Геодезическая линия эллипсоида

Пример. Геодезические линии эллипсоида. Приложим предыдущие результаты к эллипсоиду [c.423]

Мы пишем здесь в знаменателях а, Ь, с, чтобы те же вычисления в зависимости от знаков а, Ь, с давали геодезические линии эллипсоида или гиперболоида. [c.423]

Форма полученного таким образом выражения для живой силы и предположение отсутствия активных сил позволяют непосредственно видеть, что определение геодезических линий эллипсоида приводит, как к частному случаю (п = 2, и — а, Ai = gi, /42 = — 9г)> к тому типу задач, интегрируемых посредством разделения переменных, который мы изучили в п. 62 (случай интегрируемости Лиувилля). [c.385]

Если О и О — две шаровые точки эллипсоида, не лежащие на одном диаметре, то MO и ЛЮ — геодезические линии, соединяющие точку М с этими точками, а эти две линии одинаково наклонены к каждой из линий кривизны, проходящей через точку М. [c.443]

Геодезические линии поверхностей Лиувилля, Приложение к эллипсоиду. Лиувилль заметил, что можно при помощи квадратур найти геодезические линии поверхностей, для которых квадрат линейного элемента, при подходящем выборе параметров и 2. может быть представлен в форме [c.488]

Любая геодезическая линия, проведенная на удлиненном эллипсоиде вращения, проектируется на плоскость экватора в виде герполодии, которая [c.200]

Задача 10. Точка единичной массы находится на эллипсоиде Ш = Ах +Ву +Сг = ) и движется по инерции (F=0), так что траектория движения является геодезической линией. Интеграл энергии Я = V2(i + i/ + z2). Доказать, что имеется еще квадратичный по скоростям интеграл [c.167]

Интегрируемый случай. Проблема геодезических линий на выпуклом эллипсоиде, исследованная Якоби, является общеизвестным примером интегрируемой задачи . Если мы сплющим этот эллипсоид, превратив его в плоский эллипс, то получим в пределе специальный интегрируемый случай проблемы бильярдного шара (см. главу VI, 6). Этот пример является еще болсс конкретным, так как геодезические линии превращаются в обыкновенные ломаные с вершинами, лежащими на эллипсе, и сторонами, образующими равные углы с нормалью к эллипсу в любой вершине. [c.249]

Геодезические линии на эллипсоиде с полуосями а, Ь, с а > Ь > > с > 0) известны со времен Якоби. Они появляются также в качестве общего решения интегрируемой гамильтоновой проблемы, так как частица, движущаяся по гладкому эллипсоиду без воздействия внешних сил, должна следовать по геодезической линии. Если теперь меньшая полуось с будет стремиться к нулю, в то время как остальные полуоси будут оставаться постоянными, то эллипсоид перейдет в эллипс. Геодезические линии будут состоять из прямолинейных отрезков, и два таких отрезка, принадлежащие одной и той же геодезической линии и следующие друг за другом, должны встречать эллипс под одинаковыми углами. Но такие ломаные линии суть идеализированные пути бильярдного шара на эллипсе. Разумеется, и эта проблема должна быть интегрируемой . [c.319]

Сам Биркгоф рассматривал биллиарды как предел задачи о геодезических линиях выпуклой поверхности, которая непрерывно деформируется в область на плоскости. В общем случае строгий анализ такого предельного перехода является довольно деликатной проблемой насколько нам известно, она не изучена до сих пор. Однако в ряде конкретных случаев (например, деформация эллипсоида, когда две его полуоси неизменны, а меньшая стремится к нулю) можно действительно показать, что почти все геодезические линии переходят в траектории биллиарда Биркгофа. [c.20]

Этот результат на первый взгляд может показаться тривиальным полная интегрируемость задачи о движении по инерции точки в / " очевидна с самого начала. Однако из полученных выше формул разделения переменных вытекает совсем не очевидный результат Якоби об интегрируемости задачи о движении точки по поверхности многомерного эллипсоида в отсутствии внешних сил (согласно принципу Мопертюи, траектории движущейся точки совпадают с геодезическими линиями). В самом деле, зафиксируем значение переменной Хь скажем, Л =0. Тогда Кг,..., будут криволинейными ортогональными координатами на поверхности (п—1)-мерного эллипсоида 2дс, /а.= 1. Гамильтониан задачи о геодезических задается формулой (20), в которой надо положить Л1=0, 11=0. Разделение переменных Лг, Ц2. , Лп, Ц осуществляется по указанной выше схеме. Отметим, что в случае двумерного эллипсоида гамильтониан имеет вид Г из предложения 5. Если мы зафиксируем [c.142]

