Силы в сплошной среде. Тензор напряжений

Силы в сплошной среде. Тензор напряжений [c.53]

Распределение сил в сплошной среде. Объемные и поверхностные силы. Тензор напряжений [c.57]

И тем не менее, можно ввести однозначную функцию точки и времени, полностью характеризующую распределение поверхностных сил в сплошной среде, позволяющую в каждой точке определить напряжение на любой площадке, проходящей через эту точку. Но эта функция будет уже не вектором, а тензором второго ранга, который называется тензором напряжений. [c.239]

Тензор напряжений, являющийся однозначной функцией точки и времени, позволяет полностью характеризовать распределение поверхностных сил в сплошной среде. [c.241]

Осн. мерой механич. вз-ствия матер, тел в М. явл. сила. Одновременно в М. пользуются понятием момента силы относительно точки и относительно оси. В М. сплошной среды силы задаются их поверхностным или объёмным распределением, т. е. отношением величины силы к площади поверхности (для поверхностных сил) или к объёму (для массовых сил), на к-рые соответствующая сила действует. Возникающие в сплошной среде внутр. напряжения характеризуются в каждой точке среды касательными и норм, напряжениями, совокупность к-рых представляет собой величину, наз. тензором напряжений. Среднее арифметическое трёх норм, напряжений, взятое с обратным знаком, определяет величину, наз. давлением в данной точке среды. [c.415]

В кинематике сплошных сред, наряду с принятыми в кинематике дискретной системы точек понятиями перемещений, скоростей и ускорений, появляется характерное для сплошной среды представление о бесконечно малой деформации среды, определяемой тензором деформаций. Если рассматривается непрерывное движение текучей среды, то основное значение приобретает тензор скоростей деформаций, равный отношению тензора бесконечно малых деформаций к бесконечно малому промежутку времени, в течение которого деформация осуществилась. Как с динамической, так и с термодинамической стороны модель сплошной среды отличается от дискретной системы материальных точек тем, что вместо физических величин, сосредоточенных в отдельных ее точках, приходится иметь-дело с непрерывными распределениями этих величин в пространстве — скалярными, векторными и тензорными полями. Так, распределение массы в сплошной среде определяется заданием в каждой ее точке плотности среды, объемное силовое действие — плотностью распределения объемных сил, а действие поверхностных сил — напряжениями, определяемыми отношением главного вектора поверхностных сил, приложенных к ориентированной в пространстве бесконечно малой площадке, к величине этой площадки. Характеристикой внутреннего напряженного состояния среды в данной точке служит тензор напряжений, знание которого позволяет определять напряжения, приложенные к любой произвольно ориентированной площадке. Перенос тепла или вещества задается соответствующими им векторами потоков. [c.9]

По ходу доказательства можно заметить, что симметричность тензора напряжений была обусловлена отсутствием в среде непрерывно распределенных пар сил, объемных или поверхностных. В этом случае имеет место симметричная механика сплошных сред , симметричная теория упругости или симметричная гидродинамика , в отличие от соответствующих несимметричных механик, учитывающих наличие в сплошной среде непрерывно распределенных пар сил. Легко убедиться, что присутствие непрерывно распределенных источников притока массы не нарушило бы справедливости равенства (41) или условий симметрии тензора напрян ений (42) в сплошной среде. [c.63]

В написанных уравнениях функции F, П, е обычно известны. Искомые функции — р, v, т,к, М, я,, t. Таким образом, неизвестных больше, чем уравнений. Общих уравнений сохранения недостаточно для получения замкнутой системы уравнений, описывающей движение сплошной среды. В этих общих уравнениях нет информации о самой среде. Надо ввести модели сплошной среды, которые с некоторой точностью отражали бы действительные свойства жидкости и были бы достаточно удобны для получения замкнутой системы уравнений и ее решения. Во всех моделях, рассматриваемых в этой главе, тензор напряжений симметричен, в силу чего уравнение моментов количества движения приобретает вид (2.5) гл. IV. [c.70]

