Метод релаксации

Методы релаксации. Эти методы очень просты в программировании, однако обладают тем недостатком, что в задачах минимизации с ограничениями могут возникать точки блокировки. Приведем поэтому формулировку сразу для случая, когда никаких неприятностей не возникает. [c.341]

Составленную с учетом симметрии систему уравнений можно эффективно решать на быстродействующих электро нных вычислительных машинах или методом последовательных приближений методом релаксации) в зависимости от числа неизвестных. [c.67]

Один из методов решения разностных уравнений типа уравнений (8) из предыдущего параграфа развил Р. В. Саусвелл, который назвал его методом релаксации. Саусвелл исходил из мембранной аналогии Л. Прандтля ), которая основывается на том факте, что дифференциальное уравнение (4) для задач кручения имеет тот же вид, что и уравнение [c.524]

При использовании метода релаксации естественно выбрать для этого случая треугольную сетку. Начав с грубой сетки, примем размер ячейки 5 р с. 9. [c.531]

Программа должна реализовать тот или иной из основных методов решения таких систем уравнений. Метод релаксации для машинных вычислений не вполне пригоден. С применением ЭВМ можно использовать прямые методы, например метод гауссовых исключений или правило Крамера, однако число рассматриваемых уравнений при этом остается весьма ограниченным. В то же время итерационные схемы позволяют эффективно решать системы с несколькими тысячами неизвестных, если матрица системы уравнений обладает определенными свойствами. Последнее требование делает более удобным решение задач в перемеш,е-ниях, а не в функциях напряжений. [c.550]

Рассмотрим пример 6.1 использования метода релаксации. [c.87]

По методу релаксации можно написать R = 1000+1000+О + 0 — [c.89]

Рассмотрим результаты некоторых методов решения уравнения трехмерной стационарной теплопроводности в изотропном материале без источников теплоты (2.56). На рис. 6.7 представлено температурное поле (распределение температуры в узлах сетки) в кубе. Все грани куба имеют постоянную температуру, причем одна 100°С, а пять других 0°С шаг сетки а/4, где а —длина ребра куба. Ввиду симметрии температурного поля результаты расчета представлены для V4 куба. В работе [97] температуры в указанных на рис. 6.7 узлах найдены методом релаксации по формуле [c.91]

Рис. 6.7. Распределение температуры в узлах сетки куба, верхняя грань имеет температуру 100"С, а пять других 0°С (представлена 1/4 куба, так как задача симметричная) значения температуры слева от узлов получены по методу релаксации, справа — по методу Зейделя, вторые справа — аналитически по формуле (6.10)

Результаты расчета по методу Зейделя температурного поля по той же разностной схеме (6.7), в том же кубе, и с тем же шагом (при максимальном абсолютном значении остатка, не превышающем 0,1°С) приведены на рис. 6.7 справа от узлов и обведены. Можно констатировать совпадение результатов по обоим численным методам (релаксации и Зейделя) с точностью до десятых долей градуса. [c.93]

Метод релаксации обычно используется для предварительной оценки температурного поля. [c.237]

Пример 23.4. На рис. 23.6 представлено температурное поле (распределение температуры в узлах сетки) в кубе. Все грани куба имеют постоянную температуру, причем одна 100 С, а пять других О С шаг сетки а/4, где а — длина ребра куба. Ввиду симметрии температурного поля результаты расчета представлены для 1/4 куба. Температуры в указанных на рис. 23.6 узлах найдены методом релаксации с использованием схемы расположения узлов сетки (рис. 23.2) и формулы (23.8), значение температур приведено слева от узлов решетки (рис. 23.6). [c.239]

Расчет по методу Зейделя температурного поля в кубе (рис. 23.6) по той же разностной схеме (23.8) и с тем же шагом (при максимальном абсолютном значении остатка, не превышающем 0,1 °С) дал те же результаты, что и метод релаксации. [c.240]

Но так как они аналогичны линиям теплового потока, то, следовательно, можно экспериментально установить характер расположения последних. По линиям теплового потока можно построить графически линии постоянной температуры (изотермы), так как первые и вторые линии взаимно ортогональны. Уточнить изотермы можно, например, используя метод релаксации (см. 23.1 и рис. 23.5, й). [c.249]

Численные методы определения (01 + 2) во внутренних точках модели. Как уже отмечалось, сумма главных напряжений в плоской задаче теории упругости удовлетворяет уравнению Лапласа. Выше был описан экспериментальный метод решения этого уравнения. Для этой цели годится и ряд численных методов. Рассмотрим один из таких методов, известный под названием метода релаксации ). [c.224]

