Решение уравнения Лапласа

Общие формулы. Одним из решений уравнения Лапласа (5.18) является выражение [c.125]

Вид зависимости функции от переменных (0, t) определяется видом функции (2. 6, 28) и соотношениями (2. 6. 22), (2. 6. 23). Выбирая из решений уравнения Лапласа (2. 6. 20) такое, которое удовлетворяет условию регулярности при т, — со (2. 6. 21), имеем [c.56]

В уравнениях (2. 6. 31)—(2. 6. 38) индекс n обозначает частное линейное решение задачи (2. 6. 28)—(2. 6. 30). Как и выше, представим решение уравнения Лапласа (2. 6. 31) с учетом условия на бесконечности (2. 6. 32) в виде ряда [c.57]

Решение. Выбираем полярные координаты г, 0 в плоскости поперечного сечения, перпендикулярной к линии пересечения плоскостей, с началом в вершине угла. Угол 0 отсчитывается от одной из прямых, образующих сечение угла. Пусть а есть величина обтекаемого угла при а < л течение происходит внутри угла, при а > л — вне его. Граничное условие исчезновения нормальной составляющей скорости гласит rfq>/d0 = О при 0 = О и а. Удовлетворяющее этому условию решение уравнения Лапласа пишем в виде ) [c.45]

Наименее быстро убывающим с расстоянием решением уравнении Лапласа, испытывающим скачок на плоскости ф = О, является [c.221]

На расстояниях, порядка размеров тела и меньших, искомое решение уравнения Аф = 0 не может быть написано в общем внде и зависит от конкретной формы колеблющегося тела. Для расстояний же, больших но сравнению с I, но малых по сравнению с К (так что уравнение Аф = 0 еще применимо), можно найти общий вид решения, воспользовавшись тем, что ф должно убывать с увеличением расстояния. С такими решениями уравнения Лапласа нам уже приходилось иметь дело в 11. Как и там, пишем общий вид решения в форме [c.395]

Решение уравнения Лапласа (128), удовлетворяющее граничным [c.219]

Решение уравнения Лапласа (134) для случая выхода из поля представим в виде [c.223]

Как известно, задача о кручении стержней произвольного поперечного сечения сводится либо к отысканию решения уравнения Лапласа (гармонической функции) [c.91]

Потенциал простого слоя является решением уравнения Лапласа. При этом он конечен и непрерывен всюду в пространстве, а в точках поверхности S выражается несобственным интегралом, который понимается в смысле главного значения. [c.278]

Эту величину называют потенциалом двойного слоя. Он также является решением уравнения Лапласа с разрывом непрерывности на поверхности S. [c.279]

Но в математике доказано, что не существует общего решения уравнения Лапласа у ф = 0, которое удовлетворяло бы одно-11 323 [c.323]

Для плоских двумерных волновых движений решения уравнения Лапласа для потенциала скорости получаются в виде произведений гиперболических и тригонометрических функций, а соответствующая этим решениям форма границы раздела — в общем случае произведением синусоиды и косинусоиды [36]. Основные особенности волнового движения границы раздела фаз можно исследовать, рассматривая более простой случай, когда начальное возмущающее воздействие вызывает колебательное движение, описываемое одной [c.126]

Наиболее простым и вместе с тем фундаментальным решением уравнения Лапласа является функция [c.186]

Поскольку уравнение (5.5) — линейное, решение (5.6) можно использовать для получения других частных решений уравнения Лапласа. Очень важным для приложений является решение уравнения (5.5) для диполя, т.е. для течения, обусловленного действием источника и стока одинаковой мощности. Если мощность источника и стока устремить к бесконечности, а расстояние между ними — к нулю и потребовать, чтобы произведение мощности на расстояние оставалось конечной величиной т, называемой моментом, или интенсивностью точечного диполя [3, 26], то потенциал скорости такого течения получается дифференцированием функции (5.6) по направлению прямой, соединяющей источник и сток. В частности, для направления оси л (рис. 5.1) потенциал течения, обусловленного диполем, определяется как [c.187]

