Система координат эллиптическая

Если отсчитывать полярный угол ср от конца большой полуоси эллиптической траектории, ближайшего к полюсу полярной системы координат, то этот угол называется истинной аномалией. [c.402]

Эллиптические координаты в пространстве. В эллиптической системе координат точка М в пространстве ог ределяется параметрами тре.т пересекающихся в этой точке поверхностей второго порядка, софокусных заданной. Пусть [c.453]

При системе плоских эллиптических координат предполагается, что движущаяся точка находится под действием силы, имеющей силовую 11. гг [c.507]

Понятие об эллиптических элементах. В 2 для изучения общего решения уравнений движения точки, притягиваемой неподвижным центром по закону Ньютона, мы пользовались частной системой координат, подсказанной, так сказать, природой самой задачи (плоскость ху совпадала с плоскостью движения, полюс находился в центре силы и в эллиптическом случае полярная ось была направлена вдоль большой оси орбиты в сторону перигелия). Но иногда удобнее пользоваться общей системой координат это становится прямо необходимым, когда имеется в виду совместное изучение нескольких решений задачи, например изучение (эллиптических) движений двух или нескольких планет вокруг Солнца. [c.205]

Положим [X = р/(а -f р). Значение (х = О соответствует р = О, так что при [X = О задача о движении планетоида становится эквивалентной задаче о движении частицы в поле ньютоновского притяжения к неподвижному центру. В этом случае периодическое движение, разумеется, существует (во вращающейся системе координат). Существуют, например, эллиптические орбиты (относительно фиксированных осей) с периодом обращения 2л/ш, и, что особенно важно для наших целей, существуют равномерные-круговые движения около центра А (который при (х = О совпадает с G). Спрашивается, существуют ли периодические движения для достаточно малых положительных значений [х [c.613]

На фиг. 3 показана схема обработки винтовой поверхности эллиптическим цилиндром, связанным с подвижной системой координат т], которая совершает винтовое движение вокруг оси 2 системы, [c.14]

В дальнейшем под базисом е, подразумевается ортогональный базис (рис. 1.1). Ортогональная система координат может бить прямолинейной (такая система координат называется декартовой) и криволинейной (цилиндрическая, сферическая, эллиптическая). В прямолинейной системе координат базисные единичные векторы во всех точках пространства неизменны по направлению, в криволинейных системах координат базисные векторы при переходе в другую точку пространства меняют направление. [c.8]

Если форма сечения близка к эллиптической, то для прямоугольной системы координат посредством ряда преобразований можно получить выражение для длины эллипса через эллиптический интеграл, если известны размеры полуосей. По таблицам интегралов находим выражение для длины эллипса через полный эллиптический интеграл второго рода Е(к, п/2) [c.158]

Системы координат приведенного вьппе типа по очевидным причинам называются сопряженными системами. Важными примерами этих систем являются координаты эллиптического цилиндра, биполярные цилиндрические координаты и координаты параболического цилиндра, рассматриваемые в разд. А.11 — А.13. [c.569]

Исследуем ортогональность системы. Аналитическое условие ортогональности < 5ля эллиптической системы координат имеет вид [c.408]

Задача 3.75. Определить проекции скорости движущейся точки на оси эллиптической системы координат. [c.416]

Тогда проекции скорости на оси эллиптической системы координат будут [c.416]

Исключение представляет оболочка, имеющая форму эллиптического параболоида. Для нее точка 5 = оо соответствует бесконечно удаленной параллели географической системы координат, и поэтому на функцию ijj (Q надо в точке 5 = оо накладывать требования, соответствующие условиям работы оболочки на бесконечности. [c.191]

При исследовании пространственных течений приходится пользоваться различными криволинейными системами координат цилиндрической, сферической, эллиптической и др. Такой подход не только упрощает описание картины движения, но иногда просто неизбежен от удачного выбора системы координат зависит возможность разделения переменных в дифференциальных уравнениях, простота приемов удовлетворения граничных условий. В плоском безвихревом движении переход от физической плоскости г = х + щ [c.290]