Метод релаксации напряжений (рис. 23, а). В этом случае считается, что напряжение предварительно деформированного на заданную степень образца релаксирует за счет уменьшения эффективного напряжения. В результате приложенное напряжение стремится [c.82]

Метод релаксации можно применять для определения т и лишь в том случае, когда под нагрузкой не протекают процессы деформационного старения и возврата. [c.83]

Метод релаксации. Метод испытания заключается в следующем. После нагрузки при данной температуре образца до напряжения Hj наблюдается падение напряжения в течение [c.56]

В МВТУ установлено, что одним из наиболее верных методов релаксации и полного устранения остаточных трехосных напряжений является высокий отпуск. Однако теоретическим и экспериментальным путем установлено, что интенсивность релаксации в большой мере зависит от характера поля напряжения. Наиболее интенсивно протекает релаксация 136 [c.136]

Известны различные способы ускорения вычислений. Из числа современных модификаций метода сеток отметим метод релаксаций [38], который позволяет квалифицированному вычислителю существенно ускорить процесс приближений. По описанному выше простейшему методу сеток производится последовательное уточнение самих значений искомой функции Т (х, у) по методу релаксаций определяются и последовательно устраняются невязки 8 (.к, у), в исходном приближении [c.45]

Правильность расчетов контролируется в последнем приближении непосредственным вычислением невязки (6.5), которая должна быть равна нулю. Преимущество метода релаксаций перед обычным методом сеток заключается в оперировании с меньшими числами (невязками) и в возможности, при навыке, эффективного исправления [c.45]

Основную трудность представляет решение системы уравнений (7.7). При отсутствии счетных машин целесообразно применить метод релаксаций [38]. Отметим важное свойство уравнений (7.7), позволяющее с успехом применять также метод последовательных приближений величина скорости в каждой точке контура слабо зависит от величины скоростей в удаленных от нее точках, и в каждом из уравнений (7.7) обычно можно выделить главные члены, коэффициенты которых существенно больше коэффициентов остальных членов. [c.54]

Подчеркнем, что по сравнению с обычными разностными методами (в том числе и методом релаксаций), решения рассматриваемой задачи в фиксированной системе координат, описанные выше методы позволяют настолько сократить объем вычислений, что получение решения становится возможным с помощью обычной техники ручного счета. [c.333]

При итерационном решении нелинейных систем алгебраических уравнений часто полезным оказывается применение метода релаксации. В этом случае решение на новой итерации можно записать в виде [c.158]

Стержень коробчатого прямоугольного поперечного сечения. Линии уровня интенсивности г касательных напряжений и упругопластическая граница при кручении стержня коробчатого прямоугольного поперечного сечения показаны на рис. 3.15 при значениях = 1,85 Wo (wo - угол кручения на единицу длины стержня, при котором впервые возникают пластические деформации во входящих углах сечения). Материал стержня считается идеально упругопластическим. Решение получено методом релаксации [9, 12] (значения г на рис. 3.15 даны в кН/см ). [c.172]

Стержень квадратного поперечного сечения. На рис. 3.16 показаны области пластических деформаций при кручении стержня квадратного поперечного сечения. Материал стержня идеально упруго пластический. Решение получено методом релаксации [29]. Кривая 1 соответствует крутящему моменту Mi = 1,25 Mq, г кривая 2 соответствует моменту М2 = 1,5 Мо- Здесь Мо - максимальный упругий момент кручения, соответствующий возникновению пластических деформа- [c.174]

Разделы, касающиеся метода фотоупругости, двумерных задач в криволинейных координатах и температурных напряжений, расширены и выделены в отдельные новые главы, содержащие многие методы и решения, которых не было в прежнем издании. Добавлено приложение, относящееся к методу конечных разностей, в том числе к методу релаксации. Новые параграфы, включенные в другие главы, относятся к теории розетки датчиков деформаций, гравитационным напряжениям, принципу Сен-Венана, компонентам вращения, теореме взаимности, общим решениям, приближенному характеру решений при плоском напряженном состоянии, центру кручения и центру изгиба, концентрации напряжений при кручении вблизи закруглений, приближенному исследованию тонкостенных сечений (например, авиационных) при кручении и изгибе, а также к круговому цилиндру при действии пояскового давления. [c.14]

Для решения конечно-разностных уравнений (36) методом итераций примем некоторые начальные значения функции напряжения ф , фз,. .. Ф15. Подставляя их в уравнения (36), получим остаточные усилия для всех внутренних точек, которые можно затем устранить методом релаксации. Соответстнуюш,ая [c.545]

