Тензор напряжения и уравнения движения

Тензор напряжения и уравнения движения [c.25]

Тензор напряжений и уравнение движения [c.76]

Вся изложенная теория упругих колебаний является приближенной в том же смысле, в[каком приближенна вообще вся теория упругости, основанная на законе Гука. Напомним, что в ее основе лежит разложение упругой энергии в ряд по степеням тензора деформации, причем оставляются члены до второго порядка включительно. Соответственно этому компоненты тензора напряжений оказываются линейными функциями компонент тензора деформации, и уравнения движения — линейны. [c.144]

При малых объемных моментах рМэ тензор напряжений симметричен. Уравнения движения и сохранения массы сплошной среды в эйлеровых координатах (10.16) [c.268]

В уравнении (38) вектор массовой силы заменим ускорением свободного падения, а суммарный тензор вязких и турбулентных напряжений представим в виде суммарного касательного напряжения. Тогда уравнение движения для элементарной струи запишется в виде [c.30]

В предположении непрерывной дифференцируемости компонент тензора напряжений Коши s эквивалентность уравнения (3.1) и уравнений движения и статических граничных условий (естественные граничные условия) (1.114) следует из произвольности йи. Кинематические граничные условия в (1.114) заложены в варьируемые перемещения (жесткие граничные условия), так что выполнено равенство (3.2). [c.110]

В предположении непрерывной дифференцируемости компонент второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа S эквивалентность уравнения (3.3) и уравнений движения и статических (естественных) граничных условий (1.119) и (1.120) следует из произвольности йи. Кинематические граничные условия (на Su) в (1.119) или (1.120) являются жесткими. [c.111]

В предположении непрерывной дифференцируемости компонент первого тензора напряжений Пиола — Кирхгофа Р эквивалентность уравнения (3.5) и уравнений движения и статических (естественных) граничных условий (1.118) (с учетом Р = Р ) следует из произвольности йи. Кинематические граничные условия (на Sy,) в (1.118) являются жесткими. [c.111]

Реологическое уравнение (2) представляет частный случай более общего, соответствующего любому пространственному движению вязкой жидкости, закона линейной связи между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций. Этот закон носит наименование обобщенного закона Ньютона, а жидкости, удовлетворяющие этому закону, называют ньютоновскими. [c.354]

О неоднородных, многокомпонентных и многофазных средах уже была речь в 13 гл. II. Там же были выведены основные уравнения динамики и термодинамики такого рода сред, но был оставлен в стороне вопрос о раскрытии сущности тензоров напряжений и Р, относящихся к г-й компоненте (фазе) и смеси в целом, а также дополнительных тензоров (см. формулу (72) гл. II). Чтобы сделать основную систему уравнений движения неоднородной среды замкнутой, необходимо дополнительно ввести количественные закономерности, связывающие только что упомянутые тензоры с характеристиками движения и состояния отдельных компонент (фаз) и смеси их в целом. Можно было бы думать, что такие количественные связи должны быть по форме аналогичными тем реологическим законам, которые только что были введены для несжимаемых ньютоновских и неньютоновских жидкостей, а в дальнейшем и для газов (см. начало гл. XI). [c.359]

Определяющие уравнения в этом случае позволяют вычислить только компоненты девиатора напряжений. Используя уравнения движения и граничные условия, можно определить шаровой тензор напряжений. Назовем поле девиатора статически возможным, если оно может быть дополнено некоторым шаровым тензором oqI, где оо — непрерывная и непрерывно-дифференцируемая функция координат до статически возможного поля напряжений. Для [c.150]

При линеаризации определяющих соотношений в начально-деформиро-ванной конфигурации необходимо исходить из уравнений движения (1.7.8) и граничных условий (1.7.9) и (1.7.10), заданных в векторном базисе актуальной конфигурации. Однако процесс варьирования в этой конфигурации представляется достаточно сложным в связи с тем, что возмущению должны подвергаться как описывающие напряженно-деформированное состояние функции (тензоры напряжений и деформаций), так и сама актуальная конфигурация (т. е. система координат, связанная с ее векторным базисом, а также определенный в этом базисе набла-оператор). [c.38]

Для газов, находящихся в локальном максвелловском равновесии, движение которых описывается уравнениями Эйлера, энтропия, согласно (5.23), переносится вместе с газом, т. е. энтропия макроскопических частиц газа сохраняется постоянной. В течениях неравновесного газа перенос Я-функции (негэнтропии) обусловлен, кроме того, теплопередачей, тензором напряжений и в случае функции распределения более общей, чем (5,21), другими факторами. [c.65]

В п. 2.2 получены кинематические зависимости, которые связывают относительную деформацию и вращение с первой производной от вектора смещения. Здесь введем, с одной стороны, уравнения связи для упругого тела, с помощью которых устанавливается зависимость между тензором относительных деформаций и тензором напряжений, и, с другой стороны, дифференциальные уравнения движения или равновесия, которые связывают градиент тензора напряжений с ускорением элемента таким образом, в последнем (имеется в виду ускорение) фактически неявно присутствует вторая производная от смещения. Однако прежде всего обратимся к вопросам кинематики и подсчитаем изменение кривизны поверхности предмета, при этом [c.154]

