Релаксационные уравнения

РЕЛАКСАЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ [c.231]

Релаксационные уравнения состояния 233 [c.233]

Перед записью других форм уравнения Максвелла полезно сделать следующее замечание. Релаксационные уравнения первого порядка, т. е. уравнения, не содержащие других производных тензора напряжений, кроме первой, разрешенные явно относительно скорости изменения тензора напряжений, имеют следующий общий вид [c.235]

В этом отношении было бы привлекательным (но никоим образом не обязательным из физических соображений) конструировать релаксационные уравнения состояния так, чтобы гарантировать определенное значение следа (например, нулевое). На самом деле получить релаксационное уравнение состояния, обладающее такими свойствами, очень просто. Рассмотрим, например, уравнение (6-4.4). Применяя операцию взятия следа к уравнению (6-4.4), получаем [c.236]

Релаксационные уравнения состояния 237 [c.237]

Очевидно, что включение члена, определяемого уравнением (6-4.25), эквивалентно выбору значения Ь = — /3 а в общем операторе временного дифференцирования, определяемом уравнением (6-4.3). Очевидно также, что при таком выборе значение с становится несущественным, поскольку содержащий его член обращается в тождественный нуль. Было предложено несколько релаксационных уравнений состояния, построенных таким образом, что напряжение определялось в виде тензора с нулевым следом. Следует заметить, однако, что добавление к заданному релаксационному уравнению состояния членов типа (6-4.25) полностью изменяет скорректированное уравнение по сравнению с исходным. А именно, это не только преобразует рассматриваемый ранее тензор напряжений к тензору с нулевым следом, но и полностью изменяет реологическое поведение. Если, например, уравнение (6-4.12) предсказывает постоянство сдвиговой вязкости (см. (6-4.8)), то модификация уравнения (6-4.12) к виду уравнения с бесследным тензором, т. е. к виду [c.237]

Следовательно мы показали, что уравнение (6-4.36) эквивалентно (6-4.29) при выборе g (s) в виде (6-4.30). Аналогично, если выбрать g (s) в виде суммы п экспонент, то эквивалентный вид релаксационного уравнения состояния будет таким [c.238]

Релаксационные уравнения состояния [c.241]

Релаксационные уравнения состояния 243 [c.243]

Релаксационные уравнения состояния 245 [c.245]

Завершим этот раздел замечанием, касающимся релаксационных уравнений вообще. В самом общем виде релаксационное уравнение не определяет единственный материал, т. е. единственный функционал, который описывает напряжение в данный момент, если задана предыстория деформаций. Рассмотрим аналогичный случай для функций. Если функция определяется посредством дифференциального уравнения, должны быть заданы начальные условия. Если начальные условия не заданы, дифференциальное уравнение определяет целую систему функций. Вообще говоря, если не сделано дополнительных предположений, релаксационное уравнение состояния определяет одновременно ряд функционалов, т. е. ряд различных материалов. Возможно даже, что среди материалов, определенных таким образом, представлены жидкости и твердые тела одновременно. [c.246]

Далее необходимо привлечь к рассмотрению уравнение состояния. Если иметь в виду либо релаксационное уравнение первого порядка, подобное уравнению Максвелла, либо простое интегральное уравнение, то при соответствующей линеаризации относительно возмущения скорости Ve — v можно получить [c.275]

Термическим уравнением состояния называют уравнение, связывающее давление с плотностью и температурой, а калорическим — уравнение, определяющее зависимость внутренней энергии (энтальпии) от температуры и давления. В большинстве случаев течения газа сопровождаются разного рода неравновесными процессами, для описания которых уравнения газовой динамики дополняются соответствующими кинетическими или релаксационными уравнениями. Кроме того, в уравнения вводят дополнительные члены, учитывающие воздействия неравновесных процессов на газодинамические параметры. Неравновесные процессы весьма разнообразны. Наиболее часто приходится иметь дело с неравновесным возбуждением колебательных степеней свободы, неравновесной диссоциацией и рекомбинацией, неравновесным движением жидких или твердых частиц в условиях неравновесной конденсации или испарения. [c.32]

Методы численного интегрирования релаксационных уравнений с малым параметром при старшей производной описаны в 7.5, где обосновано применение неявных разностных схем. [c.120]

Метод решения релаксационных уравнений [c.204]

Кинетические или релаксационные уравнения, описывающие этот процесс, вблизи равновесия являются, как правило, уравнениями с малым параметром при старшей производной, что усложняет их численное интегрирование. Такие уравнения называют жесткими . К релаксационным уравнениям относятся следующие уравнения сохранения массы химической компоненты, скоростей и температур частиц в двухфазных потоках и др. [c.204]