Решение уравнений (10) может быть найдено при помощи как ТОЧНЫХ, так и приближенных методов. Наиболее эффер тивными оказались блочный метод исключения Гаусса и метод сопряженных градиентов. Итерационные методы и методы релаксации, как правило, менее эффективны. [c.560]

По методу релаксации можно написать = 1000-j-lOOO-j-0 + 0 — 4/ = О, тогда Г = 500°С. [c.238]

В качестве приложения к статье приводятся сообщение Фокса и Гудвина, которые рассматривали плоскую задачу о растекании водяной колонны, имевшей первоначально форму прямоугольника. Решение получено методом релаксации (конечных разностей). Приводится просчитанный пример, причем отмечается, что с возрастанием времени поведение линии свободной поверхности все более портится вблизи твердой стенки. [c.76]

При сопряжении нескольких слоев процедура сопряжения решений может быть построена методом релаксации Саусвелла [4]. [c.339]

В предположении, что все образующееся тепло остается в масле, Кристоферсоном [10] для специального случая было исследовано методом релаксации влияние распределения вязкости по окружности и длине подшипника на его рабочие характеристики. Использованная [c.200]

Принимая в качестве возможных перемеп1,ений единичные перемещения по направлениям всех связей, кроме тех, в которых перемещения заданы, получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных перемещений у и zt ,-, у. Для решения этой системы используется итерационный метод — метод релаксации [19] с ускорением сходимости по Л. А. Люстернику. Составленная по этой методике универсальная программа [18] применительно к машине IGL4-50, 4-70 позволяет область произвольного очертания вписывать в поле размером 100 X 200 шагов, число неизвестных смещений может быть до 4000. Во время счета используется только оперативная память машины. [c.105]

Как увидим в 2, вычислительные работы, относящиеся к задачам разрушения, ведутся примерно с 1950 г. На первых этапах их делали вручную, пользуясь методом релаксации при этом прибегали к моделям, которые современного исследователя повергли бы в ужас. Тем ие менее эти методы были если и не исчерпывающими, то достаточно надежными, причем они довольно существенно отличались от распространенных в то время прпемов решения задач пластичности [1]. [c.322]

Было бы легко, но, как мы увидим, неточно считать, что истоки вычислительных методов в пластичности совпадают со временем зарождения крупномасштабного анализа конструкций. Так случилось, что Аллен и Саусвелл [6] опубликовали первое исследование образца на растяжение с V-образным надрезом, Якобс [7] опубликовал второе. Аллеи и Саусвелл занимались плоским напряженным состоянием и применяли метод релаксаций. Якобс занимался примерно той же задачей, но в условиях плоской деформации. [c.323]

В обоих исследова1Шях при решении уравнений пользовались конечными разностями и методом релаксаций. Хотя этот подход [c.323]

Оглядываясь назад, видишь, что самым удивительным в этой работе было то, что pemeime осуществлено вручную, т. е. метод релаксаций не был поставлен на машнну, как мы теперь говорим. Кроме того, с учетом точности расчетных работ решение выглядит вполне приемлемым. [c.324]

Для обеспечения достаточной точности приходится выбирать малый шаг сетки, что и приводит к высокому порядку системы. Известно несколько методов, облегчающих решение систем метод релаксации, метод экстраполяции, метод Гаусса, метод прогонки и т. д. В 4 будут изложены алгоритмы, основанные на использовании методов Гаусса и прогонки. Это направление в отечественной литературе представлено в основном работами В. И. Мяченкова, Ю. В. Липовцева, В. В. Кабанова, результаты исследований которых нашли значительное отражение в книге. [c.82]

С ТОМКИ зрения экстремума функционала легко объяснить, в чем заключаются некоторые приемы ускорения сходимости итерационных методов. Например, одним из лучших способов ускорения сходимости метода Зейделя (который называют также методом релаксации) является метод неполной релаксации. С позиций поиска экстремума он заключается в том, что, найдя минимум функционала по г-й переменной Uj, в качестве нового значения берут промежу- [c.181]

Решение системы уравнений выполняется итера ционным методом релаксации (методом Гаусса —Зей-деля) с использованием различных приемов ускорения сходимости (см. 5). Для метода неполной релаксации применялся автоматический поиск оптимального коэффициента релаксации, обеспечиваю щего самое быстрое убывание невязок уравнений, т. е. градиента функционала. [c.191]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...