Решение уравнения V4 0 в эллиптических координатах

Используя свойства функции Матье, убеждаемся в том, что решение (54.25) удовлетворяет уравнению (54.24), условиям излучения (54.8), а также второму граничному условию (54.23). Кроме того, оно удовлетворяет условиям симметрии и периодичности. Первое условие (54.23) в эллиптических координатах примет вид [c.434]

Понятие об эллиптических элементах. В 2 для изучения общего решения уравнений движения точки, притягиваемой неподвижным центром по закону Ньютона, мы пользовались частной системой координат, подсказанной, так сказать, природой самой задачи (плоскость ху совпадала с плоскостью движения, полюс находился в центре силы и в эллиптическом случае полярная ось была направлена вдоль большой оси орбиты в сторону перигелия). Но иногда удобнее пользоваться общей системой координат это становится прямо необходимым, когда имеется в виду совместное изучение нескольких решений задачи, например изучение (эллиптических) движений двух или нескольких планет вокруг Солнца. [c.205]

Решение. В задаче 3.66 были найдены коэффициенты Ламе для эллиптических координат т , и т 2, связанных с декартовыми координатами уравнениями [c.416]

Переходи.м к случаю эллиптических координат р, v, определенных в п. III. II. Разыскивая решение уравнения Лапласа (III. 11.25) в виде произведений Ляме [c.893]

Решение уравнения 7 = О в эллиптических координатах. [c.459]

В такой качественной постановке принцип можно распространить на квазиконформные отображения, осуществляемые решениями сильно эллиптических систем, уравнения в характеристиках которых не содержат координат и имеют вид [c.106]

После решения уравнения (22) находим распределение нормального давления па границе контакта — <т из второго соотношения (4) в координатах, направленных по касательной и нормали к границе контакта. Затем интегрированием распределения нормальных и касательных напряжений находим вертикальную силу ТУ, горизонтальную силу Г и момент М относительно центра эллипса, которые действуют на эллиптический цилиндр со стороны пластической области [c.587]

Другой подход к построению обтекания тел вращения в несжимаемой жидкости связан с представлением решения уравнения Лапласа в форме ряда частных решений. Каждый член этого ряда является произведением функций Лежандра первого и второго рода. Для удлиненных тел вращения удобно использовать эллиптическую систему координат. В частности. [c.90]

Хотя уравнения пограничного слоя значительно проще уравнений Навье — Стокса, все же в математическом отношении они остаются настолько трудными, что ПО поводу их решений можно сделать только немного общих выводов. Необходимо прежде всего отметить, что уравнения Навье — Стокса являются относительно координат уравнениями эллиптического типа,, в то время как уравнения Прандтля для пограничного слоя принадлежат к параболическому типу. Упрощающие допущения, положенные в основу вывода уравнений пограничного слоя, привели к тому, что стало возможным принимать давление поперек пограничного слоя постоянным, а давление вдоль стенки считать совпадающим с давлением внешнего течения и поэтому рассматривать его как заданную функцию. Эти обстоятельства сделали ненужным уравнение движения в направлении, перпендикулярном к стенке,, что с физической точки зрения можно истолковать следующим образом частицы жидкости при своем движении поперек пограничного слоя не обладают массой и не испытывают замедления вследствие трения. Очевидно что при столь глубоком изменении уравнений движения следует ожидать что их решения могут иметь некоторые особые математические свойства,, и, наоборот, нельзя ожидать, чтобы результаты вычислений во всех случаях совпадали с результатами наблюдения действительных течений. [c.142]

Мы можем затем выразить координаты Солнца (относительно С), входящие в Р. по формулам эллиптического движения через в,, е, и т. д., где вр в, и т. д.—постоянные. Отметим в этой связи различие между теорией Луны и теорией планет. В последнем случае координаты возмущающего тела подставляются в возмущающую функцию в виде алгебраических функций, представляющих решение уравнений невозмущенного движения, но в,, б, и т. д. являются уже не постоянными, а фактически новыми переменными, удовлетворяющими уравнениям Лагранжа. Это будет сказываться на членах второго порядка в возмущениях рассматриваемой планеты. [c.132]

Если в какой-нибудь точке потока скорость потока V превзойдет местную скорость звука с, то коэффициент при д Ф дх станет отрицательным, так что координата X войдет как бы на одних правах с временем уравнение эллиптического типа относительно координат превратится в уравнение гиперболического типа. Эти два типа уравнений коренным образом отличаются друг от друга. Гиперболическое уравнение имеет разрывные решения, которые не определяются однозначно граничными условиями. Простой пример этому будет приведен ниже. [c.108]

