Вектор базиса

Это означает, что градиенты полей координат представляют собой векторы базиса, дуального к естественному базису. [c.31]

Поскольку рассматриваемая система координат декартова, векторы базиса всюду одинаковы, так что матрица в соотношении (3-6.4) совпадает с матрицей компонент (любого типа) тензора F (см. уравнение 3-1.41)) [c.123]

В этом примере в силу того, что векторы базиса изменяются вдоль траектории частиц, т. е. они различны при X (т) и Х(, вышеприведенная матрица не совпадает ни с одной из матриц компонент тензора F (см. уравнение (3-1.41)). [c.125]

Таким образом, векторы базиса совпадают с так называемыми главными осями тензора напряжений. [c.289]

Теорема 1.1.2. Для ортогональности линейного оператора необходимо и достаточно, чтобы он переводил ортонормированный базис в ортонормированную совокупность векторов, число которых равно числу векторов базиса. [c.19]

Рассмотрим случай произвольного координатного базиса е1, Сг, ез. Вообще говоря, будем полагать, что векторы е имеют различные модули. Произвольный вектор а можно разложить по векторам базиса II представить в следующем виде [c.49]

Отметим, что второе и четвертое из равенств (4.84) имеют место только тогда, когда за базисные векторы в XI выбраны образы векторов базиса в XI, что накладывает определенные ограничения на вид эквивалентных множеств направление дифференцирования на f и направление дифференцирования на Т должны быть связаны отображениями VP [c.174]

Здесь (/ — векторы базиса, взаимного к Gr, [c.278]

Примеры тензоров второго ранга (ранга 2). Как показывает формула (1.13), совокупность скалярных произведений (е,-, ej) векторов базиса (неортогонального) представляет собой совокупность координат некоторого тензора ранга 2 этот тензор называется метрическим. В ортонормированном базисе компоненты метрического тензора определяются по закону (1.14) совокупность чисел, обладающих свойством (114), называется символом Кроне-кера (или дельта-тензором) и обозначается через б,-/ по определению [c.311]

Векторные уравнения равновесия стержня в связанной системе координат. Чтобы получить уравнения равновесия в проекциях на координатные оси, необходимо представить векторы в соответствующем базисе, например в базисе е, , связанном с главными осями сечения. При этом надо иметь в виду, что от е зависят не только проекции соответствующих векторов, но и единичные векторы базиса, т. е. е,(е). Воспользовавшись формулой (П. 129), перейдем в уравнениях (1.31) — (1.35) к локальным производным [c.33]

Матрицы L устанавливают связь между векторами базисов е,о и e,j. связанных с произвольным сечением стержня (см. рис. П.З), до н после на-гружения стержня силами. [c.298]

Зная матрицу L< >, получаем соотношения, связывающие векторы базисов е/ и (i/), аналогичные соотношениям (П.37) [c.298]

Элементы матрицы [кц] характеризуют геометрию кривой, с которой связан трехгранник осей. Геометрический смысл величин щ, Иг и из устанавливается в п. 2.4. Аналогичные выражения можно получить и для производных векторов базиса е,о [c.301]

Производные по времени векторов базиса е . На рис. 1.1 показано положение координатных осей, связанных с некоторой кривой в два разные момента времени to и t. Точка осевой линии стержня, с которой связаны координатные оси, своего положения относительно стержня не меняет, т. е. з = = 0. В Приложении были получены соотношения, устанавливающие связь между базисными векторами ири изменении их положения в пространстве. Изменение в положении связанных осей может произойти вследствие двух причин изменения положения осей во времени при движении стержня (при фиксированной координате, s) (рис. 1.1) и изменения положения осей в пространстве в фиксированный момент времени /о, т. е. базисные векторы в общем случае зависят от двух независимых переменных i и з. В первом случае изменение положения осей зависит от изменения переменной I при фиксированном значении переменной , во втором случае изменение положения осей зависит от изменения. < при фиксированном значении 1. При движении стержня происходит непрерывное изменение положения осевой линии стержня. Для описания движения стержня и определения в каждый момент времени формы его осевой линии необходимо знать производные векторов е ( связанного базиса ио аргументам i и Производная [c.11]

Проекции уравнений (векторов 61 и Ьз) на оси, связанные с линией, проходящей через центры изгиба, получим, умножая скалярно 61 и 62 на векторы базиса е/ , т. е. bl ej —0 Ь2-е,= = 0 (/=1, 2, 3). После преобразований получаем следующую систему уравнений в скалярной форме [c.174]

