Главные оси и главные компоненты симметричного тензора напряжений

Главные оси и главные компоненты симметричного тензора напряжений [c.156]

Симметрично расположенные относительно главной диагонали элементы таблицы (1.1) равны попарно. Это свойство выражает симметричность тензора напряжений Т Число компонентов тензора понижается до шести эти шесть величин—три нормальных а ,, о , и три касательных напряжения — связаны тремя уравнениями [c.14]

Шесть компонент девиатора симметричного тензора но независимы, а связаны между собою условием 2i = 0. Поэтому можно выбрать такой способ геометрического представления условия (15.6.2), при котором оно изображается поверхностью в пятимерном пространстве. Мы не будем вставать на этот путь, а сразу перейдем к случаю изотропного материала. В этом случае достаточно рассматривать условие пластичности, выраженное через главные напряжения [c.494]

Заметим, что главные компоненты р симметричного тензора напряжений известным образом выражаются через инварианты тензора напряжений. Поэтому, если потребуется, можно составить уравнение поверхности текучести, соответствующей условию пластичности Треска, и в шестимерном пространстве Оно будет иметь достаточно сложный вид. [c.455]

Поэтому можно говорить о симметричности термодинамического (изобарного) потенциала твердого кристаллического тела в том смысле, что локальное значение химического потенциала в точке определяется абсолютной величиной гидростатической части тензора напряжений независимо от направления механической силы— растягивающей или сжимающей твердое тело (относительно равновесного положения с нулевыми силами). Подобный анализ можно провести для любого главного значения тензора напряжений (рассматривая изменения соответствующих компонент тензора деформаций), чтобы сделать заключение о симметрии термодинамического потенциала Гиббса по знаку компонент тензора напряжений (относительно недеформированного состояния). [c.18]

На основании закона парности касательных напряжений компоненты тензора напряжений, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны между собой, поэтому тензор напряжений T.J является симметричным. [c.21]

Три корня (Ti, СГ2, (Тз уравнения (2.86) являются значениями трех главных напряжений, они всегда действительны для симметричного тензора д с действительными компонентами dij (это можно показать аналогично проделанному в п. 2.3). Каждому из них соответствует своя главная ось с направляющими косинусами, которые определяются из решения системы уравнений (2.84) для а = ai (а = а2, а = а ) при условии щпг = 1. Главные напряжения полагают упорядоченными, т. е. <тз <Т2 (Ji. [c.61]

Доказать, что если 2—симметричный тензор с действительными компонентами, то главные напряжения тоже действительны. [c.106]

Согласно хорошо известной теореме тензорного исчисления имеем, что если тензор является симметричным тензором, то всегда можно найти такую систему координат (в 5), в которой будут равны нулю все компоненты тензора, не стоящие на диагонали (т. е. I Ф /). В такой системе прямые, совпадающие с направлением координатных кривых, называются главными осями напряжения, а компоненты, стоящие на диагонали тензора, называются главными компонентами напряжения. [c.28]

Девять составляющих (1.16) или (1.17) определяют тензор напряжений и с этой точки зрения называются компонентами тензора напряжений. Формулы типа (1.12) и (1.13) (общее их число, как мы сказали, равно девяти) определяют преобразование тензора от одной системы координат к другой. Тензор напряжений (1.16) симметричен, так как компоненты, симметричные относительно главной диагонали (Хд., У у, Z , равны между собой на основании (1.6) это свойство сохраняется, очевидно, и при других системах координат ). [c.27]

Правая часть равенства представляет собой с точки зрения тензорного анализа симметричный тензор 2-го ранга. Эту запись можно понимать так напряженное состояние Та данной точки равно тензору напряжений с такими-то компонентами (а и т являются компонентами тензора напряжений). Так как касательные напряжения попарно равны между собой и равные касательные напряжения располагаются в матрице симметрично относительно главной диагонали (ст, Оу, Ог), то возможна сокращенная запись [c.78]

В теории тензоров большое значение имеют их инварианты. Так называют комбинации компонентов тензоров, остающиеся неизменными при переходе от одной системы координат к другой. Инвариантами симметричного тензора второго ранга будут, в частности, его три главных значения, равные экстремальным значениям компонентов тензора, стоящих на главной диагонали его матрицы. По аналогии с доказанным для тензоров деформации и напряжения можно утверждать, что всегда можно выбрать такую прямоугольную декартову систему координат, в которой матрица симметричного тензора будет иметь вид [c.99]

Диэлектрическая проницаемость Sij, проводимость Опт и другие физические величины, связывающие в линейном соотношении два вектора, являются тензорами второго ранга, и их компоненты принято обозначать с двумя индексами [6]. К тензорам второго ранга относятся также механическое напряжение и механическая деформация Хтп. Тензоры второго ранга, описывающие те или иные свойства вещества, симметричны (характеризующая их матрица симметрична относительно главной диагонали), поэтому максимальное количество компонент не превышает шести. Ряд свойств кристаллов и текстур, перечисленных в табл. 1.1, описываются тензорами более высокого ранга — третьего и четвертого. Их компоненты записываются соответственно с тремя и четырьмя индексами. Частично свойства этих тензоров рассмотрены з гл. 5—7, более подробно — в [6, 9—11]. [c.19]

Возьмем прямоугольную декартову систему координат охи- Направление, определяемое единичным вектором п с компонентами /ife = os (и, Xh), называется главным направлением симметричного тензора напряжений Огк, если вектор ОгкПи параллелен вектору п [c.43]

Здесь Tjj, ij — компоненты симметричных тензоров напряжений и скоростей пластических деформаций в декартовой системе координат xi, Ж2, Жз Ui — компоненты вектора скорости, по повторяющимся индексам производится суммирование от 1 до 3, Sij — символ Кронекера, а — среднее напряжение п = гг е — собственный вектор тензора напряжений, отвечающий некратному главному напряжению (71 (два других главных напряжения сг2 и сгз совпадают) [c.94]

Таким образом, величины о / — компоненты тензора напряжений являющегося тензором II ранга. Число компонент этого тензора равно 9, однако в соответствии с соотношениями (8.1) только S из них независимы. Это означает, что тензор напряжений — симметричный и, как любой симметричный тензор II ранга, он может быть с помощью преобразования координат приреден к главным осям. Относительно этих осей недиагональные компоненты тензора обратятся в нуль, и он приобретет вид. [c.189]

В матрице в каждой строке составляющие (компоненты) тензора имеют одинаковое направление, а в каждом столбце — относятся к одной и той же плoщaдкeJ Нормальные напряжения располагаются по главной диагопалн матрицы. Из закона парности касательных напряжений следует, что матрица симметрична относительно главной диагонали. Такой тензор называется симметричным. [c.17]

Отсюда следует закон взаимности (или парности) кнсательных напряжений, впервые сформулированный и доказанный Коши в каждой точке деформированного тела составляющие касательного напряжения, действующие в двух взаимно перпендикулярных плоскостях и перпендикулярные к линии пересечения этих плоскостей, численно равны между собой, т, е. компоненты тензора напряжений, расположенные симметрично относительно главной диагонали тензора (диагонали, проходящей через Ох, сГу, о ), равны. [c.14]

Так как элементарный куб находится в состоянии равновесия и напряжение однородно, то можно показать из рассмотрения вращающих моментов относительно любой оси куба, что (Т2з=оз2 сгз1 = а1з (Т12=сг21. Отсюда следует, что из девяти компонент только шесть являются независимыми и тензор оказывается симметричным, т. е. компоненты, симнетричные относительно главной диагонали тензора, равны между собой ( T(3=0ji). [c.117]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...