Система координат криволинейна ортогональная

Если в каждой точке единичные касательные векторы 01, в2, Сз к соответствующим координатным линиям , 2, з ортогональны, то криволинейная система координат называется ортогональной. [c.107]

Упражнения к этой главе затрагивают также две дополнительные темы. Первая из них связана с условиями совместности и функциями напряжений. В задачах 18 и 19 дан систематический метод получения функций напряжений в случае растяжения пластины, а также ее изгиба с использованием условий совместности. Вторая тема относится к теории изгиба пластины, представленной в криволинейных координатах. Задачи 20—23 посвящены теории изгиба в неортогональной системе координат, в косоугольной системе координат, в ортогональной криволинейной системе координат и в цилиндрической системе координат соответственно. В задаче 24 рассматривается теория изгиба пластины с учетом деформации поперечного сдвига в неортогональной криволинейной системе координат. [c.248]

Если координатные линии совпадают с линиями кривизны срединной поверхности, то криволинейная система координат является ортогональной, и такой системой координат в дальнейшем будем в основном пользоваться. [c.10]

Важным частным случаем произвольной системы координат является ортогональная криволинейная система координат. Метрический тензор ё г имеет простой диагональный вид g t j=0, 1ф . Введем обозначения н = к (по / не суммировать). Нетрудно найти, НТО =/11 /12 /13% а символы Кристоффеля имеют такую форму [c.201]

Ортогональная изостатическая криволинейная координатная сетка (т.е. сетка, координатные линии которой касаются трех взаимно ортогональных главных осей тензора напряжений) даже для расслоенного поля напряжений существует далеко не всегда. Пиже, в разделе, будут приведены условия, обеспечивающие возможность введения ортогональной изостатической системы координат. Если ортогональные изостатические координаты все же можно ввести, то поле напряжений необходимо является расслоенным. Обратное утверждение, конечно же, не является справедливым. [c.46]

Криволинейное течение определяется следующим образом. Пусть — ортогональная система координат, и пусть контра-вариантные компоненты вектора скорости имеют вид [c.181]

Если в любой точке пространства координатные оси взаимно перпендикулярны, то система криволинейных координат называется ортогональной. [c.198]

Наряду с прямолинейными декартовыми для записи уравнений и их решений используются ортогональные криволинейные координаты цилиндрические, сферические и т. п. Например, при движении гибкого стержня по цилиндрической поверхности наиболее удобными координатами для записи уравнений являются цилиндрические координаты. На рис. П.4 показаны цилиндрическая система координат и соответствующий базис е,)(ег, е,, еу). Более подробно о криволинейных осях сказано в п. 2.8. [c.291]

Отметим еще раз, что в (1.47) и (1.48) по индексу k никакого суммирования производить не следует. Если криволинейная система координат ортогональна, то направления ие совпадут, тогда обозначим их через аж =-Если криволинейная система координат ортогональна, то, как известно, [c.18]

Описанные выше одномерные и двумерные течения являются определенной идеализаций, которая практически применима для ряда технических актуальных задач. Но во многих случаях, когда течения даже приближенно нельзя рассматривать как одно- или двумерные, возникает необходимость решать более сложные задачи о пространственных или трехмерных течениях. Возможность их решения в значительной степени зависит от выбора системы координат. Часто оказываются удобными различные криволинейные ортогональные системы, например цилиндрическая и сферическая. [c.269]

УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ [c.39]

Рис. 14. Схема к выводу уравнения неразрывности в ортогональной криволинейной системе координат

Отнесем оболочку к ортогональной криволинейной системе координат = а, = Р, х = 2, х . Первые две координаты (а, р) системы представляют собой криволинейные координаты на срединной поверхности соответствующие им координатные линии являются линиями главных кривизн. Третья координатная линия—кривая, касательная к которой направлена по нормали к поверхности, параллельной срединной, и в совокупности с двумя первыми образует ортогональную систему криволинейных координат. Однако при решении инженерных задач [c.362]

Отнесем оболочку к ортогональной, криволинейной системе координат (а, р, 2, X ). [c.405]

В приложении приводятся сведения об ортогональных криволинейных координатах и даются выражения для некоторых дифференциальных операторов поля в сферической и цилиндрической системах координат. [c.9]

Соотношения (1.8) и (1.8а) правомерны при рассмотрении движения границы в любой системе координат как декартовой, так и криволинейной ортогональной (например, сферической). Ниже эти соотношения даны для декартовой системы координат и приведены примеры их использования. [c.44]

В общем случае ортогональной криволинейной системы координат qj имеем [c.184]

Наконец, используя соотношения (П.4) и (П.5), дадим выражение оператора Лапласа в ортогональной криволинейной системе координат [c.368]

Естественно, что построение тензора деформаций возможно и в случае, когда смешения заданы в криволинейных координатах. В произвольной ортогональной системе координат а, р, у) компоненты тензора малых деформаций можно определить следующим образом [c.215]

