Пиолы—Кирхгофа тензор напряжений первый

Перемещений метод 46, 290, 297 Пиолы— Кирхгофа тензор напряжений второй 84, 382, 474 ----первый 474 [c.534]

Функцию построенную в теореме 4.2-1, мы также будем называть функцией запасённой энергии. Теперь, по аналогии с равенством, выражающим первый тензор напряжений Пиолы—Кирхгофа через градиент первой функции запасенной энергии мы установим соотношение между вторым тензором напряжений Пиолы—Кирхгофа и второй функцией запасённой энергии а именно покажем, что этот тензор является удвоенным градиентом функции Таким образом мы получим ещё один удобный метод распознавания гиперупругих материалов (см. теорему 4.4-3, где он применяется в случае материалов Сен-Венана—Кирхгофа). [c.179]

Первый тензор напряжений Пиолы—Кирхгофа [c.474]

В 3.2 были определены векторы напряжений а . Я, = 1,2, 3. Первый тензор напряжений Пиолы—Кирхгофа ), обозначаемый через определяется с помощью разложения по базисным векторам i , х = 1, 2, 3, так что [c.474]

Система (1.118) записана с помощью номинального тензора напряжений р. Если для формулировки такой системы желательно использовать первый тензор напряжений Пиола — Кирхгофа Р, надо в (1.118) провести замену Р на [c.61]

В предположении непрерывной дифференцируемости компонент первого тензора напряжений Пиола — Кирхгофа Р эквивалентность уравнения (3.5) и уравнений движения и статических (естественных) граничных условий (1.118) (с учетом Р = Р ) следует из произвольности йи. Кинематические граничные условия (на Sy,) в (1.118) являются жесткими. [c.111]

В настоящем разделе приводятся общие определения и формулировки единственности и устойчивости решений нелинейных задач по деформированию тел из упругих и упругопластических материалов. Используются первый тензор напряжений Пиола — Кирхгофа и тензор градиента перемещения. Исследование поведения решения уравнений с использованием других тензоров напряжений и деформаций проводится аналогично. Точно так же исследуется поведение решений для уравнений, сформулированных в текущей конфигурации. [c.131]

Рассмотрим первый подход. Предположим, что состояние рассматриваемой сплошной среды в окрестности любой материальной точки определяется четырьмя термодинамиче скими функциями — активными переменными массовыми плотностями свободной энергии А и энтропии Н, вторым тензором напряжений Пиолы-Кирхгофа с компонентами и вектором плотности теплового потока с компонентами qoi, г,] = 1,2,3. Аргументами этих функций будем считать следующие реактивные переменные тензор конечной деформации Грина с компонентами Ькь абсолютную температуру Т, материальный градиент температуры, компоненты которого [c.78]

Тензор напряжений Коши и первый тензор напряжений Пиолы—Кирхгофа связаны соотношениями ( 1.7) [c.31]

Тензор Т носит название первого тензора напряжений Пиолы — Кирхгофа. Мы также введём второй тензор напряжений Пиолы—Кирхгофа S = который является симметриче- [c.91]

Применяя это преобразование к тензору напряжений Коши 7 ", получим тензор Т, который называется первым тензором напряжений Пиолы—Кирхгофа. Как показано в теореме 1.7-1, главное преимуш,ество этого преобразования заключается в том, что оно приводит к особенно простому соотношению между дивергенциями обоих тензоров, а именно [c.105]

Оба тензора напряжений Пиолы—Кирхгофа Т(х) и 2 (л ) зависят от деформации ф. Эта зависимость изучается в гл. 3. Она обусловлена, во-первых, структурой преобразования Пиолы и, во-вторых, зависимостью от ф тензора напряжений Коши. [c.107]

Поскольку эти соотношения можно принять в качестве эквивалентных определений упругих материалов, им также даётся название определяющих уравнений, причём отображения Г и 3 называются функциями реакции соответственно для первого и второго тензоров напряжений Пиолы—Кирхгофа. [c.124]

Записывая соотношение (ж, QF) = QT х, F)Q в условии (а) через функции реакции Г и S для первого и второго тензоров напряжений Пиолы—Кирхгофа соответственно, получим, что аксиома независимости материала от системы отсчёта эквивалентна любому из соотношений [c.136]

Если материал изотропен в точке х, то мы будем также говорить, что любая из соответствующих ему функций реакции изотропна в точке х. Свойство изотропности в точке х, выраженное посредством функций реакции Г и S для первого и второго тензоров напряжений Пиолы—Кирхгофа, эквивалентно каждому из следующих соотношений [c.138]

В противоположность этому, первый тензор напряжений Пиолы—Кирхгофа Т х) не может быть записан в виде функции какого-либо из симметрических тензоров B — FF или = F F. В частности, пользуясь последним выражением для функции реакции S, получаем [c.148]

Учитывая равенство Г ( ) = ((161 отсюда заключаем, что необходимое и достаточное условие независимости от системы отсчёта функции реакции Т для первого тензора напряжений Пиолы—Кирхгофа имеет вид [c.177]

Поясним теперь, каким образом граничные условия на Гг в предыдущей теореме могут быть истолкованы с механической точки зрения. Для этого напомним (теорема 1.7-1), что первый тензор напряжений Пиолы—Кирхгофа Г —7(V(p), вектор нормали п и элемент площади da в точке хеГ связаны соотношением Гп da = TV da с соответствующими тензором напряжений Коши г , вектором нормали п и элементом площади da в точке ф(л ). В частности, вектор напряжений Пиолы—Кирхгофа Тп параллелен вектору напряжений Коши Г . Следовательно, краевое условие в точках множества Гг можно записать в эквивалентной форме как краевое условие на вектор напряжений Коши T t в точках множества ф(Г2), а именно-. [c.242]

