Гамильтона вариационный принцип

Векторный анализ, включающий теорию винтов. Кинематика. Динамика частицы и твердого тела. Уравнения Лагранжа и Гамильтона. Вариационные принципы. Уравнение Гамильтона — Якоби. Скобки Пуассона. Теория относительности. [c.439]

Исчерпывающее глубокое изложение, которое можно сравнить с трактатом Аппеля. Том I — кинематика, геометрия масс и статика II — динамика частицы, уравнения Лагранжа, устойчивость колебаний. Том II — динамика твердого тела, теория Гамильтона, вариационные принципы, движение под действием ударного импульса. [c.441]

Эта функция называется действие по Гамильтону. Вариационный принцип позволяет из всех возможных путей выбрать истинный. [c.215]

ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА — ОСТРОГРАДСКОГО [c.395]

Вариационный принцип Гамильтона [c.278]

ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА 279 [c.279]

Установленное выше утверждение о том, что прямой путь доставляет действию по Гамильтону стационарное значение, называется вариационным принципом (или началом) Гамильтона. Принцип Гамильтона замечателен тем, что он выделяет прямой путь среди всех окольных путей, которые могут быть проведены между двумя точками расширенного координатного пространства, устанавливает общее свойство прямого пути, его отличие от иных кинематически возможных, но не реализующихся в рассматриваемом потенциальном поле путей ). [c.279]

Это последнее утверждение играет важную роль потому, что оно позволяет положить в основу классической механики в качестве исходного постулата не второй закон Ньютона (или его ко-вариантную запись — уравнения Лагранжа), а вариационный принцип Гамильтона. Действительно, по крайней мере Для движений в потенциальных полях, постулируя вариационный принцип Гамильтона, можно получить из него как следствие уравнения Лагранжа. В теоретической физике иногда оказывается удобным вводить исходную аксиоматику в форме соответствующего вариационного принципа, устанавливающего общие свойства движения в глобальных терминах, и уже из этого принципа получать уравнения движения. [c.280]

ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА 283 [c.283]

Мы установим сначала, какую форму принимает для таких систем интегральный инвариант Пуанкаре — Картана после этого рассмотрим, как записать для них систему уравнений, вид которой напоминает уравнения Лагранжа или уравнения Гамильтона, но порядок ниже (за счет использования интеграла энергии) далее выясним, как выглядят в этом случае вариационный принцип Гамильтона и уравнение Гамильтона — Якоби и какие возможности открываются для определения полного интеграла этого уравнения. [c.326]

Утверждение это является аналогом принципа Гамильтона для консервативных систем и носит название вариационного принципа Мопертюи — Лагранжа, [c.331]

УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ составляется на основе применения вариационного принципа Гамильтона или уравнения Лагранжа II рода. [c.73]

В XIX в. ряд первоклассных открытий был сделан русскими учеными. Среди них в первую очередь следует отметить труды академика Михаила Васильевича Остроградского (1801—1861), которому принадлежат глубокие исследования в области аналитической механики особенно важное значение имеет установление М. В. Остроградским вариационного принципа, эквивалентного в частных случаях принципу, известному под названием принципа Гамильтона . Поэтому русские ученые прошлого века называли его принципом Остроградского — Гамильтона. Это название мы и сохраним в дальнейшем. [c.22]

В. Гамильтон на основании своих исследований по оптике доказал в 1834 г. указанный вариационный принцип для частного случая, а именно для движения систем в консервативном поле ). [c.195]

Возникает вопрос о непосредственном применении вариационных принципов механики для определения закона движения системы материальных точек без интегрирования соответствующей системы дифференциальных уравнений движения. Ответ на этот вопрос можно найти в прямых методах вариационного исчисления. Не рассматривая этот вопрос подробно, так как такое рассмотрение выходит за пределы содержания этой книги, остановимся на некоторых частных случаях непосредственного применения принципа Гамильтона — Остроградского к решению задач динамики. [c.210]

Величины 8Х , соответствующие переходу от координат некоторой точки в многообразии, на которое распространяется интегрирование, к координатам соседней точки, можно назвать вариациями координат. Это определение отличается от введенного нами ранее при изучении вариационных принципов механики. Об этом уже шла речь в 129 при применений метода варьирования, предложенного при изучении главной функции Гамильтона М. В. Остроградским. Еще раз остановимся на этом вопросе. [c.381]