Уравнения газовой динамики в координатах Мизеса. При решении задач газовой динамики, особенно внутренних и струйных, удобными оказываются координаты Мизеса декартова координата х и функция тока if. Введем криволинейную ортогональную систему координат, связанную с кривой y=fa(x), расположенной в плоскости х, у (рис. 2.1). Координаты точки в этой системе определяются длиной дуги s и расстоянием по нормали к этой кривой г. Из геометрических соображений (рис. 2.1) следует, что декартовы координаты х, у связаны с криволинейными координатами 5, г следующими отношениями [c.37]

Если область Ж ограничена одним замкнутым контуром С, то в качестве области Ж можно выбирать внутренность или внешность круга единичного радиуса и проводить решение краевой задачи, сформулированной для новой переменной в полярной системе координат, а для переменной 2 — в криволинейной ортогональной системе координат, в координатные линии которой переходят координатные линии полярной системы координат в плоскости при рассматриваемом конформном отображении. [c.500]

Если векторы ei, в2, ез взаимно ортогональны, то криволинейные координаты называют ортогональными. Мы будем рассматривать только ортогональные криволинейные координаты. Найдем проекции Vq. и Wq. (i = 1, 2, 3) скорости V и ускорения w точки Р на оси криволинейной системы координат. Из (1), (16), и (17) получаем [c.28]

Когда исходные данные, служащие для образования уравнений движения системы, т. е. определение системы и функция сил, не зависят ни от направления осей координат, предполагаемых ортогональными, ни от положения их начала, то дифференциальные уравнения движения не содержат величин, относящихся к направлению осей, и не изменяются, когда рассматривается прямолинейное и равномерное движение начала. Из этого мы заключаем, что среди величин, введенных при интегрировании этих уравнений, содержится девять величин, относящихся к направлению осей координат, положению в данный момент их начала и прямолинейному и равномерному движению этого начала. Этого заключения нельзя сделать при криволинейном или неравномерном движении, так как тогда вследствие сил инерции вид дифференциальных уравнений будет зависеть от характера этого движения. [c.387]

При численном решении краевых задач для тел сложной формы в прямоугольных сетках возникают большие трудности, связанные с аппроксимацией граничных условий, поэтому в настоящей работе используется криволинейная ортогональная система координат, соответствующая конформному отображению кругового кольца на двухсвязную область, занятую торцовым сечением зубчатого колеса. Методы получения таких отображений разработаны достаточно хорошо [5], [c.129]

Двумерное квазилинейное уравнение теплопроводности, начальные и краевые условия третьего рода в криволинейной ортогональной системе координат р, 0 для двухсвязной области S, ограниченной спрямляемыми кривыми Li (i = 1, 2), запишутся в виде [c.129]

В дальнейшем под базисом е, подразумевается ортогональный базис (рис. 1.1). Ортогональная система координат может бить прямолинейной (такая система координат называется декартовой) и криволинейной (цилиндрическая, сферическая, эллиптическая). В прямолинейной системе координат базисные единичные векторы во всех точках пространства неизменны по направлению, в криволинейных системах координат базисные векторы при переходе в другую точку пространства меняют направление. [c.8]

Рассмотрим преобразование прямоугольной системы координат (xi) в ортогональную криволинейную систему координат [c.8]

Общность рассуждений теории пограничного слоя не изменится, если воспользуемся такой системой координат, при которой параметрические линии поверхности F образуют ортогональную сетку. Тогда площадь элементарного криволинейного квадрата выразится через [c.249]

Важнейшими ортогональными криволинейными координатами являются цилиндрические, сферические и (на плоскости) полярные системы координат (см. п. 4,1.1). [c.107]

Выбранную систему ортогональных криволинейных координат, совпадаюш.ую с линиями тока жидкости и семействами ортогональных им кривых, называют естественной системой координат. Удобство этой системы координат заключается в то.м, что в ней уравнения движения предельно упрощаются. Известный недостаток применения естественной системы координат, как и переменных Лагранжа, связан с тем, что эта система заранее не известна и должна определяться в процессе решения путем последовательных приближений. В рассматриваемом случае течения газа в турбомашинах выбор первого приближения облегчается тем, что известны граничные координатные поверхности, а промежуточные поверхности могут быть сразу заданы с достаточной точностью. [c.280]

Приведенные выражения есть полные нелинейные деформации для трехмерного тела, записанные в криволинейной ортогональной системе координат. [c.133]

Для задачи об одномерном нестационарном тепловом потоке в декартовой или криволинейной ортогональной системе координат, составленной неизменными линиями теплового потока и изо- [c.190]