В последние годы предложено несколько методов численного интегрирования релаксационных уравнений. Наиболее эффективными и универсальными являются методы, основанные на использовании неявных разностных схем. Основное достоинство таких методов — возможность расчета по единой схеме с высокой точностью как областей, где все или несколько неравновесных параметров близки к равновесным значениям, так и тех областей, где имеет место заметное отклонение от этих значений. Обоснуем выбор неявных разностных схем для расчета релаксационных уравнений. [c.204]

В общем виде релаксационное уравнение для определения неравновесного параметра а, можно представить в виде [c.204]

Из (7.43) и (7.44) следует, что решение разностного уравнения (7.42) стремится к точному при х->0 для всех s таких, что 0 5 1. Однако точность и устойчивость решения разностного уравнения зависят от величины этого параметра. При 5=1/2 решение имеет второй порядок точности, при s=l (явная схема типа схем Эйлера и Рунге — Кутта) и х 1 решение разностного уравнения сильно отличается от точного. Максимальный шаг, с которым можно численно интегрировать уравнение, равен 2т. Поэтому явные схемы позволяют численно интегрировать релаксационные уравнения вблизи равновесия, где время релаксации X мало (порядка 10 —Ю ), лишь с очень малым шагом (h x2x), что делает их абсолютно непригодными. [c.205]

Проделанный выше анализ обобщен на случаи систем релаксационных уравнений. Показано, что условие устойчивости разностных уравнений имеет вид [c.206]

Рассмотрим теперь конкретный алгоритм решения разностных уравнений для сложных неравновесных систем. Пусть имеется N неравновесных параметров а, для определения которых имеется N релаксационных уравнений типа (7.39). Не ограничивая общности, примем, что т, и а,- суть функции только t [c.206]

Таким образом, в описанном алгоритме решение релаксационных уравнений основано на использовании неявных разностных схем разрешении разностного уравнения типа (7.41) относительно Игг+1 с целью устранения произведения малой разности больших величин на большую величину решении нелинейной системы уравнений типа (7.45) методом Ньютона. [c.208]

В настоящее время сохраняется необходимость в дальнейшем совершенствовании методов решения релаксационных уравнений, особенно в случае большого числа компонентов. [c.209]

Изменение параметров неравновесности описывается релаксационными уравнениями [c.43]

Рассмотрим более детально распространение возмущений в релаксирующем газе в простейшем случае. Пусть молекула газа имеет (а+Ог) степеней свободы, причем равновесие по а степеням свободы устанавливается мгновенно, а установление равновесия по йг степеням свободы описывается релаксационным уравнением. Внутренняя энергия [c.44]

Трудности связанные с необходимостью решения нелинейных уравнений газодинамики совместно с релаксационными уравнениями и уравнениями химической кинетики, привели к тому, что, как правило, теоретические исследования проводятся приближенными или численными методами. [c.116]

Процесс релаксации описывается так называемыми релаксационными уравнениями. Например, для поступательных степеней свободы [c.128]

G помощью метода Чепмена — Энскога получено решение обобщенного уравнения Больцмана в первом и втором приближениях, т. е. аналоги уравнений Эйлера и Навье — Стокса. Проанализирован случай, когда в первом приближении релаксационные уравнения могут быть приведены к уравнениям типа Ландау — Теллера [2] (частным случаем такой моде- [c.105]

Очевидно, что полученные уравнения являются обобщением релаксационного уравнения Максвелла. Эти уравнения, конечно, можно было написать на основе введенных гипотез без всякого применения термодинамики. Теперь обратимся к использованию термодинамики для доказательства того, что если деформации остаются постоянными, т. е. — О, то система уравнений [c.102]

Умножим релаксационные уравнения (3.81) на 8/ . и свернём по индексам ink, тогда [c.107]

Обмен энергией между двумя подсистемами. Предположим, что интересующую нас систему можно разделить на две подсистемы, обмен энергией между которыми происходит достаточно медленно ). Тогда можно считать, что процесс релаксации протекает в два этапа. Длительность первого этапа примерно равна времени релаксации = max ri,T2 , где и Г2 — характерные времена установления частичного равновесия в подсистемах. В конце этого этапа макроскопические состояния подсистем характеризуются неравновесными температурами Ti t) и T2 t). Второй, более медленный, этап релаксации всей системы описывается на шкале времени с физически бесконечно малым интервалом А , удовлетворяющим неравенству > г ,. Тогда вообще нет необходимости рассматривать, как именно возникает частичное равновесие в подсистемах, и эволюцию системы можно описать релаксационными уравнениями для температур Ti t) и Т 2( ), которые при t оо стремятся к равновесной температуре Т. Нашей задачей будет вывод закона изменения со временем неравновесных температур подсистем. Для определенности рассмотрим квантовый случай. [c.90]

