Краевые задачи динамической теории упругости

Многослойная структура с полостью или упругим включением канонической формы. Рассмотрим случай, когда полость (упругое включение) целиком расположено в одном из элементов многослойной структуры и имеет границу, представляющую собой координатную поверхность в ортогональной криволинейной системе координат (цилиндрической, сферической, эллипсоидальной). В этом случае при исследовании задачи о динамическом воздействии плоского жесткого штампа на поверхность пакета слоев или многослойного полупространства с полостью или включением целесообразно использовать принцип суперпозиции. Это позволяет точным образом свести краевую задачу динамической теории упругости к системе интегро-функциональных уравнений, при решении которой можно использовать, в зависимости от расположения неоднородности, различные методы анализа. [c.311]

II. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 205 [c.205]

Если рассматривать принцип Сен-Венана как некоторое выражение специфики краевых задач статической теории упругости, а именно их эллиптичности, оставляя в стороне вопрос о том, на каком расстоянии и с какой точностью одна система сил эквивалентна другой, то в случае полубесконечного слоя и цилиндра можно сформулировать его динамический аналог. Из проведенного исследования видно, что две системы гармонических во времени сил, приложенных к торцу волновода и производящих одинаковую работу за период, неразличимы на достаточно большом расстоянии от торца. При этом частота воздействия должна быть меньше той, при которой в системе возможно существование двух и более распространяющихся мод. В последнем случае такой принцип уже не справедлив, поскольку распределение энергии между модами зависит от деталей распределения нагрузки на торце. Поскольку эти моды распространяются независимо и без изменений, то распределение напряжений всюду внутри волновода будет зависеть от характера внешней нагрузки. [c.261]

В системе (11.3) в отличие от (7.1), перемещения являются функциями не только координат, но и времени. В соответствии с этим при формулировке задач динамической теории упругости надо, помимо граничных условий, ставить еще и начальные условия, т. е. необходимо иметь заданными в некоторый момент времени t = tQ значения перемещений и, г/, да и скоростей и, V, да во всех точках тела. Что касается граничных условий, то они в динамических задачах формулируются аналогично статическим задачам (т. е. путем задания в каждой точке поверхности тела трех условий, сформулированных либо непосредственно в перемещениях, либо в форме задания компонентов внешних поверхностных сил). Разница состоит лишь в том, что в динамических задачах краевые значения перемещений или внешних сил могут зависеть не только от положения точки на поверхности тела, но и от времени. [c.200]

В дальнейшем будем предполагать, что функции IV дифференцируемы столько раз, сколько потребуется, все производные от Ыiv непрерывны и ряды вида (20.43) равномерно сходятся. Сходимость рядов (20.43) существенно зависит от величины отношения = 2/г// и изменения полей по координатам XI, Х2 и 1. Чем более плавным будет это изменение (оно определяется внешними воздействиями) и чем меньше будет , тем быстрее будут сходиться ряды (20.43). Как известно [2.176], задача динамической теории упругости для слоя распадается на две независимых, одна описывает симметричные относительно срединной поверхности колебания, другая —несимметричные (изгибные). Поэтому после длинных выкладок исходная краевая задача (20.38) — (20.40) с учетом соотношений (20.41) —(20.43) приводится к двум независимым бесконечным системам уравнений. Уравнения симметричных колебаний [c.138]

Из решения краевых задач А, В и С решения соответствующих статических и стационарных динамических задач плоской теории упругости получаются как некоторые предельные случаи. Укажем соответствующие предельные переходы. [c.117]

Введение. Рассмотрим теперь решение краевых задач в динамической теории упругости. Решения подобных задач были получены лишь в последнее время. Основные методы получения решения подобных задач базируются на теории функций комплексного переменного и теории интегральных преобразований. Метод комплексного переменного применим только для двумерных задач, а метод интегральных преобразований, применимый и к трехмерным задачам, в случае двумерных задач приводит к более простым результатам. По этим причинам мы ограничимся случаем плоской деформации, для которой уравнения движения имеют вид [c.202]