Эллиптическая система координат часто применяется при решении задач для тел с трещинами и является одной из множества систем криволиней- [c.21]

Теперь проанализируем, каким образом комплексные потенциалы характеризуют распределение напряжений вокруг концентраторов напряжений. Рассмотрим эллиптический надрез с применением криволинейной системы координат, описанной в гл. II, раздел 3. [c.50]

Рис. 25. Связь между эллиптической и прямоугольной системами координат (а), а также между компонентами напряжений (б) Z—Z — касательная к кривой

Взаимодействие эллиптического отверстия и прямолинейной трещины.Пусть бесконечная плоскость ослаблена эллиптическим отверстием LqH прямолинейной.трещиной Lj. Отнесем контур Lo (обход против часовой стрелки) к декартовой системе координат хОу в которой форма эллипса определяется уравнением л = а os О, у = й sin 0, О 0 < 2я. Центр трещины находится на оси Ох в точке (d, 0). Разрез имеет длину 21 и образует угол а с осью Ох (см. схему на рис. 64). Берега трещины и край отверстия свободны от нагрузки, а на бесконечности тело сдвигается усилиями т так, что напряженное состояние в сплошном теле определяется функцией Fq (z) (VI.46). Комплексный потенциал F (z), согласна [c.213]

Теоремы сложения для волновых функций эллиптического цилиндра приведены в работе [50]. Если ( j, rij) и ( й, г /г) — две системы координат, причем расположение второй относительно первой задается координатами Ihj, Щ] ее начала и углом hj между осями Oxj и Охи, то [c.35]

Полученное отображение определяет эллиптическую и полярную системы координат. Только в указанных координатных системах переменные разделяются. [c.51]

В 3.5 на основе точных решений ИУ первого рода, содержащих в качестве ядер эллиптические функции Якоби (см. 1.4), получено точное решение контактных задач теории упругости о чистом сдвиге штампом (в обш,ем случае деформируемым) цилиндрического тела, представляющего собой в сечении область, ограниченную координатными линиями ортогональной линейной системы координат на плоскости, коэффициенты Ламе которой удовлетворяют некоторым условиям. Сюда относятся декартовы, полярные, биполярные, параболические, гиперболические и др. координаты. Подробнее в биполярных координатах рассмотрены контактные задачи Qn, Qn для усеченной луночки. Решения задач этого пункта представляют не только самостоятельный интерес, но служат основой для решения контактных задач о внедрении штампов в поверхности таких же тел путем выделения и обращения главных частей ядер соответствующих ИУ. [c.17]

Пространственные контактные задачи для слоя с учетом сил трения в области контакта. Задачи L, L2. Пусть жесткий штамп в форме эллиптического параболоида, лежащий на поверхности Z = h слоя О Z h с модулем сдвига 0 и коэффициентом Пуассона и, находится под действием нормальной силы Р и тангенциальной силы Т, направленной вдоль оси Ох. Здесь (ж, у, z) — прямоугольная система координат, начало которой находится на нижней поверхности. Предполагается, что силы трения под штампом параллельны силе Т и штамп находится в условиях предельного равновесия и не поворачивается, а поверхность слоя z = 0 жестко соединена с упругим полупространством с другими упругими постоянными G2 и U2 (задача Li) или взаимодействует с ним без трения при условии равенства нормальных напряжений и перемещений (задача L2). Схема взаимодействия штампа со слоем, лежащим на полупространстве, изображена на рис. 7.1 на стр. 246. [c.27]

Следует иметь в виду, что поставленная граничная задача имеет строгое решение, полученное методом разделения переменных в эллиптической системе координат (см., например, [27]). Это решение имеет вид рядов по функциям Матье, пригодных для вычислений при %<10 для таких значений имеются табли- [c.187]

Здесь 7 = 6— ,Рб— давление в центре площадки касания к и Ь — полные эллиптические интегралы. Система координат выбирается так чтобы оси хну совпадали о полуосями й и эллиптического контура площадки касания. [c.57]