В качестве примера рассмотрим обратное рассеяние звука на вытянутом эллипсоиде вращения с полуосями Ь ка а > Ь). Ш рис. 4.7 приведены зависимости эквивалентного радиуса для обратного рассеяния (нормированные к длине большой полуоси) от параметра ка в соответствии с работой [144]. Осцилляции связаны с возникновением дифракционных волн, огибающих эллипсоид по геодезическим линиям (линиям кратчайшего пути). Эти в.олны интерферируют с волной, отраженной по геометрооптическим законам, что приводит к появлению максимумов и минимумов при синфазном и противофазном сложении этих волн соответственно. При увеличении волновых размеров кривые стремятся к штриховым линиям, вычисленным в предположении, что все размеры велики по сравнению с длиной волны и отражение происходит по геометрическим законам, описывающимся формулами (4.69). Вычислив произведение главных радиусов кривизны эллипсоида, получим [c.204]

Другой пример доставляет геодезический поток на выпуклой поверхности, близкой к эллипсоиду. В этой системе две степени свободы, и мы убеждаемся, что большинство геодезических на близкой к трехосному эллипсоиду поверхности колеблется между двумя каустиками , близкими к линиям кривизны поверхности, всюду плотно заполняя кольцо между ними. В то же время мы приходим к теоремам об устойчивости двух замкнутых геодезических, получившихся при деформации поверхности из двух эллипсов, содержащих среднюю ось эллипсоида (в отсутствие резонансов порядков 3 и 4). [c.380]

Таково дифференциальное уравнение геодезических линий эллипсоида. Простая геометрическая интерпретация этого уравнения приведет к теореме, установленной Иоахимсталем если р — расстояние от центра эллипсоида до касательной плоскости в точке Л1 геодезической линии, О — длина [c.423]

Геодезические линии эллипсоида. Как следствие доказанного в тексте (п. 279) соотношения pD = onst., доказать следующие предложения. [c.443]

Геодезические линии эллипсоида. В п. 44 гл. II мы рассматривали геодезические линии какой угодно поверхности о как траектории движения по инерции (спонтанное движение) материальной точки, удерживаемой без трения на поверхности а. В случае поверхности общего типа мы ограничились указанием на основании интеграла живых сил, что движение происходит с постоянной по величине скоростью, не занимаясь задачей интегрирования, которое к тому же, если не вводить частных предположений, мы не сможем выполнить элементарными средствами. В специальном случае поверхности вращения-мы видели (пп. 45, 46 гл. 11), что имеет место также интеграл плбщадей в плоскостях, нормальных к оси вращения, и что это обстоятельство позволяет привести определение движения по инерции, а следовательно, и геодезических тиний к квадратурам. Здесь читатель может убедиться в этом без вычислений, обращаясь к теореме Лиувилля из п. 44. [c.384]

Первые 6 лекций Якоби посвящает изложению основных принципов механики принципу сохранения движения центра тяжести системы, принципу живой силы, принципу площадей и принципу наименьшего действия. С 10-ой лекции Якоби развивает теорию множителя" систем обыкновенных дифференциальных уравнений, являющуюся обобщением теории эйлеров-ского интегрирующего множителя. Якоби показывает каким образом можно в целом ряде случаев построить с помощью последнего множителя" всю систему п независимых интегралов. Изложив подробно теорию этого множителя, Якоби затем применяет ее к решению ряда механических задач. С 19-ой лекции Якоби, исходя из вариационного принципа Гамильтона, излагает тот метод интегрирования уравнения с частными производными первого порядка, который известен под названием метода Якоби-Гамильтона". В следующих лекциях этот метод примендется к ряду задач, взятых главным образом из области небесной механики. В 26 лекции Якоби излагает теорию эллиптических координат и показывает их приложение к разысканию геодезических линий эллипсоида, к задаче построения карт, к выводу основной теоремы Абеля и проч. Наконец, последние лекции Якоби посвящены изложению его классических методов интегрирования нелинейных уравнений в частных производных первого порядка. [c.4]

