрим другое нагружение, при котором к трубке (см. рис. 10.4) сначала была приложена осевая нагрузка F, создающая нормальное напряжение, значение которого достигло а, затем был приложен крутящий момент М р. Нормальное напряжение ст в процессе приложения крутящего момента оставалось неизменным, а касательные напряжения возрастали от нуля до значения т. В результате точка, изображающая тензор напряжений на плоскости в осях С1 , т, совпала с точкой А. Такое нагружение является сложным. [c.298]

Симметричность тензора напряжений выражает закон парности касательных напряжений в любой точке тела на двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения перпендикулярны к линии пересечения площадок, равны по величине и направлены в противоположные стороны (рис. 7). [c.40]

Докажем, что вектор касательного напряжения Ts также достигает своего наибольшего значения на контуре для этого отправимся от противного допустим, что вектор касательного напряжения достигает наибольшего значения внутри контура поперечного сечения в точке М. Выберем в поперечном сечении новую прямоугольную декартову систему координат 0Х/Х2 и одну из ее осей, например ось 0X2, направим параллельно вектору Т 3, приложенному в точке М. В этой системе координат в точке М будем иметь тензор напряжений с компонентами а з1 = 0, а з2= 0, причем они относительно новой системы координат являются также гармоническими. В силу этого (Тз2 достигает своего наибольшего значения на контуре, а не внутри контура, как это было допущено в начале рассуждения. [c.178]

Если в окрестности точки напряженного тела выделить элементарный параллелепипед и рассмотреть его деформированное состояние, то можно установить, что он испытывает линейные деформации, связанные с нормальными напряжениями о , о , а , и угловые деформации, связанные с касательными напряжениями т . , Мерой этих деформаций являются относительные удлинения е , е , и углы сдвига у у, Уу . Все указанные деформации образуют тензор деформаций [c.8]

Заметим, что выражение для удлинения в произвольном направлении в окрестности данной точки подобно относительно множителей при компонентах деформации выражению (1.4.2) для нормального напряжения по произвольной площадке, проходящей через ту же точку. Множители (двойки), имеющиеся в выражении (1.4.2) при касательных напряжениях, в выражении (1.6.1) отсутствуют, но надо также отметить, что в тензоре деформации углы сдвигов преднамеренно приведены с коэффициентом 0,5. [c.19]

Совокупность векторов напряжение для всевозможных площадок, проходящих через данную точку, образует напряженное состояние в точке, количественно оно оценивается сложной физической величиной, называемой тензором напряжений, компонентами которого являются нормальные и касательные напряжения, действующие на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через данную точку. [c.16]

Первый индекс у компонент aij тензора напряжений, как это вытекает из равенства (2.13), соответствует индексу координатной оси xi, перпендикулярной площадке, на которой имеет место вектор напряже-ния/ , второй индекс указывает направление компоненты oij по координатной оси Xj. Следовательно, компоненты atj при / = i, т. е. являются нормальными напряжениями, а компоненты atj при I ф j касательными напряжениями на координатных площадках. [c.32]

Таким образом, компоненты тензора напряжений представляют собой нормальные и касательные напряжения в данной точке тела на площадках, параллельных координатным плоскостям. Из равенства [c.32]

Нормальное и касательное напряжения на несерийных площадках, пересекающих все три главные оси тензора (сг/ ), т. е. когда ФО, П2Ф О, определяются координатами внутренних точек области, ограниченной полуокружностями /, II, III. Для нахождения точки N диаграммы (рис. 2.7), определяющей напряжения на площадке с нормалью я, следует по формулам (2.67) вычислить радиусы Ri, R2, R3 соответствующих окружностей, пересечение которых и определяет искомую точку N. Возможно и чисто графическое отыскание точки N этот прием подробно изложен в работе [441. [c.47]

Из пропорциональности деформаций сдвига и касательных напряжений следует совпадение главных осей тензоров напряжений Та и деформаций Т . Поскольку при преобразовании осей координат как для тензора напряжений, так и для тензора деформаций матрица перехода одна и та же, то уравнения (3.30) оказываются инвариантными относительно выбора направления осей. [c.224]

Эти равенства выражают условия взаимности касательных напряжений и делают тензор напряжения (III. 16) симметричным. [c.66]

TI2 3 О, 2 1) 1 3 О найдем, что Oi2 есть касательное напряжение на площадке 1 в направлении оси 2 или, вследствие симметрии тензора Oij, касательное напряжение на площадке 2 в направлении оси 1 (рис. 7.4.1). Из симметрии выражения (7.4.8) вытекает следующий результат, который иногда называют законом парности касательных напряжений касательные напряжения на двух перпендикулярных площадках, действующие по нормалям к линии их пересечения, равны между собою. Мы будем избегать слова закон применительно к тривиальному следствию из условия симметрии соответствующего тензора. [c.221]