Экер ставит ряд условий для выбора криволинейной системы координат, позволяющей более правильно описать изменение температуры и напряженности поля вдоль оси ствола дуги в области сужения. Так, примененные координатные линии должны в начале области сужения идти параллельно оси, так как область сужения должна здесь переходить в ствол дуги. Сужение вначале должно идти сравнительно медленно, а вблизи катода — быстро. Далее, выдвигается требование, чтобы координатные линии сходились в одной точке (за поверхностью катода и вблизи от нее), так как степень сужения у катода нежелательно ограничивать. Этим условиям хорошо удовлетворяет система ортогональных гиперболических и эллиптических поверхностей вращения около оси дуги. [c.78]

Во многих задачах небесной механики необходимо знать время движения точки (планеты) по эллиптической орбите. Рассмотрим движение планеты относительно Солнца в системе осей, имеющих начало в центре Солнца и сохраняющих неизменное направление относительно звезд. Уравнение траектории планеты запишем в полярной системе координат [c.252]

Исследование динамических контактных задач для многослойных сред с расположенными в них дефектами (полостями или упругими включениями) связано с многочисленными трудностями как чисто теоретического, так и практического характера. Это обусловлено тем, что исследуемая область характеризуется большим количеством параметров, которые определяют соотношения упругих и геометрических характеристик слоев, положение полости по отношению к границам раздела сред и поверхности, форму границы неоднородности (полости или включения). Кроме того различные части границ области (границы слоев и неоднородности) описываются в различных системах координат, даже в случае полости (включения) канонической (крз -овой или эллиптический цилиндр, сфера, эллипсоид) формы. Еш,е сложнее комплекс проблем в случае неоднородности сложной формы. Указанные факты, по-видимому, определяют весьма ограниченное количество публикаций, посвяш,енных данной проблематике как в отечественной, так и в зарубежной литературе. [c.311]

Рассмотрим решение уравнения Максвелла (3.256), (3.257) внутри зоны (канавки). Для этого сначала рассмотрим задачу о распространении электромагнитной волны внутри наиравдающей структуры (волновода). Предположим, что сечение вошовода представляет собой область, расположенную между двумя парами кривых, которые являются координатными линиями одной из криволинейной системы координат эллиптической, параболической, цилиндрической жлж декартовой. Название системы координат совпадает с названием кривой второго порядка, которая описывает сечение направляющей стру , ,ур Стецщ направляющей структуры будем считать идеально проводящими. Введем ортогональные криволинейные координаты по формулам X = х и, и), / = у и, ю). [c.196]

Предположим, что рассматривается стационарное прямолинейное течение в длинной трубе с поперечным сечением некруглой формы, например в трубе с эллиптическим сечением. Если повторить для этого случая проведенный в гл. 5 анализ течения Пуазей-ля, окажется, что не существует контролируемых прямолинейных течений. Распределение if по сечению трубы будет не однородным ло координате 9 эллиптической системы координат. Это свидетельствует о существовании нулевого распределения скорости в плоскости поперечного сечения трубы. Тем не менее желательно предположить (для задач определенного типа), что это вторичное течение не слишком существенно например, не следует ожидать его большого влияния на величину /, описывающую падение давления на единицу длины трубы. [c.272]

Докажем, что эллиптическая система координат представляет собой систему ортогональную. Координатные поверхности (26.24), (26.25), (26.26) встречаются ортогонально, ейли соблюдены условия [c.262]

Б. Пусть Sxyz — декартова система координат с осями, главными в 5, и As = Ma >Bs = Mb > s = M . Показать, что главные направления в точке Р х, у, z) параллельны координатным линиям эллиптических координат, ассоциированных с гирационным эллипсоидом [c.204]