Все известные решения об устойчивости в нелинейной теории упругости основаны на бифуркационном критерии. Как показано в 10, этот критерий приводит к правильному ответу только в случае, когда собственные значения соответствующей краевой задачи действительны. Большинство авторов не проверяет выполнение этого условия. В обсуждаемой области до сих пор нет ни одного решения для динамической потери устойчивости, так же как и нет хотя бы одного решения для зависящей от времени нагрузки. Очень интересным примером было бы, например, рассмотрение сферической оболочки, нагруженной давлением, линейно возрастающим со временем. Это решение позволило бы дать ответ на вопрос влияние начального движения стабилизирующее или дестабилизирующее Тот же вопрос можно поставить и относительно целого ряда других движений (например, квазиравновесного движения [1] см. также 25). [c.111]

Рассмотрим теперь обратную задачу, когда А (О, В (t),. . неизвестны, а заданы поверхностные силы, действующие на тело Если эти силы имеют представления, аналогичные формулам (28.10) то одним из динамически возможных движений является движение определяемое функцией х = (Х , А (О,. ..) Кроме этого движе кия могут существовать другие, поскольку краевые задачи нелиней ной теории упругости могут иметь неоднозначные решения. С дру гой стороны, представление (28.10) частное и известно только тогда, когда известны все функции А ( ), В (),. .. В связи с этим рассмотрим функции А (/), В (t),. .. для заданных средних чисел, например для полной осевой силы, среднего давления и т. п. После определения движения возможно нахождение представления поверхностных сил. [c.192]

Исследование динамических задач теории упругости в нелинейной постановке относится к одной из сложных и мало разработанных областей механики твердого деформируемого тела. В то же время существует целый класс задач, в которых на некоторое конечное напряженное статическое состояние накладываются малые динамические возмущения. Это позволяет в строгой постановке строить решение статической задачи, а динамику явлений, основываясь на малости динамических возмущений, исследовать на базе линеаризованных относительно некоторой малой окрестности напряженного состояния соотношений. При этом в полном объеме сохраняется присущая нелинейным задачам специфика постановки краевых задач в зависимости от используемой системы координат и используемых в процессе решения тензорных и векторных величин, описывающих напряженное состояние среды. [c.34]

Станины, поперечины, стойки или консоли представляют собой по отдельности и в совокупности со всей несущей системой станка балки и многогранные пластины, которые связаны друг с другом определенными условиями, Задача расчета подобного рода сложной структуры, которую представляет собой станина станка, должна основываться на расчете основных элементов балок и пластин. Напряжения и деформации этих элементов структуры при известных краевых условиях определяются зависимостями теории упругости. Если удается описать отдельные элементы матрицами, то оказывается возможным применить матричное исчисление к анализу структуры заданной системы. Эти методы расчета статистических и динамических параметров структур стали возможны лишь благодаря созданию быстродействующих ЭВМ. Так как в станкостроении в основном встречаются элементы в виде балок, то рассчитываемый станок можно упрощенно рассматривать как систему, состоящую исключительно из балок. Этот метод является относительно простым, однако позволяет получать достаточно точные решения. [c.58]

Приведенные выше результаты получены для равномерного по оси г и плавного по углу ф нагружения оболочки. Выполним численный анализ влияния на НДС уменьшения площадки нагружения по оси г. При расчете используем развитый в [45] подход к решению трехмерных динамических задач теории упругости и гидроупругости для тел вращения, основанный на сведении методом Фурье (искомые и заданные функции представляются в виде разложений в ряды по угловой координате) исходных уравнений движения и краевых условий к конечной системе дифференциальных уравнений, зависящих от двух пространственных координат, которые интегрируются методом конечных разностей. На основе указанного алгоритма решены разнообразные задачи импульсного и гидродинамического нагружения оребренных, составных и многослойных полых цилиндров [15, 49], а также тел вращения [140]. [c.244]

