Базис

Часто используется также альтернативное представление векторов (и тензоров) в виде упорядоченных систем чисел, называемых компонентами. По сравнению с геометрическим представление посредством компонент имеет то неудобство, что оказывается зависящим от векторного базиса и, следовательно, зачастую от системы координат, т. е. при изменении векторного базиса данный вектор (стрелка в пространстве) будет менять свои компоненты. [c.16]

Векторный базис — это система трех векторов, не все из которых параллельны одной плоскости. Если базисные векторы взаимно ортогональны и имеют единичную длину, то базис называется ортонормальным. Если задан векторный базис е , 63, то произвольный вектор а может быть выражен через базисные векторы посредством операции умножения на скаляр и сложения [c.16]

Упорядоченная система чисел a , а , однозначно связана с вектором а и составляет систему компонент вектора а относительно выбранного базиса. [c.16]

Если координатная система введена, то обычно в каждой точке пространства выбирают векторный базис, называемый естественным базисом и определяемый как [c.16]

Оказывается также удобным в каждой точке пространства ввести еще один базис, дуальный естественному базису, векторы которого обозначаются через е , е, е . Два базиса являются [c.17]

До сих пор мы рассматривали тензоры и тензорные операции, не привлекая понятия компонент тензора. С такой ситуацией мы уже сталкивались при рассмотрении векторов, когда наглядно представляли их в виде стрелок в пространстве. С введением векторного базиса е , е , бд компоненты тензора в выбранном базисе можно определить как [c.23]

Как мы видели при обсуждении компонент вектора, векторный базис, вообще говоря, связан с некоторой координатной системой. Используя естественный базис и дуальный, ему базис е можно определить следующие типы тензорных компонент [c.23]

Специальное замечание следует сделать о компонентах единичного тензора 1. Согласно уравнениям (1-3.17) — (1-3.20), эти компоненты представляют собой скалярные произведения векторов естественного и дуального к нему базисов. [c.26]

Имеются две категории скалярных функций тензорного аргумента те, для которых указанное соотношение зависит от выбора некоторой другой величины, и те, для которых это соотношение определяется единственным образом. Последние называются инвариантами, или изотропными функциями. Например, соотношение, которое ставит в соответствие любому заданному тензору одну из его компонент, является скалярной функцией, которая зависит от выбора векторного базиса. Так, соотношение [c.27]

Следует подчеркнуть, что, хотя след обычно вычисляется при помощи уравнения (1-3.37), его значение не зависит от базиса, в котором выражены компоненты. Это оправдывает название первый инвариант тензора А (обозначаемый символом 1д ), которое используется параллельно с названием след тензора А. [c.28]

Можно показать также, что значение Шд может быть вычислено как детерминант матрицы компонент тензора А в произвольном ортонормальном базисе. [c.29]

Это означает, что градиенты полей координат представляют собой векторы базиса, дуального к естественному базису. [c.31]

Здесь суть три вектора, образующие базис, а — векторы, образующие соответствующий дуальный базис. Для того чтобы доказать первое из этих тождеств, применим сумму трех диад е/,е к произвольному вектору а. На основании уравнений (1-2.7) и (1-2.5) имеем [c.77]

Среди возможных систем координат наибольшую важность для практических целей имеют ортогональные системы координат. Эти системы таковы, что во всех точках векторы естественного базиса являются взаимно ортогональными (хотя и не обязательно имеют единичную длину). Наряду с декартовыми координатами известными примерами ортогональных систем являются цилиндрическая и сферическая системы координат. [c.79]

При использовании ортогональных координатных систем часто оказывается полезным рассмотреть физические компоненты векторов и тензоров. Так называются их компоненты относительно, ортогонального базиса, образованного векторами, имеющими те же самые направления, что и векторы естественного базиса (который, кроме того, совпадает с дуальным). [c.79]

Векторы ортогонального базиса, связанного с естественным базисом (или его дуальным) ортогональной системы координат, будут обозначаться через е(г). Поскольку они имеют единичную, длину, то задаются как [c.79]

Для координатных систем, не являющихся ортогональными, также можно говорить о физических компонентах при условии, что выбран векторный базис, составленный безразмерными векторами единичной длины. Однако в этом случае выбор неоднозначен. Можно взять векторы единичной длины, имеющие те же самые направления, что и векторы естественного базиса. В качестве альтернативы можно выбрать также векторы, имеющие направления векторов дуального базиса. В соответствии с этим мы определяем физически контравариантные компоненты или физически ковариантные компоненты векторов. Аналогичные замечания можно высказать и в отношении тензоров. Мы не будем использовать каких-либо компонент такого типа. [c.81]

Эта матрица постоянна в пространстве, и векторный базис также является постоянным в декартовой системе таким образом, т — постоянный тензор и [c.84]

В вышеприведенных уравнениях (Xt) есть естественный базис в точке Xj, в то время как в (X) — естественный базис в точке X. Эти два базиса в общем случае различны. [c.97]

Обратим теперь внимание на дифференцирование тензоров по времени. Следует подчеркнуть весьма важное обстоятельство производные по времени компонент тензора не являются компонентами производной тензора по времени. Это особенно ясно можно представить, учитывая, что даже компоненты постоянного тензора могут иметь отличные от нуля производные по времени. Действительно, базис, по отношению к которому определены компоненты, может изменяться со временем по одной или двум следующим причинам [c.113]