Выше шла речь о теории сплошной среды с неподвижными дислокациями. Связь обобщенной механики сплошной среды с теорией пластичности естественно привела к необходимости рассмотрения движущихся дислокаций. Это изучение проводится посредством постулирования интегрального вариационного принципа, аналогичного принципу Остроградского — Гамильтона, несколько обобщающего принцип, рассматриваемый в общей теории относительности. Введение этого принципа в общей теории относительности позволило, в частности, рассматривать правую часть уравнений (IV. 169) как некоторые функциональные производные. Применение аналогичного принципа в континуальной теории дислокаций оказалось также целесообразным. Подробное изложение этих вопросов выходит за пределы содержания нашей книги ). [c.537]

Для решения динамических задач применяют вариационный принцип Гамильтона [4] [c.11]

Ряд важнейших исследований по аналитическим методам решения задач механики принадлежит знаменитому русскому математику и механику М. В. Остроградскому (1801 —1861). Он установил очень важный вариационный принцип динамики — принцип наименьшего действия, позволяющий сводить изучение движения механических систем к некоторой экстремальной задаче. Этот принцип называется принципом Остроградского — Гамильтона, так как независимо от Остроградского и в несколько менее общем виде он одновременно также был дан английским ученым Гамильтоном (1805— 1865). М. В. Остроградский решил также много частных механических задач в области гидростатики, гидродинамики, теории упругости, теории притяжения и баллистики. [c.16]

Для случая идеальных голономных связей Гамильтон установил важный вариационный принцип механики — принцип наименьшего действия. [c.213]

Согласно уравнениям движения в форме Лагранжа вариационный принцип Гамильтона в динамике точки принципа относительности имеет вид [c.347]

Невозмущенная функция Гамильтона Hq, как отмечалось, должна быть достаточно простой, т. е. допускать точное вычисление входящих в разложение (12.60) моментов (12.59). Возмущение Н = Н — Но должно быть по возможности малым. Один из возможных методов выбора Hi дает приводимый ниже вариационный принцип Боголюбова. [c.210]

Неравенство (12.63), определяющее верхнюю границу энергии Гельмгольца Гщ изучаемой системы, представляет собой вариационный принцип Боголюбова. Наилучшее значение энергии Гельмгольца F[H] получается тогда, когда вариационные параметры ai, вводимые при выделении аппроксимирующей функции Гамильтона Но, определяются из условия минимума Гш. Это минимальное значение и используется в качестве приближенного выражения для F [Я]. [c.210]

Лекции дают достаточно глубокий фундамент для изучения специальной теории относительности, квантовой механики и других разделов теоретической физики. В них подробно освещаются вариационные принципы и интегральные инварианты механики, канонические преобразования и уравнение Гамильтона — Якоби. [c.2]

Курс аналитической механики является фундаментом, на который опирается изучение таких разделов теоретической физики, как квантовая механика, специальная и общая теория относительности и др. Поэтому в книге подробно освещаются вариационные принципы и интегральные инварианты механики, канонические преобразования, уравнение Гамильтона — Якоби, системы с циклическими координатами (главы И, III, IV и VII). Следуя идеям А. Пуанкаре и Э. Картана, автор кладет в основу изложения материала интегральные инварианты механики, которые здесь являются не декоративным украшением теории, а ее рабочим аппаратом. [c.9]

ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ 16. Принцип Гамильтона [c.103]

Прямые пути, т. е. истинные движения при заданной функции L, могут быть охарактеризованы как при помощи дифференциальных уравнений движения в форме Лагранжа, так и при помощи вариационного принципа Гамильтона. Однако между дифференциальными уравнениями движения и вариационными принципами имеется одно принципиальное различие. [c.106]

Остановимся еще на одной форме вариационного принципа Гамильтона. Вместо (п 4-1)-мерного расширенного координатного пространства рассмотрим (2п 1)-мерное расширенное фазовое пространство, в котором координатами точки являются величины q , Pi (t= 1,. .., п) к t. В этом пространстве рассмотрим прямой путь, проходящий через две точки В р , t ) и (q, р, t ), а также [c.112]