Если вариационные постановки для основных краевых задач математической физики и теории упругости известны давно, то для задач с односторонними ограничениями сформулированы только в последнее время. Одной из первых на эту тему является работа [379], в которой показано, что контактная задача теории упругости с односторонними ограничениями (задача Синьорини) сводится к вариационному неравенству. В дальнейшем вариационные неравенства и их приложения в механике и физике рассматривались в [26, 71, 85, 115, 167, 216, 283, 376, 381, 486 и др.]. В частности, статические и динамические контактные задачи теории упругости с трением вариационными методами рассматривались в работах [185—189, 326], контактные задачи для тел с трещинами — в [34, 75, 86, 164, 165, 175, 271, 365, 575], линейные и нелинейные контактные задачи теории оболочек — в [229, 310], а граничные вариационные неравенства применительно к решению контактных задач — в [138, 366—368, 432, 510, 534, 540]. Алгоритмы решения вариационных задач с ограничениями в виде неравенств, их теоретическое обоснование и вопросы численной реализации рассмотрены в [72, 111, 338, 420, 475 и др.]. Подробный обзор работ по применению вариационных неравенств в задачах механики твердого деформируемого тела дан в [365]. [c.82]

Как известно (см. раздел Д.1), динамическая задача теории упругости сводится к начально-краевой задаче для уравнений движения в перемещениях (Д.4). Применяя преобразование Лапласа (Д.38) к уравнениям движения, граничным и начальным условиям, вместо одной начально-краевой задачи для нестационарной системы уравнений (Д.4) получим бесконечное множество краевых задач для стационарной системы [c.206]

В стационарных задачах мы встречаемся с системами второго порядка как с постоянными, так и с переменными коэффициентами (однородные и неоднородные тела), со скалярными уравнениями второго порядка (например, в задачах Сен-Венана о кручении или в теории мембран), уравнениями четвертого порядка (равновесие тонких пластин), уравнениями восьмого порядка (равновесие оболочек). Для каждого из этих случаев надо рассматривать несколько краевых условий, соответствующих различным возможным физическим ситуациям. Далее, каждой стационарной задаче теории упругости отвечает динамическая задача, связанная с изучением колебаний в рассматриваемой упругой системе. Сверх того, в термодинамике сплошных сред требуется изучать некоторые задачи параболического типа, связанные с диффузией. Кроме всего этого, при исследовании материалов с памятью нужны теоремы существования для определенных [c.7]

Остановимся подробнее на получении системы интегро-функциональ-ных уравнений контактной задачи. Использование принципа суперпозиции предполагает возможность получения аналитического решения краевой задачи динамической теории упругости с однородными граничными условиями в напряжениях для составляющих многослойную область с каноническим включением элементов. Таковыми являются однородный упругий слой, однородное упругое полупространство, полость в безграничном пространстве и упругое включение, граница которого тождественна границе полости. Решение задач для однородного слоя (полупространства) строится методом интегральных преобразований с использованием принципа предельного поглощения и может быть получено в виде контурного несобственного интеграла [2,4,14]. В зависимости от постановки задачи (пространственная, плоская, осесимметричная) получаем контурные интегралы типа обращения преобразования Фурье или Ханкеля [16]. Решение задачи для пространства с полостью, описываемой координатной поверхностью в ортогональной криволинейной системе координат, получаем в виде рядов по специальным функциям (сферическим, цилиндрическим (Ханкеля), эллиптическим (Матье)) [17]. При этом важно корректно удовлетворить условиям излучения, для чего можно использовать принцип излучения. Исключение составляет случай горизонтальной цилиндрической полости при исследовании пространственной задачи. Здесь необходимо использовать метод интегральных преобразований Фурье [16] вдоль образующей цилиндра и принцип предельного поглощения [3] для корректного удовлетворения условиям излучения энергии вдоль образующей. [c.312]