Напряжённое состояние сплошной среды, создаваемое действием объёмных и поверхностных сил, задаётся в каждой точке среды тензором напряжения Т В системе декартовых прямоугольных осей хуг этот тензор задаётся таблицей своих компонентов [c.9]

В 5 было показано, что уравнениям равновесия сплошной среды при отсутствии объёмных сил можно удовлетворить, выражая тензор напряжения Т через симметричный тензор функций напряжений ф [c.58]

Компоненты тензора напряжений в случае жидкостей и газов, в частности давление, не могут быть заданы на твердых, неизменных поверхностях. Здесь они определяют силы, действующие на твердые поверхности, а именно эти силы и подлежат определению при решении задач движения сплошной среды. Напряжения задаются на так называемых свободных поверхностях, являющихся поверхностями раздела двух жидких (газообразных) сред, вид которых определяется в процессе решения задачи (поверхность свободной струи и др.). Такие поверхности являются поверхностями разрыва в сплошной среде (см. Введение , 8), и рассмотрение условий течения среды у этих поверхностей позволяет сформулировать необходимые условия для жидкостей и газов (см. дальше). Для упругих сред значения компонент тензора напряжений могут быть заранее известны на граничных поверхностях. Тогда граничные условия имеют вид [c.423]

Первое слагаемое в правой части (61), выражающей плотность распределения мощности внутренних сил, по своей структуре напоминает обычнуЮ формулу мощности силы. Разница, однако, в том, что в случае дискретной силы мощность определяется как скалярное произведение векторов силы и скорости, а в сплошной среде плотность распределения мощности внутренних сил равна скалярному произведению тензоров напряжений и скоростей деформаций. Что касается второго слагаемого, то оно выражает секундную кинетическую энергию, добавляемую За счет секундного прироста массы М. [c.92]

Уравнения движения сплошной среды определяют в заданных полях массовых сил и скоростей дивергенцию тензора напряжений, но не напряженное состояние ее. Все процессы (движения и равновесия) происходят в соответствии с этими уравнениями будучи необходимыми условиями осуществимости процессов, они недостаточны для их полного описания, так как различные среды (материалы) по-разному реагируют на воздействие одной и той же системы сил (кусок глины, стальной стержень). Единые для всех сред общие теоремы механики — количеств движения, моментов количеств движения, из которых выведены уравнения движения, должны быть дополнены физическими закономерностями, определяющими поведение материалов различных свойств. Ими формулируются уравнения состояния (называемые также определяющими уравнениями) — соотношения связи тензора напряжений с величинами, определяющими движение частиц среды, если ограничиться только механической постановкой задачи (тепловые воздействия рассматриваются в гл. 9). Эксперимент является решающим в установлении этих закономерностей, но только в конечном счете . Неизбежно умозрительное рассмотрение с целью установить общие принципы построения уравнений состояния и классификации материалов. Лишь исходя из математической модели некоторого достаточно узкого класса материалов, можно извлечь сведения [c.80]

В 1 введены в рассмотрение массовые и поверхностные силы, пояснено понятие о силовом тензоре (1.16). В 2—3 в рассмотрение введен тензор напряжений и приведены уравнения движения сплошной среды. Уточненное изложение содержания 1—3 см. в книге [5], [c.497]

Уравнения (5.44), (5.46), (5.48), (5.49) и (5.50) связывают скорости деформации в сплошных средах различных типов с необратимой частью тензора напряжений. Всякое соотношение этого типа называется определяющим уравнением для рассматриваемой сплошной среды. Его следует дополнить некоторым утверждением, касающимся обратимой части тензора напряжений, -т. е., вообще говоря, некоторым соотношением типа (5.36), связывающим деформации с обратимыми напряжениями. В силу рассуждений п. 4.3, ясно, что тензоры VJ и можно поменять местами. Исходя из некоторой диссипативной функции [c.89]