Для течений четвертого порядка матрица компонент тензора N в соответствующем ортогональном базисе имеет вид [c.122]

Поскольку рассматриваемая система координат декартова, векторы базиса всюду одинаковы, так что матрица в соотношении (3-6.4) совпадает с матрицей компонент (любого типа) тензора F (см. уравнение 3-1.41)) [c.123]

Поскольку у и равны нулю, а вектор естественного базиса в направлении г имеет единичную длину, уравнения (3-6.13) можно также интерпретировать как соотношения, определяющие контравариантные компоненты скорости. Таким образом, можно записать [c.125]

В этом примере в силу того, что векторы базиса изменяются вдоль траектории частиц, т. е. они различны при X (т) и Х(, вышеприведенная матрица не совпадает ни с одной из матриц компонент тензора F (см. уравнение (3-1.41)). [c.125]

Тензор D можно получить из С при помощи уравнения (3-2.17). Поскольку ортогональный базис физических компонент не изменяется вдоль траекторий частиц (которые, кстати, радиальны), матрица физических компонент тензора D получается из [c.126]

При анализе течений с предысторией постоянной деформации зачастую полезно рассматривать ортонормальный вращающийся базис Ь>1 (т), определенный следующим образом [c.170]

Из уравнения (5-1.13) следует, что матрица [ГМь не зависит от t, а зависит лишь от временного сдвига по матрично-экспоненциальному закону. Обратно, если удастся показать, что для некоторого заданного течения матрица [Р ]ь имеет вид (5-1.13) с некоторым ортонормальным вращающимся базисом Ь , то рассматриваемое течение принадлежит к специальному классу течений с предысторией постоянной деформации, определяемому частным видом матрицы [N]g. [c.171]

Поскольку система координат ортогональна, можно рассматривать ортонормальный базис [c.171]

Ортонормальный базис е к) (X) можно отождествить с вращающимся ортонормальным базисом типа базиса (5-1.10), записав [c.171]

Действительно, и g , определенные в (5-1.18) и (5-1.19), связаны один с другим гладкой ортогональной тензорной функцией, значения которой совпадают с единичным тензором при х = t. Таким образом, имеем относительно базиса Ь , определенного выше, [c.171]

Поскольку правую часть уравнения (5-1.20) легко вычислить, можно проверить, имеет ли матрица [FMb вид (5-1.13). Разумеется, если она не имеет такого вида, течение все же может принадлежать к исследуемому классу течений с предысторией постоянной деформации, поскольку может существовать другой вращающийся ортонормальный базис, в котором [F ]b имеет требуемый вид. На практике, однако, симметрия интересующих нас течений [c.171]

Постоянная к называется скоростью сдвига. Вспоминая, что тензор N имеет единичный модуль, если он удовлетворяет уравнению (5-2.1), утверждаем, что существует ортонормальный базис hfe, в котором матрица тензора N имеет вид [c.177]

Конечно, при любом ортонормальном базисе из уравнения (5-2.1) следует, что [c.177]

Рассматривая ортогональный тензор Q, матрица которого в базисе есть [c.178]

Матрица [Nig не является матрицей вида (5-2.2). Это означает, что базис gf , определяемый уравнением (5-1.19), не совпадает с базисом hfe. Конечно, существует ортогональный тензор, который преобразует в h [c.181]

Предел этого отношения при Y, стремящемся к X, т. е. при -> -> О, есть вектор ej. Векторы и получаются аналогично. Таким образом векторы естественного базиса в любой точке касательны к трем кривым, проходящим через X, вдоль которых меняется только одна координата (рис. 1-1). Этот базис, ворбще говоря, не [c.17]

Как видно из рис. 1-1, базис, дуальный естественному, в каждой точке образуется векторами, ортогональными трем поверхностям, проходящим через точку X, вдоль которых одна из координат остается постоянной. Если система координат декартова, то векторы естественного базиса совпадают с соответствующими векторами дуального базвса во всех точках, как для любого ортонормального базиса. [c.18]

Компоненты произвольного вектора в базисе, дуальном естественному, называются ко вариантными. Различие между ковариан-тными и контравариантными компонентами имеет смысл только по отношению к существованию какой-либо координатной системы. Если два взаимно дуальных базиса выбраны независимо от акой бы то ни было системы координат, не существует способа оказать предпочтение одному перед другим, и компонентам вектора в каждом из базисов не могут быть присвоены различные наименования. [c.18]

Тензор Q преобразует ортонормальный базис в другой ортонор-мальный базис, отличающийся от первоначального только ориентацией базисного вектора в направлении третьей координатной оси следовательно, он представляет несущественный поворот.) Отсюда сразу же видно, что [c.178]

Физика твердого тела (1985) -- [ c.12 ]

Техническая энциклопедия Том15 (1931) -- [ c.0 ]

Теория твёрдого тела (1972) -- [ c.37 ]

Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля (0) -- [ c.84 ]

Физика твердого тела Т.2 (0) -- [ c.0 , c.87 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...