Эти формулы являются исходными при составлении граничных интегральных уравнений для различных начально краевых задач динамической теории упругости и, в частности, для тел, содержащих трещины и разрезы. Для вывода граничных интегральных уравнений изучаемых задач необходимо знат1, граничные свойства потенциалов динамической теории упругости в пространстве преобразований Лапласа (5.4) на границе тела и на трещине. Прежде чем перейти к их изучению найдем формулы для фундаментальных решений динамической теории упругости в пространстве преобразований Лапласа. [c.108]

В работах И. М. Рапопорта [1.66, 1.67] (1963) рассма ривается краевая задача динамической теории упругое при заданных напряжениях на поверхностях и некоторс известном поле массовых сил. Формулируется эквивален ная вариациоиная задача и строится асимптотическое ра ложение функционала. Перемещения разлагаются в дво ные ряды по степеням малых координат. Получены уто чн ния уравнений, основанных на гипотезе плоских сечени [c.42]

Были предложены различные искусственные приемы отыскания корректирующего коэффициента k в уточненных теориях, основанных на сдвиговой модели Тимошенко. Все эти приемы являются приближенными. При построении уточненных уравнений, как математических аппроксимаций краевой задачи динамической теории упругости, не требуется введения каких-либо искусственных величин. Поэтому из сравнения математических аппроксимаций с соответствующими уточненными теориями, содержащими искусственные величины, можно найти формулы для корректирующих коэффициентов, иногда в явном виде. Такой подход был применен в случае пластины И. Т. Селезовым [2.50] (I960). [c.49]

М. А. Medi k [1.242, 1.243] (1966, 1967) на основе метода степенных рядов и трехмеряой краевой задачи динамической теории упругости рассмотрел одномерные колебания анизотропных стержней прямоугольного поперечного сечения. Он исходил из уравнений [c.108]

В динамике пластин метод степенных рядов применял И. Т. Селезов [2.50] (1960). Он исходил из краевой задачи динамической теории упругости в перемешениях и рассматривал систему рекуррентных соотношений типа (20.9) и (20.10) и уравнения типа (20.11), вытекающие из граничных условий, как общую бесконечную систему дифференциальных уравнений, эквивалентную исходной краевой задаче (это справедливо при условии равномерной сходимости рядов). В дальнейшем требуется введение каких-либо ограничений, что можно сделать различным путем. Поэтому методом степенных рядов можно получить бесконечное множество аппроксимаций. Цель состояла в построении гиперболических аппроксимаций. Было показано, что при усечении системы до какого-либо порядка получается замкнутая система уравнений, которая может быть приведена к нескольким или одному дифференциальным уравнениям более высокого порядка. Если при этом сохранить все пространственно-временные дифференциальные операторы до определенного порядка включительно [2.52] (1961), то полученная система уравнений будет гиперболической. Это условие является достаточным для построения гиперболических аппроксимаций. Приведем краткое изложение этих результатов. Рассмотрим упругое поле, характеризуемое пространственными ортогональными координатами Хи Х2, Хз и временной координатой t. Причем ось Охз является прямой, а криволинейные ортогональные координаты Х и Х2 отсчитываются в плоскости Хз = 0. Выделим слой —оо<х1<°о, —оэ<х2<оэ, —к<Хз<к и положим, что изменение поля в зависимости от координат и Х2 характеризуется некоторым параметром I, который значительно больше толщины слоя 2к [c.137]

Решение краевой задачи намного проще, чем начально-краевой. Поэтому часто используют следующую методику решения начальнокраевых задач динамической теории упругости выполнив прямое преобразование Лапласа, сводят ее к краевой задаче в пространстве преобразований Лапласа. После решения этой задачи выполняют обратное преобразование Лапласа и получают решение исходной динамической задачи. [c.206]