Книга представляет собой углубленный курс классической механики, написанный на современном уровне. Помимо краткого обзора элементарных принципов, в ней изложены вариационные принципы механики, задача двух тел, движение твердого тела, специальная теория относительности, уравнения Гамильтона, канонические преобразования, метод Гамильтона — Якоби, малые колебания и методы Лагранжа и Гамильтона для непрерывных систем и полей. Показывается связь между классическим развитием механики и его квантовым продолжением. Книга содержит большое число тщательно подобранных примеров и задач. [c.2]

Следующим новшеством этой книги является включение в нее механики непрерывных систем и полей (гл. 11). Вообще говоря, эти вопросы охватывают теорию упругости, гидродинамику и акустику, однако в таком объеме они выходят за рамки настоящей книги и, кроме того, по ним имеется соответствующая литература. В противоположность этому не существует хорошей литературы по применению классических вариационных принципов к непрерывным системам, хотя роль этих принципов в теории полей элементарных частиц все время возрастает. Вообще теорию поля можно развить достаточно глубоко и широко еще до рассмотрения квантования. Например, вполне возможно рассматривать тензор напряжение — энергия, микроскопические уравнения неразрывности, пространство обобщенных импульсов и т. д., целиком оставаясь при этом в рамках классической физики. Однако строгое рассмотрение этих вопросов предъявило бы чрезмерно высокие требования к студентам. Поэтому было решено (по крайней мере в этом издании) ограничиться лишь элементарным изложением методов Лагранжа и Гамильтона в применении к полям. [c.9]

Преимущества вариационной концепции. Хотя принцип Гамильтона в форме (2.2) можно распространить на случай неконсервативных систем и неголономных связей, однако практически этот принцип наиболее полезен тогда, когда можно составить лагранжиан из независимых координат. Вариационный принцип Гамильтона в компактной форме содержит в себе всю механику консервативных голономных систем. Кроме того, этот принцип имеет то достоинство, что в его формулировке фигурируют только такие физические величины, которые не связаны с частной системой обобщенных координат (кинетическая и потенциальная энергии). Поэтому этот принцип автоматически инвариантен относительно преобразования обобщенных координат системы. [c.58]

Возможны, однако, и другие обобщения классической механики, порождаемые более тонкой аналогией. Мы видели, что принцип Гамильтона дает возможность компактно и инвариантно сформулировать уравнения механического движения. Подобная возможность имеется, однако, не только в механике. Почти во всех областях физики можно сформулировать вариационные принципы, позволяющие получить уравнения движения , будь то уравнения Ньютона, уравнения Максвелла или уравнения Шредингера. Если подобные вариационные принципы положить в основу соответствующих областей физики, то все такие области будут обладать в известной степени структурной аналогией. И если результаты экспериментов указывают на необходимость изменения физического содержания той или иной теории, то эта аналогия часто показывает, как следует произвести подобные изменения в других областях. Так, например, эксперименты, выполненные в начале этого века, указали на то, что как электромагнитное излучение, так и элементарные частицы обладают квантовой природой. Однако методы квантования были сначала развиты для механики элементарных частиц, описываемой классическими уравнениями Лагранжа. Если электромагнитное поле описывать с помощью лагранжиана и вариационного принципа Гамильтона, то методами квантования элементарных частиц можно будет воспользоваться для построения квантовой электродинамики (см. 11.5). [c.60]

Вывод уравнений Гамильтона из вариационного принципа. Мы знаем, что уравнения Лагранжа являются следствием вариационного принципа Гамильтона (см. 2.1). Более того, вывод уравнений Лагранжа из этого принципа имеет определенное преимущество, так как он применим и к системам, выходящим за рамки обычной механики. Поэтому целесообразно найти такой вариационный принцип, который приводит непосредственно к уравнениям Гамильтона. Мы увидим, что это можно сделать с помощью обычного принципа Гамильтона [c.250]

Принцип наименьшего действия. Другим вариационным принципом, подобным принципу Гамильтона, является принцип наименьшего действия. Если стремиться к наиболее общему определению, то под действием в механике следует понимать интеграл [c.253]

Мы уже говорили, что вариационные принципы не вносят в механику нового физического содержания и редко упрощают практическое решение той или иной механической задачи. Их главное достоинство состоит в том, что они служат отправными точками новых теоретических концепций в классической механике. В этом отношении особенно плодотворен принцип Гамильтона, а также принцип наименьшего действия, хотя и не в такой степени. Что касается других принципов, то они имеют заметно [c.260]