Основной труд Якоби по механике — его замечательные Лек ,пи по динамике , выполненные в 1842—1843 гг. п изданные его учеником А. Клебшем (1839—1894) после смерти Якоби в 1866 г. Эти лекции представляют собой развитие класс ческой аналитической механики Лагранжа и содержат много новых идей как по математике (теория дифференциальных уравнений в частных производных, вычисление геодезических линий на эллипсоиде), так и по механике. [c.212]

Ha основе этой теоремы, которая в настоящее время известна под названием теоремы Якоби — Гамильтона, Якоби дал новое решение знаменитых задач небесной механики о движении планет в поле тяготения Солнца, о движении точки, притягиваемой щвумя неподвижными центрами вместе с тем он определил геодезические линии трехосного эллипсоида. Решение двух последних задач Якоби сопроводил изложением теории эллиптических координат в многомерном пространстве. [c.20]

Предполагается, что удары о границу являются абсолютно упругими. Эта динамическая система называется эллиптическим биллиардом. Согласно Биркгофу [42, гл. VIII] эллиптический биллиард получается из известной задачи Якоби о движении по геодезическим линиям на поверхности трехосного эллипсоида [c.99]

С геометрической точки зрения интегрируемость задачи о геодезических на п-мерном эллипсоиде означает следующее касательные прямые к геодезической линии квадрики (2.1) в R"+, проведенные во всех точках геодезической, касаются кроме этой квадрики еще п—1 конфокальных с ней квадрик, одних и тех же для всех точек геодезической. Это знаменитая теорема Якоби — Шаля. По словам Якоби, она принадлежит ...к замечательнейшим теоремам аналитической геометрии [56, с. 185 русского перевода]. Устремляя к нулю одну из полуосей эллипсоида в трехмерном пространстве, приходим к малой теореме Понселе (см. 1). [c.105]

Теперь рассмотрим геодезическую на двуполостном гиперболоиде. После касания с линией пересечения в точке (т , ту, 1 2) эта геодезическая подойдет к зеркальному эллипсоиду, отразится от пего и затем вновь коснется линии пересечения в точке (т 1, ту", т 2)- Учитывая [c.276]

ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА. Прямая геодезич. задача заключается в том, что, имея географич. широту <р и долготу La точки А на местности и длину линии S и азимут ее а на другую точку 13 местности, по этим данным вьхчисляют географич. широту долготу 1/5 ТОЧКИ в и обратный азимут с точки В на точку А местности. Эта задача применяется в практике геодезич. работ при вычислении пунктов триангуляции (см.) для съемки и составления карт больших площадей. Т. к . земной шар представляет собой сложное тело вращения—геоид, весьма близкое к эллипсоиду вращения, то в зависимости от расстояния между точками А и В приходится применять те или иные ф-лы, принимая при малых расстояниях между точками А и В поверхность земли за шаровую или при больших расстояниях за поверхность эллипсоида, причем существуют различные поправочные члены и видоизменения основных [c.256]

О, 2 = О, Жд = О есть замкнутая геодезическая. Геодезическая, выходящая из точек большого эллипса (с полуосями а, Ь) по направлению, близкому к направлению эллипса (рис. 206), касается поочередно двух замкнутых линий пересечения эллипсоида с однополостным гиперболоидом нашего семейства К = onst ). [c.233]

Наконец, еще более круто пересекающие большой эллипс геодезические (рис. 208) касаются поочередно двух линий пересечения нашего эллипсоида с двуполостным гиперболоидом ). Они заполняют, вообще говоря, всюду плотно кольцо между этими линиями. [c.233]

СИЛЫ тяжести в данной точке, т. е. зависящим от него направлением астрономической вертикали, или отвесной линии, либо к системе геодезических координат, вычисляемых на основе определенной математической поверхности (например, эллипсоида вращения), аппроксимирующей реальную физическую поверхность Земли и называемой фундаментальной поверхностью относимости (см. ниже общий земной эллипсоид, или сфероид, и референц-эллипсоид). [c.46]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...