Основные уравнения. Начнем с вьшода уравнений конвекции для излучающей и поглощающей среды. Если пренебречь весьма малым вкладом радиационных поправок к тензору внутренних напряжений, то уравнение движения сохраняет свой обычный вид сохраняется также уравнение непрерывности. Основная роль излучения сводится к появлению в среде тепловыделения лучистой природы. В уравнении переноса тепла (25.1) мощность источников тепла может быть выражена в виде [c.195]

Некоторые применения тензорного анализа в механике 84 Уравнения движения материальной точки (84). Уравнение Лагранжа 2-го рода (84). Формула Громеки (86). Уравнения равновесия в криволинейной системе координат (87). Тензор скоростей деформаций (87). Связь между тензорами напряжений и деформаций (88). [c.6]

Для малой окрестности физической точки (частицы) среды установлены дифференциальные и интегральные уравнения сохранения массы, импульса (уравнения движения), сохранения энергии, баланса энтропии (уравнение притока тепла), а также уравнения, связывающие тензор напряжения и вектор теплового потока с деформациями, температурой и немеханическими заданными параметрами. Эти соотношения в принципе определяются, и притом однозначно, непосредственно в -опытах для всех возможных в частице процессов поскольку все входящие в эту сис тему равенств параметры измеряются приборами и системе удовлетворяют, группа параметров, названная реакцией (г), однозначно определяется группой процесса (я). Следовательно, для малой частицы решение суи ествует r(t)—г n(x)). Поэтому перечисленная система уравнений в МСС называется замкнутой для всех внутренних точек области движения среды. [c.157]

Мы, однако, ограничимся выводом основных уравнений движения вязкой жидкости из нескольких простых предпосылок. Для этого нам нужно будет вернуться ещё раз к разобранному уже в главе I части первой этой книги вопросу о деформации жидкой частицы, рассмотреть затем подробно вопрос о тензоре напряжений и установить, наконец, связь между напряжениями и деформациями. [c.371]

Тензор напряжений и соответствующая матрица напряжений симметричны относительно главной диагонали, так как касательные напряжения с одинаковыми, но расположенными в обратном порядке индексами равны между собой. В этом легко убедиться из рассмотрения уравнений движения [c.57]

Здесь р — тензор напряжения, определенный уравнением (9.11). Уравнение (9.20) является непосредственным обобщением уравнения (7.12) и представляет собой гидродинамическое уравнение движения. [c.340]

Присоединим к краевым условиям шесть определяющих уравнений, или уравнений состояния, выражающих, например, для упругого тела обобщенный закон Гука, зависимости между компонентами тензора напряжений и тензора деформаций для малых упруго-пластических деформаций, уравнения теории На-вье — Стокса в случае движения вязкой жидкости и т. д. В случае движения сжимаемой среды к краевым условиям присоединяется уравнение состояния и уравнение притока энергии. [c.46]

Квазиуравновешенное движение динамически возможно тогда и только тогда, когда по определяемому в нем вектору места может быть найден однозначный потенциал ускорений —выполнено условие (4). При этом условии тензор напряжений определяется уравнением [c.305]

В 1 введены в рассмотрение массовые и поверхностные силы, пояснено понятие о силовом тензоре (1.16). В 2—3 в рассмотрение введен тензор напряжений и приведены уравнения движения сплошной среды. Уточненное изложение содержания 1—3 см. в книге [5], [c.497]

Эти уравнения вместе с уравнением движения (16.9) составляют полную систему уравнений задачи. Она относится к системе уравнений первого порядка гиперболического типа относительно скорости V, составляющих тензора напряжений и тензора деформаций. Характеристиками этой системы (на основании (9.10)) являются прямые, уравнения которых имеют вид [c.176]

Система уравнений динамики жидкости, в которую входят уравнение неразрывности (2.3) и уравнения движения в напряжениях (2.6), является незамкнутой. Для замыкания эту систему необходимо дополнить соотношениями для компонент тензора напряжений [c.89]

Уравнение (5.30) называется вторым законом движения Коши. Уравнения (5.31) и (5.32) показывают, что вследствие этого закона тензоры напряжений и симметричны. Таким образом, из девяти компонент напряжения независимы только шесть. [c.29]

Рассмотрим тонкую пьезоэлектрическую пластину толщиной 2а в форме ленты, которая ограничена в направлении оси Л з величиной 21, бесконечна в направлении оси Хг и ориентирована в прямоугольной системе координат так, как показано на рис. 2.11. Пусть поверхности пластины с координатами ДГ1 = о покрыты бесконечно тонкими и идеально проводящими электродами, к которым подведено синусоидальное возбуждающее напряжение. Если рассматривать такой же тип колебаний, как и в разд. 2,3.2, то уравнения движения, выраженные с помощью составляющих тензора упругих напряжений, и уравнение для потока индукции можно записать в виде [c.59]