Таким образом, метод разделения переменных привел к построению набора частных решений уравнения Лапласа. Представим их в таком виде [c.120]

Рассмотрим решения уравнения (191), которые в то же время являются решениями уравнения Лапласа [c.388]

Частное решение уравнения Лапласа можно искать в форме [c.388]

Решение уравнений Лапласа затруднено вследствие сложности очертаний подземного контура гидротехнических сооружений. Уравнения Лапласа для потенциального плоского движения решаются с помощью следующих основных способов аналитического, способа аналогий и графического. [c.293]

Чтобы построить точную гидродинамическую сетку при заданных граничных условиях, необходимо решить уравнение Лапласа (78) или (86), что представляет значительные математические трудности. В некоторых случаях точное решение получается с помощью теории функций комплексного переменного (метод конформных преобразований). Имеются приближенные графические способы построения гидродинамической сетки. В последние годы в связи с бурным развитием вычислительной техники получают распространение численные способы решения уравнений Лапласа. [c.73]

Учитывая специфические трудности, связанные с решением уравнений Лапласа, большой интерес представляют те случаи потенциальных течений, которые дают точные значения функции тока и потенциала скорости без решения этих уравнений. Общая методика такова задаемся произвольной функцией которая удовлетворяет уравнению Лапласа, а затем выясняем, какой гидродинамической сетке она отвечает. Разберем -несколько характерных примеров. [c.73]

Основным и самым трудным вопросом здесь является решение уравнения Лапласа (отыскание функции ф или Н). При решении этого уравнения для различных схем подземного контура приходится пользоваться специальными математическими методами методами функции комплексного переменного, в частности, методом конформных отображений и т. п. Этот вопрос рассматривать не будем - он изучается в математической физике. [c.590]

Изучим некоторые основные решения уравнения Лапласа. Ранее (см. 3 гл. II) было рассмотрено фундаментальное решение уравнения Лапласа [c.157]

Решения уравнения Лапласа в силу его линейности, очевидно, можно складывать, дифференцировать и получать таким путем новые частные решения уравнения Лапласа. Например, частное решение уравнения Лапласа можно получить путем дифференцирования решения ф = 1/г по некоторому направлению 8. Таким образом получаем решение [c.158]

При повторном многократном дифференцировании потенциала (12.1) по различным направлениям 2,. получаются новые решения уравнения Лапласа [c.158]

Формулы поз. 7—10 (см. табл. 6) — точные, получены решением уравнения Лапласа для безграничной среды, описываемой уравнением [c.20]

Вопросы коррозии блуждающими токами в справочнике излагаются по материалам самых ранних публикаций с использованием крайне упрощенных моделей. В СССР уже в 1960-е гг. распределение токов и потенциалов в системе реле — земля — подземные сооружения было рассмотрено в самой общей постановке вопроса определялось распределение потенциалов в проводящем полупространстве, в котором расположены хорошо проводящие тела. В математическом отношении задача при этом сводится к нахождению решения уравнения Лапласа, которое должно удовлетворять на поверхности проводящих тел граничным условиям, связывающим значения тангенциальной производной потенциала с током утечки данного проводника. Такая задача легко сводится к системе двухмерных интегрально-дифференциальных уравнений. Для одиночных круговых цилиндров бесконечной протяженности решения получены в аналитическом виде, для более сложных случаев решения найдены в численном виде с применением ЭВМ. [c.14]

Решение уравнение Лапласа, удоалетворяющее этому услопию, есть [c.44]

Вне следа течение жидкости можно считать потенциальным. Интересуясь лищь наименее быстро убывающими на больших расстояниях членами в потенциале Ф, ищем решение уравнения Лапласа [c.107]

Равенство (14.5) определяет нормальную производную ср на поверхности, что с точностью до постоянной определяет единственное решение уравнения Лапласа (14.4). Поэтому из условий divA = 0 н j =0 вытекает единственный выбор калибровки. При такой калибровке А внутри массивного образца стремится к нулю. Если сделан какой-либо другой выбор, то (14.1) должно быть написано в иной форме. [c.702]