P2 t). Останется только построить подходящее приближение для кинетических коэффициентов. Будет полезно, однако, более подробно остановиться на выводе релаксационных уравнений для слабо взаимодействующих подсистем, поскольку некоторые возникающие при этом вопросы встречаются во многих конкретных приложениях. [c.92]

Вывести релаксационные уравнения для обратных температур подсистем Pi t) и / 2( )5 исключив производные по времени в левых частях уравнений (7.1.19). [c.154]

Обратимся теперь к более подробному анализу свойств релаксационных уравнений состояния, предложенных в литературе. Олдройд [25] исследовал поведение материалов, описываемых уравнениями (6-4.39) или (6-4.47) для частного случая, когда а = Ь = с = О, т. е. когда в обеих частях уравнения состояния используется вращательная производная [c.245]

Оказывается, что этот итерационный процесс может расходиться, если значения некоторых щ (или всех) близки к равновесным значениям. Это связано с тем, что релаксационные уравнения (4.16) вблизи равновесия являются уравнениями с малым параметром. Вблизи ])авновесия функции Fi очень чувствительны к изменениям щ и Т. Нарушение сходимости итерационного процесса связано с тем, что при использовании уравнения (4.20) приходится вычислят1 Fi в точке 3 по значениям параметров предыдущей итерации. Для сходимости итераций нужно использовать более мелкую сетку, чем это требуется для решения газодинамических уравнений. [c.119]

В этой главе рассмотрены некоторые специальные методы, которые используют для решения задач газовой динамики. Эти методы выделены в отдельную главу, поскольку, хотя они и не обладают какой-либо общностью, их успешно применяют для решения задач газовой динамики, приспосабливая к конкретным особенностям течения. Описаны следуюш,ие методы метод прямых (изложены два варианта метод интегральных соотношений Дородницына и метод Теленина), метод крупных частиц, метод решения обратной задачи теории сопла, метод решения релаксационных уравнений, метод конечных элементов и релаксационные методы. [c.180]

Для внутренних степеней свободы могут быть записаны свои релаксационные уравнения, аналогичные уравнению (3.7.3), однако вместо энергии поступательных степеней свободы следует взять энергию внутренних степеней свободы, а вместо времени релаксации поступательных степеней свободы X следует ввести время релаксации внутренних степеней свободы Хвращ, х олеб- По аналогии с определением (3.7.3) вводят понятие вращательной и колебательное релаксации. [c.129]

Уравнение (127), контролирующее эволюцию со временем числа подвижных дислокаций п, получено при подстановке выражения для термодинамического потенциала тела Ф с п дислокациями (100) в релаксационное уравнение Ландау—Халатникова [c.117]

В работе [15] в уравнения среды включены упруговязкие члены Максвелла, описывающие процесс релаксации во времени касательных напряжений. На основе этой модели в [16] исследованг структура пррфиля ударной волны в упруговязкой среде с нелинейной зависитстью максвелловской вязкости (величины, обратной времени релаксации касательных напряжений) от параметров состояния вещества. Для одномерного движения вдоль оси я релаксационное уравнение записывается в виде [c.188]

Рейгер полагал, что при объемной упругости релаксация отсутствует, откуда вытекает, что = оо- В главе XII будет показано, что такая точка зрения слишком узка. Предположим тем не менее, что это справедливо в первом приближении (как подразумевается в первой аксиоме). Тогда, чтобы найти релаксационное уравнение для простого растяжения, необходимо сначала разложить простое растяжение на две его компоненты в соответствии с уравнением (VII. 15) [c.156]

В данной работе для исследования неравновесных эффектов и определения переносных свойств в многоатомных газах типа СОа использовался аппарат кинетической теории многотемпературной релаксации на основе обобщенного уравнения Больцмана с учетом поступательных, вращательных и колебательных степеней свободы, развитый ранее для двухатомных газов Ц]. Преимуществом такого подхода является то, что релаксационные уравнения для заселенностей колебательных уровней во всех приближениях получаются вместе с гидродинамической системой, структура которой зависит только от принятых предположений о расположении по порядку величины соответствующих времен или длин релаксации. Предполагалось, что поступательные и вращательные степени свободы релаксируют быстро, а колебательные — медленно, но с различными скоростями для разных мод колебаний, причем передача колебательной энергии в процессе соударений происходила по законам гармонического осциллятора. [c.105]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...