В этих новых координатах решение дисперсионного уравнения с граничными условиями (43) эквивалентно решению канонической эллиптической системы [c.208]

Общая постановка проблемы Солнце, Юпитер, Сатурн в центробарических координатах. Введение функции Г и ее вариации ov. Решение приближенных уравнений. Возмущения Юпитера, полученные и сравненные с результатами Лапласа. Возмущения Сатурна. Приближенное выражение восьми элементов орбиты через начальные координаты и скорости. Выражения для живой силы. Выражения для возмущений. Выражения для вариации постоянных. Характеристическая функция для эллиптического движения [c.917]

При =1 это обычные характер истики полной системы уравнений газовой динамики, и единственным упрощением является совпадение их формы в криволинейных и местных декартовых координатах. При М<1 система (6.3.13) имеет комплексные характеристики и будет, следовательно, эллиптической, а при М>1 — действительные характеристики и будет гиперболической. Поэтому математическая постановка и принципиальные особенности решения этой задачи не изменяются и не упрощаются при k—>-0. Решения, в том числе форма ударной волны, как и в точной постановке задачи, будут зависеть не от локальной формы тела, а от формы его во всей дозвуковой и трансзвуковой области течения. [c.169]

Первые 6 лекций Якоби посвящает изложению основных принципов механики принципу сохранения движения центра тяжести системы, принципу живой силы, принципу площадей и принципу наименьшего действия. С 10-ой лекции Якоби развивает теорию множителя" систем обыкновенных дифференциальных уравнений, являющуюся обобщением теории эйлеров-ского интегрирующего множителя. Якоби показывает каким образом можно в целом ряде случаев построить с помощью последнего множителя" всю систему п независимых интегралов. Изложив подробно теорию этого множителя, Якоби затем применяет ее к решению ряда механических задач. С 19-ой лекции Якоби, исходя из вариационного принципа Гамильтона, излагает тот метод интегрирования уравнения с частными производными первого порядка, который известен под названием метода Якоби-Гамильтона". В следующих лекциях этот метод примендется к ряду задач, взятых главным образом из области небесной механики. В 26 лекции Якоби излагает теорию эллиптических координат и показывает их приложение к разысканию геодезических линий эллипсоида, к задаче построения карт, к выводу основной теоремы Абеля и проч. Наконец, последние лекции Якоби посвящены изложению его классических методов интегрирования нелинейных уравнений в частных производных первого порядка. [c.4]

Изложенный в предыдущих параграфах метод исследования продольного и поперечного обтеканий тел вращения, основанный на непосредственном решении уравнения Лапласа в эллиптических координатах, не является единственным методом решения этой задачи. Первоначально формы обтекаемых тел вращения для дирижаблей определялись наложением однородного, параллельного некоторой оси потока на поток от системы источников (стоков), распределенных вдоль той же оси. Для этой цели применялись вначале дискретные особенности потока — системы источников (стоков) или диполей, а впоследствии — непрерывные йх распределения. [c.299]

Успех Б решении указанных задач механики и геометрии объясняется возможностью разделения переменных в уравнении в частных производных (33) при введении эллиптических координат. Следует сказать, что функция S определяется в простом виде в том случае, когда возможно ввести та-1сую систему обобщенных координат, которая позволила бы разделить переменные в уравнениях Гамильтона — Якоби. [c.20]

Уравнения Эрнста возникают в обшей теории относительности как двумерные редукции уравнений Эйнштейна для гравитационных полей в вакууме. В случае стационарных полей с осевой симметрией эти уравнения могут быть записаны в весьма элегант1гой форме [49] в виде одного нелинейного (квазилинейного) уравнения эллиптического типа для одной неизвестной комплексной функции Е(р,г), называемой потенциалом Эрнста. В другом двумерном случае, когда искомое решение зависит от времени и одной из пространственных координат, как, например, в случае плоских цилиндрических волн, а также для решений космологического типа, возникает аналогичное уравнение, но уже волнового (гиперболического) типа, которое также принято называть уравнением Эрнста. [c.42]