Модель Ньюмена, учитывающая чисто диффузионный механизм массоперепоса в газовой фазе, может быть применена только для очень маленьких газовых пузырьков, диаметр которых не превышает 0.3 мм. Согласно эксперимента.льным данным [841, в пузырьках газа диаметром более 0.3 мм существует развитое течение газа, представляющее собой вихрь Хилла (см. рис. 6). Рассмотрим модель массопереноса, учитывающую наличие циркуляционного течения внутри газовых пузырьков [82 ( (модель Кронига — Бринк). Будем считать, что Ре со. Перейдем в уравнении (6. 1. 1) с краевыми условиями (6. 1. 2) —(6.1.4) и замыкающими соотношениями (6. 1. 5), (6. 1.6) к криволинейной системе координат (рис. 74). Семейство координатных линий I здесь выбрано таким образом, чтобы оно с точностью до постоянного множителя совпадало с линиями тока [)р=соп81. Второе семейство координат ортогонально первому [c.239]

Как уже указывалось, векторная форма записи уравнений равновесия или движения стержня инвариантна по отношению к координатным системам, однако при численных методах решения уравнений всегда переходят к скалярной форме записи уравнений, которая зависит от выбранной конкретной системы координат. От удачного выбора координатной системы существенно зависит зфчфективность решения задачи. Основное отличие ортогональных прямолинейных координатных осей с базисом i, от ортогональных криволинейных с базисом е, (рис. П.4) заключается в том, что базисные векторы i не зависят [c.291]

В настоящем параграфе и в 3.7 изложение проводится применительно к декартовой системе координат и ограничивается случаем статического равновесия и отсутствием температурного эффекта. Построение вариационного уравнения Лагранжа применительно к четырехмерной задаче (при наличии термоэффекта) и в ортогональной криволинейной системе координат дано в оригинальной работе А. Е. Крушевского [48], к которой и отсылаем читателя, особенно интересующегося расчетом сложных корпусных деталей машин. [c.71]

Еис. 2.7. Схема для вывода уравнения ие-разрывиости в криволинейной ортогональной системе координат [c.37]

Дивергенция вектора А в ортогональной криволинейной системе координат может быть вычислена, исходя из теоремы Остроград-ского—Гаусса. Поскольку [c.367]

Для механики сплошной среды вообще и механики деформируемого твердого тела в частности аппарат теории тензоров является естественным аппаратом. В большинстве теорий выбор системы координат, в которых ведется рассмотрение, может быть произвольным. Проще всего, конечно, вести это рассмотрение в ортогональных декартовых координатах. Очевидно, что доказательство общих теорем и установление обнщх принципов при написании уравнений именно в декартовых координатах не нарушает общности. Что касается решения задач, то иногда бывает удобно использовать ту или иную криволинейную систему координат. Однако при этом почти всегда речь идет о простейших ортогональных координатных системах — цилиндрической или сферической для пространственных задач, изотермической координатной сетке, порождаемой конформным отображением, для плоских задач. В некоторых случаях, когда рассматриваются большие деформации тела, сопровождаемые существенным изменением его формы, система координат связывается с материальными точками и деформируется вместе с телом. При построении соответствующих теорий преимущества общей тензорной символики, не связанной с определенным выбором системы координат, становятся очевидными. Однако в большинстве случаев эти преимущества используются при формулировке общих уравнений, не открывая возможности для решения конкретных задач. Поэтому мы будем вести основное изложение в декартовых прямоугольных координатах, случай цилиндрических координат будет рассмотрен отдельно. [c.208]

Вся приведенная выше теория нанряженнй п деформаций сохраняется и при пользовании произвольной криволинейной, не обязательно ортогональной системой координат. В качестве базисных векторов принимают производные от радиуса-вектора точки по криволине1шым координатам j = rj, по отношению к этому базису вектор или тензор задаются контравариантными компонентами. По отношению к взаимному базису векторы и тензоры задаются ковариантными составляющими. [c.231]

Последнее замечание в этой связи будет относиться к тому случаю, когда криволинейные координаты ортогональны. Вместо естественного базиса = г , векторы которого имеют разную длину и, вообще, разную размерность, бывает удобно воспользоваться местным базисом, образованным единичными векторами ik = к/ Yikk (не суммировать). Тогда физические компоненты вектора или тензора, т. в. компоненты по отношению к локальной декартовой системе координат, определяются следующим образом [c.232]

Компоненты напряжения в системе координат х, у теперь можно найти из производных от ф и ф (Q по г. Криволинейные компоненты, отвечающие эллипсам на плоскости г, на которые отображаются окружности р> 1, а также ортогональные им гиперболы, на которые отображаются лучи О— onst, можно получить по формулам типа (92) и (93) или (96) и (97). Перемещения определяются из уравнений (86) или (98). [c.226]

Система уравнений (10.85) решается обычно приближеп-пымп методами в ортогональной криволинейной системе координат 51, 52, совпадаюш ей с линиями сколь кения. [c.307]

Пусть оболочка отнесена к ортогональной криволинейной системе координат Ох х г, так что ось Ог направлена по нормали к срединной поверхности, а линии Xi = onst v[ Х2= onst совпадают с линиями кривизны. Перемещения в любой точке оболочки [c.160]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...