Исследова-нию задачи о действии на улругое тело мгновенного импульса посвящены работы многих авторов. Здесь прежде всего следует указать на работы 30-х годов В. И. Смирнова и С. Л. Соболева [101, 102, 108], определившие в Советском Союзе направление исследований по динамической теории упругости на многие годы. В этих работах на -основе функционально-инвариантных решений волнового уравнения дано полное решение плоской задачи Лэмба, задачи о действии внутреннего источника колебаний для полуплоскости и общей задачи Коши для по--луплоскости при произвольных краевых условиях, начальных данных и массовых силах. [c.315]

Классические уравнения продольных и изгибных колебаний стержней, по существу, являются одномодовыми аппроксимациями краевых задач трехмерной динамической теории упругости . Уточнения классических теорий, которые не приводят к увеличению числа мод, сравнительно мало улучшают эти теории. К таким уточнениям относятся поправка Лява >, учитывающая силы инерции поперечных движений при продольных колебаниях стержня, и поправка Релея >, которая-учитывает инерцию вращения элемента балки при ее изгибных колебаниях. [c.12]

Вопрос о том, относить те или иные задачи к классическим и неклассическим, является су0ъективным. Классическими будем считать задачи динамической механики разрушения, рассматриваемые в рамках идеализированной линейно-упругой модели хрупкого динамического разрушения, которые допускают точные или приближенные аналитические решения. Это задачи для областей, содержащих бесконечно удаленные точки (пространство, полупространство, слой в трехмерном случае плоскость, полуплоскость, полоса в двумерном). Такие задачи могут быть сведены к смешанным краевым задачам для уравнений с частными производными. Для их решения применяются простые и хорошо разработанные методы интегральные преобразования, дуальные интегральные уравнения, теория функций комплексного переменного, метод Винера — Хопфа, интегральные уравнения Фред-гольма второго рода, сингулярные интегральные уравнения. Эти методы подробно изложены в известных курсах математической физики 121, 56, 208, 209, 249, 259, 260 и др.], а также более специальных руководствах [265, 266, 278, 288, 299, 313, 350, 352 и др.]. [c.35]

Центральное место в монографии занимает третья глава, в которой на основе единой кинематической гипотезы, позволяющей учесть поперечные сдвиговые деформации, удовлетворить условиям межслоевого контакта и условиям на граничных поверхностях, из принципа возможных перемещений получены нелинейные тензорные уравнения статики упругих анизотропных слоистых оболочек и сформулированы соответствующие им краевые условия. Указаны предельные переходы к уравнениям классической теории оболочек и ортотропной оболочки, предоставляющим возможность учета эффектов сдвига в одном направлении ортотропии (армирования) и неучета — в другом. Приведены упрощенные уравнения, пригодные для расчета пологих оболочек. Линеаризованные уравнения статической устойчивости слоистых оболочек, основанные на концепции Эйлера о разветвлении форм равновесия, сформулированы в параграфе 3.4, а в параграфе 3.5 из принципа виртуальных работ эластокинетики выведены нелинейные уравнения динамики. Здесь же приведены линеаризованные уравнения динамической устойчивости слоистых оболочек и пластин, обсуждены предельные переходы и упрощения, подобные тем, какие были сделаны в задаче статики. Параграф 3.5 посвящен формулировке неклассических уравнений многослойных оболочек в системе координат, связанной с линиями кривизн поверхности приведения. В этой же системе координат составлены уравнения, описывающие осесимметричную деформацию слоистой ортотропной оболочки вращения. В параграфе 3.7 описаны [c.12]

Здесь прежде всего необходимо "указать на работы С. Л. Соболева и В. И. Смирнова [102], посвященные динамическим осесимметричным задачам, и на результаты Е. К. Нарышкиной, изложенные в работе [75]. В ней методом Кирхгофа — Соболева, основанным на предварительном остроении фундаментальных решений, дано решение задачи Коши для полупространства при произвольных краевых, начальных условиях и массовых силах. На основе полученного решения дается строгая теория точечного источника колебания типа мгновенного импульса, решена задача о действии указанного импульса на границе упругого полупространства (задача Лэмба) и задача о распространении поверхностных волн Релея. [c.334]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...