Как и в случае конечномерных динамических систем, в области задач об оптимальном управлении системами с распределенными параметрами сохраняют полную работоспособность усовершенствованные методы классического вариационного исчисления. При этом и здесь основное внимание было уделено составлению необходимых условий минимума для экстремальных задач со связями, трактуемыми как проблема Майера — Больца. Главным образом это было сделано для задач, связанных с уравнениями эллиптического типа. Было показано, что в таких типичных задачах, возникающих из проблем оптимального управления, необходимые условия стационарности (уравнение Эйлера и естественные граничные условия, а также условия Вейерштрасса Эрдманна) составляются при помощи обычных приемов. Критерии опираются снова на множители Лагранжа которые здесь зависят уже обычно от пространственных координат, а соответствующие дифференциальные уравнения снова конструируются исходя из подходящих форм функции Гамильтона. Условия стационарности дополняются необходимым условием Вейерштрасса сильного относительного минимума. Разумеется, это условие, которое записывается через условие экстремальности функции Гамильтона на оптимальных решениях, имеет смысл, аналогичный соответствующему условию принципа максимума. Важно, однако, заметить, что при работе с модификациями классических методов вариационного исчисления в случае уравнений с частными производными проявляются некоторые новые черты. В результате получаются условия оптимальности, более сильные, нежели известные в настоящее время обобщения принципа максимума на системы, описываемые уравнениями в частных производных. Упомянутые черты проявляются, в частности, в связи с тем обстоятельством, что приращение минимизируемого функционала при изменении объемного управления (за счет варьирования от оптимального управления) в пределах области достаточно малой меры зависит не только от вариации управления и меры области, но также существенно определяется и предельной формой области варьирования. Таким образом, получается, что при изменении формы области, определяющей вариацию, могут, получаться более или менее широкие необходимые условия экстремальности. Как отмечено выше, эффект анизотропии варьирования пока был получен только классическими методами. Причины этого, по-видимому, различны некоторые работы, посвященные принципу максимума, относятся к таким задачам, где этот эффект вообще не проявляется, в других случаях эффект анизотропии исключался вследствие ограничения при исследованиях лишь вариациями специального вида. Полезно также заметить, что описываемый эффект анизотропии расширяет возможность управления и оптимизации в обширном классе случаев независимо от типа исходных уравнений. Эффективность классических методов вариационного исчисления была проверена на конкретных типах задач. В частности, таким путем была исследована задача об оптимальном распределении проводимости электропроводной жидкости (газа) в канале магнитодинамического генератора электрической энергии. Эта задача как раз доставляет пример вариационной проблемы, где эффект анизотропии варьирования играет существенную роль. Развитию классических методов исследования посвящены работы К. А. Лурье. [c.239]

Большое значение для изучения плоских течений несжимаемой жидкости с помощью теории функций комплексного переменного сыграли монографии В, В. Голубева Теория крыла аэроплана в плоскопараллельном потоке (1927) и Л. И. Седова Теория плоских течений идеальной жидкости (1939), Л. И. Седов в этой монографии ввел в теорию обтекания тонкого профиля метод выделения особенностей на кромках профиля, позволивший ему найти в замкнутом виде решение задачи об отыскании интегральных характеристик тонкого профиля, подъемной силы, момента сил. Решение задачи обтекания профиля может быть получено также в виде рядов, составленных из фундаментальных функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа. Такое решение для симметричного профиля было получено Я. М. Серебрийским (1945), причем решение уравнения Лапласа находилось в Эллиптической системе координат в виде ряда для потенциала скорости. [c.86]

Рассмотрим решение уравнения Максвелла (3.256), (3.257) внутри зоны (канавки). Для этого сначала рассмотрим задачу о распространении электромагнитной волны внутри наиравдающей структуры (волновода). Предположим, что сечение вошовода представляет собой область, расположенную между двумя парами кривых, которые являются координатными линиями одной из криволинейной системы координат эллиптической, параболической, цилиндрической жлж декартовой. Название системы координат совпадает с названием кривой второго порядка, которая описывает сечение направляющей стру , ,ур Стецщ направляющей структуры будем считать идеально проводящими. Введем ортогональные криволинейные координаты по формулам X = х и, и), / = у и, ю). [c.196]

Функция S может быть решением уравнения эйконала. В рассматриваемом случае удобно ввести систему эллиптических координат, определяемую выражениями (2.7.10), с ограниченными переменными fl > О и —ж р < Условию ц = onst соответствуют эллипсы с фокусами в точках х = Ь, в то время как граница резонатора определяется кривой ц = При этом простой способ решения уравнения эйконала состоит в поиске решений вида (см. разд. 2.12 координату р не надо путать с частотой р) [c.491]