Нелинейность в электродинамике появляется и по другой причине. Электрические и магнитные поля создают не только силы (квадратичные по полю) в проводниках, поляризующихся и намагничивающихся материалах (в пространственно неоднородных полях для последних двух случаев), но и моменты сил, которые, в частности, приводят к выстраиванию электрических и магнитных диполей вдоль приложенных электрического и магнитного полей соответственно, если такого упорядочивания не было ранее. Этот момент сил квадратично зависит от векторов электромагнитных полей. При макроскопическом описании сплошной среды наличие ненулевой плотности объемного момента сил проявляется в отсутствие симметрии тензора напряжений. Этим обстоятельством наряду с другими пренебрегают в классической линейной теории пьезоэлектричества, но оно очень важно при описании кристаллов сегнетоэлектрика и ферромагнетика. [c.13]

Часто приходится иметь дело с ограниченными твердыми телами, например цилиндрическими стержнями и пластинами. Растяжение таких ограниченных участков сред происходит иначе, чем растяжение сплошной среды. Рассмотрим однородное растяжение вдоль оси стержня со свободной боковой поверхностью. Направим ось Xi по оси стержня. Единственной отличной от нуля компонентой напряжения будет Стц, так как на боковых стенках стержня напряжения должны обращаться в нуль, а в силу однородности деформации компоненты тензора напряжений постоянны по всему телу. [c.444]

Соотношения (17) являются условиями симметрии тензора напряжении сплошной среды. Оно получено в предположении, что среди поверхностных сил нет пар сил, моменты которых следует дополнительно учитывать в (13). [c.550]

Обратим внимание на некоторое сходство структуры выражения (147) с мощностью силы F [равенство (9)], приложенной к точке, движущейся со скоростью v. В последнем случае мощность равна скалярному произведению F-v вектора силы на вектор скорости, в случае же сплошной среды плотность мощности внутренних сил равна также скалярному произведению тензора напряжений на тензор скоростей деформаций ( 78). [c.254]

Скалярное произведение тензора внутренних напряжений и тензора скоростей деформаций (PS) представляет собой работу внутренних сил в единице объема среды за единицу времени и выражается различным образом для разных моделей сплошной среды. [c.17]

Полная производная по времени от момента количества движения объема V сплошной среды с учетом собственных моментов равна сумме моментов внешних массовых и поверхностных сил, действующих на этот объем, и сумме собственных моментов, распределенных массовых и поверхностных сил. Переходя от поверхностных сил к тензору внутренних напряжений П по соотношению (1-2-19) и затем заменяя тензор напряжений П на тензор давления Р (Р = —П), уравнение (1-2-50) в отсутствие внешних сил (f=0) и внутренних сил и моментов (Т = К = 0) получаем в виде [c.19]

В первом томе их Теоретической физики (Механика, Физматгиз, М., 1958) Ландау и Лифшиц фактически утверждают, что симметрия трансляционного тензора (или же всей матрицы сопротивлений) не может быть установлена при помощи чисто механических аргументов, но скорее требует для своего доказательства использования статистической физики в форме, отраженной в принципе Онзагера. Это утверждение опровергается доказательством, данным в этой книге, хотя необходимо заметить, что для этого доказательства нужно, чтобы тензор давлений был симметричным. Симметрия же последнего не вытекает из общих принципов механики сплошных сред, если допускается наличие объемных пар сил и соответствующих напряжений (см. прим. 1 в разд. 2.1 на стр. 39). [c.191]

В механике сплошных сред часто приходится рассматривать скорости изменения напряжений. Для их описания тензор S мало подходит. Действительно, пусть, например, балка, растянутая в направлении оси, поворачивается при фиксированной растягивающей силе, т. е. [c.158]