Одних только уравнений движения сплошной среды в напряжениях и уравнений несжимаемости недостаточно для нахождения поля скоростей (или поля смещений). Для определенности задачи необходимо еще охарактеризовать соотношение между компонентами тензора скоростей деформации (или тензора деформации или, в общем случае, некоторого кинематического тензора, построенного с помощью этих тензоров) и компонентами тензора напряжений, причем эти соотношения должны обладать некоторыми свойствами, определяемыми тензорностью величин. Связь между напряжениями, деформациями и их производными по времени называется уравнением (функцией) реологического состояния. Важным частным случаем уравнения состояния является уравнение течения, которое определяет собой зависимость между скоростями деформаций и напряжениями. Ниже рассматриваются, во-первых, задачи в условиях простого напряженного состояния, когда существует лишь одна составляющая тензора напряжений и соответствующая ей составляющая тензора скоростей деформаций, во-вторых (за исключением, когда это особо не оговаривается), только те случаи, когда скорость деформации — непрерывная однозначная 12 [c.12]

Здесь использованы уравнения движения (2.3), свойство сим-иетричиости тензора напряжений и выполнено интегрирование по частям с применением формулы Остроградского — Гаусса [c.43]

Компоненты тензора напряжений и проекции скорости должны удовлетворять уравнениям движения aij j=p(Vio + -j-VjViJ, а при квазистатическом течении, когда силами инерции можно пренебречь,—уравнениям равновесия [c.9]

В дифференциальные уравнения (3,8) входят три вектора осреднённого по времени тензора напряжений р ., Ру и р . Для установления связи этого тензора напряжения с вектором скорости осреднённого движения используется вторая гипотеза, согласно которой линейное соотношение между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций остаётся справедливым и при турбулентном движении, т. е. для полного турбулентного движения имеют место равенства [c.455]

Подводя итоги, следует отметить, что метод множителей Лагранжа оказался плодотворным в области механики сплошной среды. Этот метод позволил ввести в пределы лагранжевой механики классическое представление о тензоре напряжений и тензоре кинетических напряжений. Было обнаружено не рассматриваемое ранее поле напряжений, описываемое тензором ,1 . Это поле в линейном приближении не связано с законом движения элементов сплошной среды. При привлечении нелинейных членов в рассмотренных уравнениях эта связь может быть обнаружена. Такое утверждение основывается на составё ковариантных производных, входящих в уравнения движения и содержащих символы Кристоффеля, выраженные равенствами [c.51]

При обработке результатов экспериментов важное значение имеет выбор модели сплошной среды. Используя различные соотношения между девиатором тензора напряжений и девиатором тензора скоростей деформацш , получим разные уравнения, описывающие движение. С механической гочки зрения все модели, удовлетворяющие основным термодинамическим ограничениям, допустимы для описания течений и поэтому естественно вы делить те из них, которые, по возможности, наиболее просты и отражают основные характерные свойства материала. Возникает естественный вопрос, как оценить различие между решениями задач, соответствующих разным математическим моделям, если они получены, как ацпроксимации одного и того же экспериментального материала [c.79]

R. D. Mindlin [2.152] (1952) получил на основе трехмерных уравнений теории анизотропной электроупругости уточненные дифференциальные уравнения поперечных пьезоэлектрических колебаний пластин постоянной толщины. При этом он исходил из модели Тимошенко. По аналогии с работой для упругой пластины [2.1501 им получены граничные условия для электрического поля. В построенной модели учитывается взаимодействие упругих и электрических полей. Тензор напряжений и вектор поляризации зависят линейно от тензора деформаций и вектора напряженности электрического поля. Предполагается, что поверхности полностью покрыты электродами и потенциал, так же как и продольные перемещения, линейно изменяется по толщине. В случае плоской деформации и гармонического во времени движения система дифференциальных уравнений относительно продольного перемещения , прогиба W и электростатического потенциала ср имеет вид [c.124]

Е. Н. Kennard [3.118—3.121] (1953—1958) рассматривает задачу о малых упругих колебаниях круговой цилиндрической оболочки в развитии статьи [3.84]. Считая, что искомые функции являются аналитическими по z, автор разлагает в ряды по степеням z компоненты тензора напряжений и вектора перемещений. Пользуясь граничными условиями и общими соотношениями теории упругости, автор исключает слагаемые, содержащие производные от искомых величин по переменной г. Это позволяет вывести уравнения движения без привлечения гипотез о неизменяемости нормального элемента и получать уравнения с любой степенью точности, которая оценивается степенью h. Получены уравнения в перемещениях с точностью до включительно. В приближении тонких оболочек предполагается, что hIR очень мало и изменение любой функции вдоль срединной поверхности на расстояниях порядка h тоже мало. В этом случае, как полагает автор статьи, метод степенных рядов справедлив и законно усечение рядов. Показано, что несоблюдение второго условия может приводить к паразитным решениям. Проверкой служит предельный переход h 0. Если в этом случае мембранные уравнения имеют решение и притом единственное, то построенное приближенное решение действительно [c.189]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...