Q = rot в каждый момент времени остается постоянным в пространстве и одинаковым для всех жидких частиц. В рассматриваемой гидродинамической системе имеются три линейно независимых поля скорости, каждое из которых соответствует стационарному однородному эллиптическому вращению жидкости вокруг какой-либо из трех главных осей эллипсоида. Эти стандартные бездивергент-ные векторные поля скорости, которые, очевидно, зависят от координат, касаются границы области, т. е. удовлетворяют граничному условию (2), и являются точными решениями уравнения Гельмгольца (1). С помощью таких опорных полей можно описать более сложное течение жидкости в эллипсоидальной полости, в котором скорости жидких частиц зависят от времени, но по-прежнему являются линейными функциями их координат. [c.28]

Определение положения тела, двигающегося по параболической орбите (144) — 92. Уравнение, связывающее два радиуса и хорлу. Уравнение Эйлера (146)—93. Определение положения тела, двигающегося по эллиптической орбите (148) —94. Геометрический вывод урав-иення Кеплера (149) —95. Решение уравнения Кеплера (149) — 96. Диференциальные поправки (150)—97. Графическое решение уравнения Кеплера (151) — 93. Перечисление формул (153)—99. Разложение Е в ряд (153) —100. Разложение г и v в ряды (156) — 101. Прямое вычисление полярных координат (159) —10I Опре еление положения тела, двигающегося по гиперболической орбите (163) — 103. Определение положения тела, двигающегося по эллиптической или гиперболической орбите, когда е почти равно единице (164). [c.12]

Если уравнения (38) будут решены, то они дадут значения координат в момент которые надо использовать для получения истинных координат во время при предположении, что планета движется по нено .-мушенному эллипсу в течение /—Если переменные будут эллиптическими элементами, то решения уравнений дадут элементы, которые будут использованы лля вычисления координат во время., когла предполагается, что они постоянны в течение интервала /—Таким образом, когда элементы найдены, то остальное вычисление относится к невозму-шенному движению. [c.340]

В теории движения планет в качестве первого приближения, когда отбрасываются возмущающие силы, принимается эллиптическая орбита. В теории Луны Понтекулана первым приближением является модифицированная эллиптическая орбита , посредством которой учитывается равномерное движение узла и перигея. Основным приближением в теории Хилла является частное решение уравнений движения, получаемое в предположении, что эксцентриситетом Солнца, его параллаксом и координатой г можно пренебречь, т. е. что 2 = = г = 0. Кривая линия, соответствующая этому частному решению, называется промежуточной орбитой. Как мы увидим дальше, это частное решение содержит только две произвольные постоянные. Промежуточная орбита является, конечно, только приближением к орбите Луны. Важное преимущество этой орбиты вытекает из следующих двух положений 1) она с самого начала учитывает основную часть солнечных возмущений и 2) координаты Луны в промежуточном движении могут быть легко выражены сходящимися периодическими рядами, коэффициенты которых связаны сравнительно простыми рекуррентными соотношениями. Эти коэффициенты являются функциями т. численное значение которого известно с очень высокой степенью точности, и поэтому их можно вычислить со всей необходимой точностью. [c.384]

Итерационные маршевые алгоритмы. Во многих задачах с преимущественным направлением стационарного течения оказывается желательным сохранить определяемый градиентом давления механизм распространения возмущений вверх по потоку, не учитьшая диффузию в этом направлении. Тогда, как и в случае сжимаемого газа, выгодно применять не метод установления, а итерационный метод, в котором для определения решения при х = х,- = onst (х - маршевая координата) используется уже найденное в течение текущей итерации решение при х < и значения давления при х > х,-, найденные в результате предыдущей итерации. Этот метод, как и для сжимаемого газа, часто называют методом глобальных итераций (см., например, [98, 99]), хотя, по существу, он является известным методом блочной релаксации, или методом релаксации в линиях, применяемым при численном решении краевых задач для уравнений эллиптического типа. В принципе, его можно было бы использовать и при решении полных уравнений Навье—Стокса, однако тогда пришлось бы запоминать после каждой итерации не только поле давления, но и поле скоростей. [c.208]

При использовании уравнений эллиптического типа обеспечивается принцип максимума и минимума, т. е. экстремальные значения решения могут быть достигнуты только на границе области. Это обеспечивает взаимнооднозначное соответствие между физической и преобразованной областью. Так как изменение координат [c.53]