Движение элемента среды в виде бесконечно малого параллелепипеда, грани которого параллельны координатным плоскостям, определяется приложенными к нему силами. К их числу относятся напряжения—компоненты тензора (1.1), а также массовые силы с компонентами X, У, и инерционные силы от ускорений гюх, хЮу, Подсчитав эти силы и приравняв нулю суммы их проекций на координатные оси, получим дифференциальные уравнения движения сплошной среды [c.11]

Так как компоненты тензора напряжений удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия (1.10) без массовых и инерционных сил, то, имея в виду кинематические уравнения типа (1.17), получаем справедливое для любой сплошной среды тождественное соотношение [c.17]

В основе моментной теории упругости лежит идеально упругая (изотропная или анизотропная) модель сплошной среды, взаимодействие между элементами которой осуществляется при помощи центральных сил (напряжений) и внутренних моментов (моментных напряжений). При этом тензоры напряжений и моментных напряжений являются несимметричными. [c.340]

В зависимости от задания тех или иных физических свойств сплошной среды, а следовательно, и вида тензора напряжений, в дальнейшем будут получены разнообразные вырал ения для плотности распределения мощности внутренних сил в движущейся сплошной среде. Знание этой величины очень важно для определения необратимой части потерь механической энергии, соответствующей мощности сил внутреннего трения в среде. [c.92]

Тело, которое занимает деформированную конфигурацию Я и к которому приложены объёмные силы во внутренних точках, т. е. в точках а на части ГТ = (р(Г1) его границы приложены поверхностные силы ( 2.1), находится в состоянии статического равновесия, если выполнен фундаментальный принцип Эйлера— Коши для напряжений ( 2.2). Эта аксиома является основой механики сплошных сред. Из неё вытекает знаменитая теорема Коши (теорема 2.3-1), согласно которой существует поле симметрических тензоров такое что [c.90]

В некоторых новых теориях механики сплошной среды появляются тензоры напряжений, не являющиеся симметричными. В этих теориях либо допускаются моменты, не являющиеся моментами сил, либо плотность момента количества движения не есть просто момент плотности количества движения, либо имеют место оба эти обстоятельства. В этом курсе в качестве локальных формулировок принципов баланса количества движения и момента количества движения нам будет достаточно классических законов Коши, и упомянутые более общие идеи нам не понадобятся. [c.143]

Осн. мерой механич. взаимодействия материальных Е (Юл в М. является сила. Одновременно в М. пользуются ВОВЯтием момента силы относительно точки и относи-"Ильно оси. В М. сплошной среды силы задаются их яоверхностным или объёмным распределением, т. е. ношением величины силы к площади поверхности (для поверхности сил) или к объёму (для массовых сил), яа к-рые соответствующая сила действует. Возникающие сплошной среде внутр. напряжения характеризуется в каждой точке среды касательными и нормальны-напряжениями, совокупность к-рых представляет величину, называемую тензором напряжений. [c.127]

Эти воздействия частей среды друг на друга определяют поле внутренних сил — поле напряжений в сплошной среде. Его количественные характеристики изменяются не только от точки к точке, как в скалярных полях, но и в данной точке ему нельзя сопоставить определенного направления, как в случае векторных полей. Величина, задающая поле напряжений, должна опре.аелять вектор ti dO в каждой точке поля и для каждой ориентированной площадки N dO в этой точке (или вектор trr по вектору Л ). Это значит, что физическое состояние, названное полем напряжений, определяется величиной, сопоставляющей одному вектору N другой Если принять, что связь между этими векторами линейна (этот вопрос рассмотрен в следующем п. 1.4), то такой величиной служит тензор второго ранга ). Рис. 1, в данном случае тензор напряжения. Он [c.18]

Предметом рассмотрения в механике и математической физике являются инвариантные величины они не зависят от выбора координатного базиса и определяются собственными свойствами изучаем010 объекта. Инварианты могут быть скалярами (энергия, работа, масса, температура), векторами (скорость, ускорение, сила), тензорами (тензор инерции в точке тела, тензоры деформаций и напряжений в сплошной среде), а также их функциями—диадное, скалярное и векторное произведения векторов, произведение тензора на вектор и т. д. [c.787]