Отмеченные три состояния можно рассматривать как непрерывные многообразия, в которых индивидуальные точки определены одними и теми же лагранжевыми координатами Обозначим векторы базисов лагранжевой системы координат Е в этих трех состояниях среды через [c.421]

Тройка некомпланарных векторов, определяющих направление в пространстве осей координат, называется базисом, а каждый из этих трех векторов — вектором базиса. [c.57]

Каждый из векторов базиса е, можно разложить по векторам исходного базиса [c.9]

Элементы матрицы (как и элементы любой матрицы поворота координатных осей) можно рассматривать как направляющие косинусы между векторами базисов [е а] и ij . [c.10]

Аналогичные выражения можно получить и для производных векторов базиса е,о [c.19]

В 2 при использовании произвольного базиса e i, например базиса, у которого е 2 и е связаны с главными осями сечения (рис. 1.19), был получен вектор и, характеризующий вращение базиса при перемещении по кривой. Этот вектор можно рассматривать как вектор Дарбу, разложенный по векторам базиса [c.31]

Производная векторной функции есть вектор, который можно разложить по векторам базиса [c.89]

Системы координат и векторы базиса [c.14]

Таким образом, ковариантные компоненты преобразуются с помощью той же матрицы, что и базисные векторы е,-, контравариантные —с помощью обратной. Это обстоятельство и объясняет название ковариантные в буквальном переводе означает сопреобразующиеся, контравариантные —противопре-образующиеся (по отношению к закону преобразования векторов базиса е,-). [c.314]

Пусть координатные линии, выбранные в среде в ее начальной конфигурации, состоят из материальных точек той же среды. Будем считать, что в процессе деформирования координатные линии продолжают состоять из тех же материальных точек. В результате деформации данная система координат Рх х х с ковариантньши базисными векторами ви, искажаясь непр ерывно вместе со средой, в одной из последующих конфигураций 5 примет некоторое положение. Конфигурация S может быть принята в К31 стве новой системы координат Рх х х с базисными векторами ек- В качестве системы отсчета, в которой определено перемещение, возьмем систему координат OAJo xo Xo с векторами базиса ek° (рис. 10). Систему oxq Xq Xq можно выбрать по усмотрению, а из систем координат [c.46]

Таким образом, вектор напряжения Рп на произвольной площадке, перпендикулярной вектору п и проходящей через точку М тела, полностью определяется тремя векторами напряжения/ i на координатных площадках, проходящих также через точку М. Вектори трн вектора pt разложим по векторам базиса 3ji [c.31]

Сумма неопределенных произведений из нескольких векторов базиса называется полиадой, а входящие в полиаду произведения называются полиадными произведениями. [c.57]

В частном случае, если количество векторов базиса, входящих в полиадное произведение, равно двум или трем, то полиада вырождается соответственно в диаду и триаду. Например, единичная диада, составленная из единичных векторов базиса трехмерного пространства, имеет вид ii + jj + кк. [c.57]

Тензором называется однородная полилинейная инвариантная форма полиадных произведений из векторов базиса [60 1. Числовые сомножители а ь...п полиадных произведениях (1) называются компонентами тензора. [c.58]

В предыдущем параграфе были получены выражения для производных по координате s единичных векторов базиса, связанного с пространственной кривой. Было наложено ограничение только на один из векторов базиса, а именно на вектор е- , который при перемещении базиса вдоль кривой всегда должен быть направлен по касательной к кривой.. Остальные два вектора г , и бз могли дополнительно поворачиваться (оставаясь взаимноортогональными) относительно вектора т. е. положение векторов ва и бз не было жестко связано с кривой. В результате были получены выражения для производной (1.52), в которые входят х,- — проекции вектора к, характеризующего внутреннюю геометрию кривой (кривизну и кручение). Рассмотрим более подробно геометрические свойства кривых. [c.24]

Для того чтобы получить в проекциях на неподвижные оси уравнение (3.4), надо представить вектор ное произведение ej X "Q в виде разложения по векторам базиса i/ . [c.76]

Найдем производные по времени векторов базиса е,-(s, i) . Положение трехгранника, связанного с некоторой кривой в моменты времени tf, и показано на рис. 4.1. Точка кривой, с которой связан хрехгранник, своего положения на кривой не меняет, [c.89]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...