Разница между формулами (7.7.5) и (7.7.7) связана с тем, что компонентами тензоров являются касательные напряжения и половины сдвигов, значит величина То соответствует <,/2. Итак, нормальное и касательное напряжения на октаэдрической площадке представляют первый инвариант тензора напряжений и второй инвариант девиатора наиболее простым и естественным образом. [c.229]

Отметим еще одно истолкование величины второго инварианта девиатора тензора напряжений, принадлежащее В. В. Новожилову. Вычислим среднее квадратичное значение касательного напряжения на поверхности сферы. [c.229]

Отличные от нуля компоненты тензора напряжений представляют собою касательные напряжения в плоскости поперечного сечения, показанные на рис. 9.1.1. Будем обозначать их для краткости O31 = г,, Озг = Тг. Тогда [c.278]

Приведенное напряжение пропорционально наибольшему касательному напряжению. Относя тензор напряжений к главным осям, положим [c.632]

Обычно считают, что пластическая деформация начинается тогда, когда максимальное касательное напряжение в твердом теле достигает определенной величины. Как известно, -я компонента силы, действующая на единичную площадку, равна Рц п,-. Если взять главные оси тензора, то квадрат касательного напряжения в плоском случае равен [c.34]

Поскольку скольжение происходит под действием касательных напряжений т, то нас интересует единственная компонента тензора напряжения T=ai 2, вызывающая смещение одной плоскости 5 относительно другой S в направлении скольжения х [c.111]

Здесь, и ниже, индексы в обозначениях главных касательных напряжений являются условными, не связанными с направлениями атих напряжений и нормалями к площадкам, на которых они действуют (как это предусматривается для компонентов тензора напряжений). Другие авторы (см. Соколовский В. В. [6]) вводят иные обозначения, освобожденные от указанной условности, кнк то аю аз. [c.8]

Показать, что квадрат октаэдрического касательного напряжения может быть записан через первый и второй инварианты тензора напряжений в виде [c.30]

Всякая девятка чисел а,/, преобразующаяся по формуле (2.12), образует тензор второго ранга. Вследствие закона парности касательных напряжений (2.8) этот тензор напряжений является симметричным тензором второго ранга [c.44]

Характерно, что главные оси тензора напряжений совпадают с главными осями направляющего тензора напряжений. Можно показать, что направляющий тензор напряжений полностью определяется четырьмя компонентами, например его тремя главными направлениями и одним из главных напряжений или отношением любой пары главных напряжений между собой. Учитывая эти замечания, можно сказать, что тензор напряжений полностью определен, если известны его направляющий тензор напряжений 0 , среднее напряжение а р и октаэдрическое касательное напряжение Токт, или интенсивность касательных напряжений т , или интенсивность напряжений а . [c.19]

Согласно принципу Сен-Венана найденное решение применимо вдали от концов полосы также для случая, когда вместо внешних сил, приложенных на обоих концах полосы и распределенных по закону (6.39), действуют статически эквивалентные пары сил с моментом М, причем вблизи места приложения пар напряженное oi-стояние будет отличаться от (6.39). Если не равен нулю только коэффициент аз, то отличным от нуля компонентом тензора напряжений будет нормальное напряжение а22 = агХ. Если же только один из коэффициентов з, Сз не равен нулю, например СгФО, та в дополнение к нормальному напряжению 0ц появляется касательное напряжение 0)2. Когда используются полиномы более высокой степени, чем третья, то бигармоническое уравнение удовлетворяется при некоторых соотношениях между их коэффициентами. [c.111]

При совмещении координатных осей с главными осями тензора ioij) его касательные компоненты ( ф /) будут равны нулю, а диагональные компоненты, т. е. нормальные напряжения ст/ , будут совпадать с главными значениями tj тензора напряжений [см. (1 .3), с.400], которые называются главными напряжениями. Следовательно, площадки, проходящие через данную точку тела и перпендикулярные главным осям тензора о ), свободны от касательных напряжений, а нормальные напряжения на них есть главные значения тензора напряжений или главные напряжения. Эти площадки называются главными площадками. [c.39]

В отсутствие поверхностно-активных веществ на границе раздела фаз обтекание газового пузырька жидкостью можно рассматривать как движение жидкости со свободной поверхностью, ибо условие ц ц означает отсутствие касательных напряжений на границе раздела фаз. Применительно к такому движению легко доказать справедливость высказанного в 5.4 положения о том, что нормальные напряжения на границе раздела пузырька одинаковы во всех точках поверхности раздела. Если пузырек всплывает в поле тяжести, то нормальная компонента тензора напряжений, обусловленная силами тяжести на границе пузыря, выражается как (р + pga os0). (Применительно к рис. 5.9 ускорение свободного падения g для всплывающего пузырька совпадает с положительным направлением оси J , Pq — давление при х = 0.) [c.215]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...