Предназначен для решения тепловых задач. ТЕКОН представляет собой модульную систему программ со специализированным языком. Обеспечивает решение задач параболического и эллиптического типов. В общем случае ТЕКОН может быть одним из блоков некоторого более общего вычислительного процесса. Названные задачи решаются в произвольных пространственных областях ступенчатого типа,заданных в локально-ортогональных координатах, описываемых с помощью коэффицпентов Ламе. При переходе от исходной системы уравнений к конечно-разностной аппроксимации используется интегро-интерполяционный метод построения разностных схем [79]. Рассматривается класс неявных консервативных разностных представлений. Алгоритмы, реализующие процедуры вычислений по соответствующим схемам, содерл<ат итерационные процессы по нелинейности, сводящиеся к решению систем линейных алгебраических уравнений на каждом шаге. В рассматриваемом ТЕКОНом клас- [c.178]

В данной главе приведены решения скалярных и векторных волновых уравнений для установившихся волновых движений в системах координат, в которых допустимо разделение переменных и которые используются в последуюших главах при изучении дифракционных процессов. Рассмотрены круговая цилиндрическая. эллиптическая цилиндрическая, сферическая, сфероидальная и параболическая цилиндрическая координатные системы. Для первых трех из указанных систем приведены теоремы сложения волновых функций. Даны основные свойства используемых специальных функций. Отметим, что в случае нестационарных процессов в результате применения интегрального преобразования Лапласа по времени волновые уравнения также сводятся к уравнениям Гельмгольца. Следовательно, приведенные в настоящей главе результаты справедливы и для нестационарных задач. Отличие состоит лишь в том, что в нестационарном случае волновые числа будут чисто мнимыми. [c.28]

На основе точных решений интегральных уравнений первого рода, содержаш,их в качестве ядер эллиптические функции Якоби (см. 1.4), получено точное решение контактных задач теории упругости о чистом сдвиге штампом (в общем случае деформируемым) цилиндрического тела, представляюшего собой в сечении область, ограниченную координатными линиями ортогональной линейной системы координат на плоскости, коэффициенты Ламе которой удовлетворяют некоторым условиям [168]. Сюда относятся декартовы, полярные, биполярные, параболические, гиперболические и другие координаты. Аналогичные задачи в случае полосы изучались в работе [44], здесь же предложена схема построения точного решения рассматриваемых задач путем конформного отображения полосы на конечную область. [c.153]

СКОЛЬКО работ. Так, в работе [31] приведены результаты изучения собственных поперечных колебаний тонких ортотроп-ных эллиптических пластинок с аналогичным эквидистантным вырезом. Теоретический анализ осуществлен с использованием метода Ритца. При этом проведено преобразование эллиптической пластинки в кольцевую с единичным внешним радиусом путем перехода к новой системе координат. Кольцевая круговая пластинка разбита на ряд секторов. Поперечные перемещения аппроксимируются рядами произведений приемлемых функций секториальнрй балки с малым углом конусности в плане на тригонометрические функции угловой координаты. Перемещения в направлении радиальной координаты аппроксимируются полиномами пятой степени, которые удовлетворяют основному уравнению изгибных колебаний балок.во всех точках внутри выделенного малого элемента и граничным условиям на его концах. В результате цроведенного исследования определены собственные числа и формы собственных колебаний для некоторых образцов изотропных эллиптических и круговых пластинок с подобными центральными вырезами. Для апробации полученных авторами результатов в работе дано сопоставление с результатами точных решений и результатами других авторов, полученных для частных случаев. , [c.293]

Остановимся подробнее на получении системы интегро-функциональ-ных уравнений контактной задачи. Использование принципа суперпозиции предполагает возможность получения аналитического решения краевой задачи динамической теории упругости с однородными граничными условиями в напряжениях для составляющих многослойную область с каноническим включением элементов. Таковыми являются однородный упругий слой, однородное упругое полупространство, полость в безграничном пространстве и упругое включение, граница которого тождественна границе полости. Решение задач для однородного слоя (полупространства) строится методом интегральных преобразований с использованием принципа предельного поглощения и может быть получено в виде контурного несобственного интеграла [2,4,14]. В зависимости от постановки задачи (пространственная, плоская, осесимметричная) получаем контурные интегралы типа обращения преобразования Фурье или Ханкеля [16]. Решение задачи для пространства с полостью, описываемой координатной поверхностью в ортогональной криволинейной системе координат, получаем в виде рядов по специальным функциям (сферическим, цилиндрическим (Ханкеля), эллиптическим (Матье)) [17]. При этом важно корректно удовлетворить условиям излучения, для чего можно использовать принцип излучения. Исключение составляет случай горизонтальной цилиндрической полости при исследовании пространственной задачи. Здесь необходимо использовать метод интегральных преобразований Фурье [16] вдоль образующей цилиндра и принцип предельного поглощения [3] для корректного удовлетворения условиям излучения энергии вдоль образующей. [c.312]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...