Линиями постоянных значений а при изменении р от О до 2л являются со-фокусные эллипсы линиями постоянных значений Р — софокусные гиперболы. Эти два семейства кривых ортогональны. Схематично эллиптическая система координат представлена на рис. 8. Ее преимущество заключается в том, что путем соответствующего выбора констант можно придать эллипсу длинную и узкую форму, имитирующую внутреннюю трещину, или видоизменить пару гипербол, чтобы они соответствовали геометрической форме внешнего надреза. Напряжение сгар действует в тангенциальном направлении на элемент поверхности, нормаль которой ортогональна касательной эллипса. [c.21]

При вычерчивании эллиптической дуги обратите внимание на некоторые особенности поведения Auto AD в процессе задания углов эллиптической дуги система начнет отсчитывать их значения от большей оси. Это поможет вам сориентироваться и правильно задать центральные углы относительно осей эллипса, а не прямоугольной системы координат. [c.158]

Уравнение (3.2.4) описывает кривую второго порядка. Из выражений (3.2.2) очевидно, что эта кривая ограничена прямоугольной областью со сторонами, параллельными координатным осям и имеющими размеры 2А и lA . Следовательно, такая кривая должна быть эллипсом. В этом случае говорят, что волна, определяемая выражением (3.2.1), является эллиптически поляризованной. Для полного описания эллиптической поляризации требуется знать ориентацию эллипса относительно осей координат, его форму и направление вращения вектора Е. В общем случае направление главных осей эллипса не совпадает с направлениями осей х и у. Соответствующее преобразование системы координат (вращение) позволяет диагонализовать уравнение (3.2.4). Рассмотрим новую систему координат с осями х и/, направленными вдоль главных осей эллипса. В этой новой системе координат уравнение эллипса принимает вид [c.65]

В данной главе приведены решения скалярных и векторных волновых уравнений для установившихся волновых движений в системах координат, в которых допустимо разделение переменных и которые используются в последуюших главах при изучении дифракционных процессов. Рассмотрены круговая цилиндрическая. эллиптическая цилиндрическая, сферическая, сфероидальная и параболическая цилиндрическая координатные системы. Для первых трех из указанных систем приведены теоремы сложения волновых функций. Даны основные свойства используемых специальных функций. Отметим, что в случае нестационарных процессов в результате применения интегрального преобразования Лапласа по времени волновые уравнения также сводятся к уравнениям Гельмгольца. Следовательно, приведенные в настоящей главе результаты справедливы и для нестационарных задач. Отличие состоит лишь в том, что в нестационарном случае волновые числа будут чисто мнимыми. [c.28]

В работе [68] приведены системы координат, в которых для уравнения (3.2) можно получить уравнения (3.4) с разделенными переменными. Это прямоугольная, круговая цилиндрическая, сферическая, коническая, параболическая, эллиптическая цилиндрическая, параболическая цилиндрическая, вытянутая и сплющенная сфероидальные, эллипсоидальная и параболои-дальная координатные системы. [c.48]

В задачах для многосвязных областей, ограниченных эллиптическими, цилиндрическими и сфероидальными поверхностями, имеется три источника появления бесконечных систем пе-реразложение периодических функций, соответствующих различным волновым числам, по общей системе периодических функций разложение параметров Ляме соответствующей системы координат по системе периодических функций использование теорем сложения для переразложения решений из одной координатной системы в другую. [c.54]

В цилиндрической системе координат г, 0, г для случая осевой симметрии выражения для Dki,- и Sku можно получить из соотношений (III.50) преобразованием, аналогичным тому, которое использовалось для B ih и Ец1 . Тогда, проинтегрировав по углу 0, получим выражения для входящих в Dk i и компонент, которые, как и (III.13), выражаются через полные эллиптические интегралы первого и второго рода. [c.69]

Неравномерное враща1ие системы координат (эксцентртситетные колебания). Наибольшее влияние эллиптичность орбиты оказывает на грави-тационно-стабилизированные спутники, так как частота соответствующего возмущающего момента близка к собственной частоте либрационных движений системы гравитационной стабилизации. На круговой орбите собственные колебания гравитационно-устойчивого спутника с течением времени затухают, и система переходит в положение устойчивого равновесия. На эллиптической орбите равновесного положения не существует. Система совершает в плоскости орбиты вынужденные (эксцентриситетные) колебания, вызываемые неравномерностью вращения орбитальной системы коор- [c.20]