Вариационные принципы классической механики можно связать с вопросами, которые на первый взгляд могут показаться далекими от них. Например, имеется тесная связь принципа Гамильтона с общей теорией дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных. Некоторые из таких вопросов мы рассмотрим в следующих главах, однако среди них есть немало таких, которые рассматривать в нашей книге нецелесообразно. К их [c.261]

Таким образом, главная функция Гамильтона осуществляет переход к постоянным координатам р и постоянным импульсам а. Решая уравнение Гамильтона — Якоби, мы в то же время получаем решение рассматриваемой механической задачи. Говоря на математическом языке, мы установили соответствие между 2п каноническими уравнениями движения, которые являются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка, и уравнением Гамильтона — Якоби, которое является уравнением первого порядка в частных производных. Такое соответствие имеет место не только для уравнений Гамильтона известно, что каждому уравнению первого порядка в частных производных соответствует определенная система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В данном случае эта связь между рассматриваемым уравнением в частных производных и соответствующими каноническими уравнениями может быть объяснена происхождением этих уравнений от общего вариационного принципа — модифицированного принципа Гамильтона. [c.304]

Особое преимущество принципа Гамильтона обнаруживается в механике сплошных сред, поскольку этот принцип приводит не только к дифференциальным уравнениям задачи, но также и к краевым условиям, которым должны удовлетворять решения этих дифференциальных уравнений в частных производных. Во многих случаях необходимо вначале искать функцию Лагранжа L (входящую в выражение вариационного принципа) в зависимости от характера задачи. Это имеет место, например, при движении электрона в магнитном поле, когда действующая сила не имеет потенциала У далее — в теории относительности, когда L нельзя выразить с помощью выведенного нами выражения (4.10) для кинетической энергии. Здесь роль кинетической части принципа наименьшего действия играет выражение [c.277]

Преобразование уравнений Гамильтона. Вариационный принцип (5) замечателен тем, что из производных// ,..., p j ,q ,..., только q[,. .., q jj содержатся под знаком интеграла, и притом, линейно, и имеют коэффициентами как раз сопряженные переменные. Преобразование координат Pl,. .., q,n в новые р ,. .., дает форму, линейную относительно р[, но, вообще говоря, не такого вида. Мы рассмотрим в следующем параграфе получающийся таким путем тип уравнений так называемые пфаффовы уравнения, которые имеют некоторые преимущества перед уравнениями Гамильтона. [c.64]

В книге дано систематическ(1е и достаточно доступное изложение O HOD аналитической механики В нее включены разделы уравнения Лагранжа, уравнения Гамильтона, теория Якоби, неголономные системы, вариационные принципы и теория возмущений. Приводятся многочисленные примеры, иллюстрирующие применение рассматриваемых методов. [c.2]

Как инструмент для изучения произвольных голономных систем материальных точек получены уравнения Лагранжа второго рода и канонические уравнения Гамильтона [66]. Дается понятие о лагран-жевом формализме [1, 36]. Изучается поведение полной энергии системы в зависимости от структуры обобщенных сил и кинетической энергии. Дается метод циклических координат [5, 58]. Устанавливается, что для голономных систем интегргипы количества движения, кинетического момента и обобщенный интегргия энергии Якоби [70] всегда могут быть представлены как следствие существования соответствующих циклических координат. Указывается на возможность использования аппарата теории групп для поиска интегралов движения [5]. Изложение вариационных принципов Гамильтона и Мопертюи-Лагранжа-Якоби [17, 38, 70] выполнено в соответствии с современной теорией оптимальных процессов [2, 5, 13]. Геометрически наглядная трактовка придана теории малых колеба- [c.12]

Этот принцип содержится в работах У. Гамильтона, опубликованных в 1834—1835 гг. (см. сборник Вариационные принципы механики , М., 1959, стр. 239). При этом Гамильтон предполагал, что исходная система склерономна (он исходил из представления кинетической энергии Г в виде квадратичной формы от обобщенных скоростей). Для общего с.1учая нестационарных связей этот принцип был сформулирован и обоснован М. В. Остроградским в 1848 г. (там же, стр. 770—771, 829). В связи с этим данный принцип иногда называют принципом Гамильтона—Остроградского. [c.105]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...