Среди многочисленных методов приближенного, пеаиалитического решения уравнения Лапласа большим распространением в гидротехнических расчетах пользуется метод графического решения, заключаюгцш шя в геометрическом построении ортогональной сетки линий равных напоров и линий тока, удовлетворяющих заданным граничным условиям задачи. [c.325]

Использование уравнения Лаплгса формально упрощает задачу исследования потока жидкости , так как приводит к определению одной только функции ф (вместо двух и и v). Однако решение уравнения Лапласа очень часто представляет собой более сложную задачу, нежели прямое определение упомянутых функций. [c.111]

Следует отметить, что метод ЭГДА является приближенным способом решения уравнения Лапласа на специальном аналоговом устройстве. Существуют и другие методы аналогий, например метод магнитогидродинамической аналогии, разработанный А. Н. Патрашевым [15] и метод ламинарной аналогии, в котором используется факт сущ,ествования потенциала, для осредненного по толщине потока вязкой жидкости между параллельными поверхностями при весьма малых числах Рейнольдса (течение Хил—Шоу). [c.269]

Уравнение (4.3) называют уравнением Лапласа. Как видно, нестационарные процессы распространения тепла описываются уравнением теплопроводности, стационарные — уравнением Лапласа или Пуассона. Огметим, что уравнения (4.1). .. (4.3) описывают и многие другие физические процессы, а не только связанные с переносом тепла (например, диффузию). Любые функции класса т. е. непрерывные вместе с производными до второго порядка включительно, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими функциями. Задачи, связанные с отысканием решений уравнения Лапласа, называют гармоническими задачами. При постановке и решении гармонических задач важное значение имеет следующее свойство гармонических функций интеграл по замкнутой поверхности от нормальной производной гармонической функции равен нулю. Пусть функция и (М) (D). Воспользуемся формулой Остроградского—Гаусса применительно к вектору grad и [c.120]

Построение системы линейных уравнений. Следующим этапом метода конечных элементов является получение системы уравнений для нахождения неизвестных функций в узлах. Данному дифференциальному уравнению с граничными условиями ставят в соответствие некоторый функционал, минимум которого достигается в том случае, когда удовлетворяется исходное дифференциальное уравнение. ]"1ными словами, вариационным уравнением Эйлера для данного функционала является исходное уравнение. Например, нахождение решения уравнения Лапласа для потенциала скорости d2ip d2 f дх2 ду2 [c.202]

Однако не следует думать, что задача теории упругости может быть сведена к интегрированию системы (8.5.5) или что величина 0 может быть найдена по известным методам решения уравнения Лапласа. Величина 0 никогда не бывает задана на границе и определить ее, решая задачу Дирихле, не удается. Система (8.5.5) представляет собою систему двенадцатого порядка, тогда как исходная система (8.5.3) шестого порядка. Чтобы определить бигармоническую функцию, на границе области необходимо задать два условия, например, щ и dujdn, т. е. нормальную производную от Ui, тогда как для решения системы [c.249]

Следовательно, есди две функции а и переменных х м у являются действительной и мнимой частями некоторой аналитической функции / (z), то каждая из них будет решением уравнения Лапласа. Уравнение Лапласа встречается во многих физических задачах, включая задачи теории упругости (см., например, уравнение (б) 17). [c.182]

Если частота поля удовлетворяет условию квазистационарности (9-31), то электрическое поле в нагреваемом теле, зазоре между телом и электродами конденсатора, а также во внещнем пространстве является потенциальным и подчиняется закона.м электростатики. Эквивалентные параметры рабочего конденсатора с нагрузкой могут быть найдены путем решения уравнения Лапласа для [c.162]

Решение уравнения Лапласа в некоторой области определяется заданием значений функции ф на поверхности 2, ограничивающей область 25. Задача об отыскании гармонической в области 25 функции по ее значениям на границе области 25 называется задачей Дирихле. Эта задача в односвязной области, вообще говоря, всегда имеет однозначное единственное решение. Поэтому движение жидкости и импульс давления внутри области полностью определяются, если на границе заданы значения внешнего импульса давления = — рф. [c.155]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...