Впервые понятие тензор появилось в связи с необходимостью количественно описать напряжения поверхностных сил, приложенных к граням частицы сплошной среды (tension — напряжение). [c.201]

Современное состояние вопроса общего математического описания дисперсных систем нельзя признать до-статочло удовлетворительным, несмотря на растущий интерес к этой проблеме. Каж травило, в работах, шо-священных этому вопросу, фактически используется феноменологический подход к исследованию дисперсного потока в целом. Идея условного континуума п03(В0Ляет полностью использовать математический аппарат механики сплошных сред, но несет с собой погрешности физического порядка тем более существенные, чем значительней макроднскретность системы. Системы таких уравнений, полученные рядом авторов как общие, все же не охватывают класс дисперсных потоков во всем диапазоне концентраций (вплоть до плотного движущегося слоя). Они не учитывают качественного изменения структуры потока и в связи с этим изменения закономерностей распределения частиц, появления новых сил (например, сухого трения), изменения с ростом концентрации (до предельно большой величины) условий однозначности и пр. В основном большинство работ посвящено турбулентному течению без ограничений по концентрациям, хотя при определенных значениях р наступает переход к флюидному транспорту, а затем — плотному слою. Сама теория турбулентности применительно к дисперсным потокам находится по существу в стадии становления (гл. 3). Наиболее перспективные методы — статистические (вероятностные) применяются мало, по-видимому, в силу недостаточной изученности временной и пространственной структур дисперсных систем Общим недостатком предложенных систем уравнений является их незамкнутость, которая объясняется отсутствием конкретных данных о тензорах напряжений и [c.32]

Поверхностные силы для выделенной частицы сплошиой среды являются аналогом распределенных по поверхности сил реакций связей для твердого тела, которые рассматривались в статике. Через каждую точку пространства могут проходить поверхности многих выделенных частиц сплошной среды. Возникает задача определения таких величии в рассматриваемой точке, через которые можно выразить напряжение на элементе поверхности любой из частиц, проходящих через эту точку. Для этого достаточно знать в точке так называемый тензор и а п р я ж е н и й. [c.544]

В предыдущих подразделах приложения тензоры различного ранга рассматривались как некоторая математическая абстракщга, характеризуемая определенным количеством компонэтт, каждая из которых при повороте множества координат преобразуется по закону (П1.26). В основном тексте учебника параметры движения сплошных сред представляются как соответствующие физические аналоги тетзоров различного ранга. Так, плотность, масса, объем, температура, мощность не зависят от ориента1дш множества координат и дня их математического описания используются тензоры нулевого ранга или скаляры перемещение, скорость, ускорение, сила, напряжение описываются с помощью тензоров первого ранга или векторов параметры деформированного и напряженного состояний окрестности движущихся материальных частиц - с помощью тензоров второго ранга вычисление объема Q непрямоугольного параллелепипеда с ребрами а, Ь и с в декартовом множестве координат [c.250]

В главе 1 кратко рассмотрены общие нелинейные соотношения механики сплошных сред, приведены необходимые обозначения и выделены две энергетические пары тензоров напряжений и скоростей деформаций, свертки которых определяют мощность внутренних сил. Обсуждаются подходы и методы решения задач численного моделирования динамических волновых процессов и разрушехшя. [c.6]

По ходу доказательства можно заметить, что симметричность тензора напряжений обусловлена отсутствием в среде непрерывно распределенных моментов объемных или поверхностных сил. Вот почему в этих условиях говорят о симметричной механике сплошных сред , о симметричной теории упругости или симметричной гидродинамике , в отличие от соответствующих несимметричтях механик для сред, допускающих наличие распределенных пар сил. [c.90]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...