На основе точных решений интегральных уравнений первого рода, содержаш,их в качестве ядер эллиптические функции Якоби (см. 1.4), получено точное решение контактных задач теории упругости о чистом сдвиге штампом (в общем случае деформируемым) цилиндрического тела, представляюшего собой в сечении область, ограниченную координатными линиями ортогональной линейной системы координат на плоскости, коэффициенты Ламе которой удовлетворяют некоторым условиям [168]. Сюда относятся декартовы, полярные, биполярные, параболические, гиперболические и другие координаты. Аналогичные задачи в случае полосы изучались в работе [44], здесь же предложена схема построения точного решения рассматриваемых задач путем конформного отображения полосы на конечную область. [c.153]

Спрессовывание вязкопластического материала. Чтобы установить отличия в поведении пластического и вязкопластического материалов, рассмотрим процесс спрессовывания уплотняемого вязкопластического материала в закрытой цилиндрической пресс-форме, пренебрегая внешним трением. Заметим, что естественным краевым условием для вязкого и вязкопласти-ческого материалов является условие прилипания, однако в этом разделе для простоты примем что стенки пресс-формы гладкие. Предположим, что поведение материала описывается эллиптическим условием текучести. Воспользуемся цилиндрической системой координат , Геометрическая схема показана на рис. 17. [c.127]

СКОЛЬКО работ. Так, в работе [31] приведены результаты изучения собственных поперечных колебаний тонких ортотроп-ных эллиптических пластинок с аналогичным эквидистантным вырезом. Теоретический анализ осуществлен с использованием метода Ритца. При этом проведено преобразование эллиптической пластинки в кольцевую с единичным внешним радиусом путем перехода к новой системе координат. Кольцевая круговая пластинка разбита на ряд секторов. Поперечные перемещения аппроксимируются рядами произведений приемлемых функций секториальнрй балки с малым углом конусности в плане на тригонометрические функции угловой координаты. Перемещения в направлении радиальной координаты аппроксимируются полиномами пятой степени, которые удовлетворяют основному уравнению изгибных колебаний балок.во всех точках внутри выделенного малого элемента и граничным условиям на его концах. В результате цроведенного исследования определены собственные числа и формы собственных колебаний для некоторых образцов изотропных эллиптических и круговых пластинок с подобными центральными вырезами. Для апробации полученных авторами результатов в работе дано сопоставление с результатами точных решений и результатами других авторов, полученных для частных случаев. , [c.293]

Остановимся подробнее на получении системы интегро-функциональ-ных уравнений контактной задачи. Использование принципа суперпозиции предполагает возможность получения аналитического решения краевой задачи динамической теории упругости с однородными граничными условиями в напряжениях для составляющих многослойную область с каноническим включением элементов. Таковыми являются однородный упругий слой, однородное упругое полупространство, полость в безграничном пространстве и упругое включение, граница которого тождественна границе полости. Решение задач для однородного слоя (полупространства) строится методом интегральных преобразований с использованием принципа предельного поглощения и может быть получено в виде контурного несобственного интеграла [2,4,14]. В зависимости от постановки задачи (пространственная, плоская, осесимметричная) получаем контурные интегралы типа обращения преобразования Фурье или Ханкеля [16]. Решение задачи для пространства с полостью, описываемой координатной поверхностью в ортогональной криволинейной системе координат, получаем в виде рядов по специальным функциям (сферическим, цилиндрическим (Ханкеля), эллиптическим (Матье)) [17]. При этом важно корректно удовлетворить условиям излучения, для чего можно использовать принцип излучения. Исключение составляет случай горизонтальной цилиндрической полости при исследовании пространственной задачи. Здесь необходимо использовать метод интегральных преобразований Фурье [16] вдоль образующей цилиндра и принцип предельного поглощения [3] для корректного удовлетворения условиям излучения энергии вдоль образующей. [c.312]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...