Поскольку вторая часть этой книги посвящена главным образом математическим средствам, которые позволяют преодолеть трудности, связанные с нелинейностями рассмотренных здесь задач н вызванные в первую очередь структурой левой части —Шу2 (Уф) уравнения равновесия, будет уместно завершить первую часть книги перечнем всех имеющихся у нас сведений, как старых, так и новых, которые касаются определяющего уравнения, независимо от того в какой форме оно записано — в терминах первого нли второго тензора напряжений Пиолы—Кирхгофа либо посредством функции запасённой энергии, если мате- [c.280]

Величины введенные соотношениями (3.23), называются компоиеи-тами тензора напряжений Кирхгофа, но в дальнейшем эти величины будут называться просто напряжениями.Относительно первого и второго тензоров Пиолы—Кирхгофа см. приложение Е, где также введен и тензор Эйлера (или Коши). [c.84]

Для тензоров 7 и Р терминология не усталовилась. В некоторых исследованиях тензор V называется первым тензором напряжений Пиола — Кирхгофа, а в других работах, наоборот, тензор Р — номинальный тензор напряжений. В [67, 110] тензор Р называется тензором напряжений Лагранжа, а S — тензором напряжений Эйлера. [c.46]

Приведем запись этих систем через компоненты в декартовой системе отсчета. Используя компоненты Ру первого тензора напряжений Пиола — Кирхгофа Р = Pijki kj, систему (1.118) записываем следующим образом [c.62]

Путем наложения некоторых связей в уравнениях обобщенного вариационного принципа можно получить сформулированные относительно скоростей уравнения вариационного принципа Хилла для упругих и упругопластических тел при произвольной величине деформаций [47, 73, 78, 79, 81]. Рассмотрим уравнения (3.6). Предположим, что варьируемые поля скоростей перемещений й принимают заданные значения на границе qSu, т.е. выполнены кинематические граничные условия в (3.6). В этом случае исчезает последний член в правой части (3.8). Далее предполагаем, что материальная производная тензора градиента деформации не является произвольной варьируемой величиной, а выражается через материальную производную тензора градиента перемещения с помощью четвертого равенства (3.6). Тогда исчезает второй член в правой части (3.8). Предположим также, что материальная производная первого тензора напряжений Пиола — Кирхгофа не является независимой варьируемой величиной, а выражается через материальную производную тензора градиента деформации с помощью последней формулы (3.6), т.е. определяющие соотношения предполагаются заданными. В этом случае вариационное уравнение (3.7) преобразуется в следующее [c.117]

Для выражения элемента площади в деформированной конфигурации через элемент площади в отсчётной конфигурации удобно предварительно ввести специальное преобразование, устанавливающее соответствие между тензорами, определёнными на отсчётной конфигурации 2, и тензорами, определёнными на деформированной конфигурации fi . Кроме того, это преобразование играет ключевую роль в определении первого тензора напряжений Пиолы — Кирхгофа, который будет введён в 2.5. [c.71]

Однако мы поступаем иначе, поскольку, как будет показано в гл. 2, отправной точкой в теории упругости служит тензорное поле, заданное на деформированной конфигурации (тензор напряжений Коши), и именно его преобразование Пиолы в точках отсчётной конфигурации (первый тензор напряжений Пиолы — Кирхгофа) играет ключевую роль в дальнейшем изложении. [c.73]

Теорема 2.6-1. Первый тензор напряжений Пиолы—Кирхгофа Г(л ) = ((1е1 ф(д ))7 (л ) ф(л ) удовлетворяет следующим уравнениям в отсчётной конфигурации й [c.109]

Покажите, что из этих соотношений вытекает аналог теоремы Коши в отсчётной конфигурации, причём соответствующие утверждения формулируются для первого тензора напряжений Пиолы—Кирхгофа. [c.119]

Тем не менее, хотя определяющее уравнение в отсчётной конфигурации удобнее записать при помощи второго, а не первого тензора напряжений Пиолы—Кирхгофа, именно первый тензор напряжений Пиолы—Кирхгофа естественным образом возникает в уравнениях равновесия в отсчётной конфигурации (см. гл. 2), а также в определяющем уравнении гиперупругого материала ( 4.1). [c.148]

Треть первым в качестве возможной функции реакции, что и было сделано Сен-Венаном (St Venant [1844]) и Кирхгофом (Kirhhoff [1852]). Упругий материал называется материалом Сен-Венана — Кирхгофа, если соответствующая функция реакции для второго тензора напряжений Пиолы—Кирхгофа имеет вид [c.161]

В качестве первого вывода из этой теоремы отметим, что в случае гиперупругого материала, удовлетворяющего аксиоме независимости от системы отсчёта, соответствующий второй тензор напряжений Пиолы—Кирхгофа всегда оказывается симметрическим, т. е. для таких материалов неучтённые ранее уравнения равновесия выполняются автоматически. [c.181]

Чтобы дать интерпретацию граничного условия, установленного в точках множества Гь напомним, что первый тензор напряжений Пиолы—Кирхгофа Г(У< р(х)) = (а /а ") (Уф(л )) в точке X на границе Г отсчётной конфигурации й и тензор напряжений Коши Г Р(л ) в соответствующей точке л Ч = ф(л ) на границе деформированной конфигурации ф(й) связаны соотношением [c.268]

Покажите, что из неравенства Коулмана—Нолла вытекает следующее условие типа монотонности для первого тензора напряжений Пиолы—Кирхгофа [c.289]

Величины а з иногда называют компонентами второго тензора напряжений Пиолы — Кирхгофа см. Трусделл и Нолл [1965, стр. 124, 125]. Компоненты Лт = первого тензора напряжений Пиолы — Кирх- [c.26]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...