Формулы эллиптического движени

Формулы эллиптического движения планет по законам Кеплера. Выведем теперь основные формулы движения планет, следующие из законов Кеплера. Примем плоскость орбиты за плоскость чертежа, и пусть PJ5 есть описываемый планетою эллипс, С—его центр, ЛР = 2а — его большая ось, S—тот фокус, в котором находится Солнце, F—второй фоку а. Возьмем точку С за начало координат, примем оси координат, указанные [c.107]

Примечание. Заметим, что формулы гиперболического движения с независимой переменной Я вполне подобны соответствующим формулам эллиптического движения, в которых независимой переменной является Е. [c.500]

Так как окружность есть частный случай эллипса, то все формулы кругового движения мы можем получить из соответствующих формул эллиптического движения, полагая в последних эксцентриситет е равным нулю. Кроме того, так как направление вектора Лапласа (т. е. направление линии апсид орбиты) становится неопределенным, то понятия перицентра и апоцентра теряют смысл, а угловое расстояние перицентра от узла также становится неопределенным и его можно принять просто равным нулю. [c.501]

Теперь формулы эллиптического движения предыдущего параграфа дают при е = 0 [c.501]

Однако в астрономии известно множество случаев, когда эти условия почти выполняются (т. е. выполняются с высокой степенью точности) и тогда движение планеты или спутника, являясь, строго говоря, эллиптическим, весьма мало отличается от кругового. В таких случаях выгодно пользоваться формулами кругового движения, которые значительно проще формул эллиптического движения и в которых координаты и составляющие скорости выражаются через время явным образом. [c.502]

Кроме того, для случая эллиптического движения уравнение, определяющее скорость изменения эксцентриситета, можно несколько упростить. В самом деле, по формулам эллиптического движения мы имеем [c.603]

В самом деле, используя формулы эллиптического движения, мы имеем [c.604]

Так как каждая масса т описывает свою орбиту вокруг массы гпо, то мы имеем из формул эллиптического движения [c.681]

Замечание. Если в формулах эллиптического движения заменить а на —а тл л/ — на Я, то мы получим соответствующие формулы гиперболического движения. [c.227]

Получены также полиномы [70], позволяющие вычислять сферические координаты (радиуса-вектора г, долготы X и широты р) Юпитера и Сатурна, отнесенные к среднему равноденствию стандартной эпохи 1950,0. В форме полиномов Представлены разности ЛЯ = Я — Яо, лр = р — Ро, Лг = л — Го, где Яо, Ро, /"о означают координаты, вычисленные по формулам эллиптического движения (см. ч 1,тл. II), исходя из систем оскулирующих элементов Юпитера и Сатурна. [c.502]

Вычисление любой скобки Лагранжа зависит только от формул эллиптического движения. Прежде чем пойти дальше, выведем одно важное свойство скобок Лагранжа. [c.242]

Ганзен первым оценил те преимущества, которые получатся в результате прибавления всех возмущений как долгого, так и короткого периодов к средней долготе, или, что то же, к средней аномалии. В этом случае уравнение центра, вычисленное по формуле эллиптического движения, дает непосредственно истинную возмущенную долготу в орбите, тогда как радиус-вектор п широта, полученные по эллиптическим формулам с использованием возмущенной средней аномалии, [c.359]

Первые четыре главы книги посвящены общим уравнениям движения тел, представляющих изолированную систему, известным интегралам, основным формулам эллиптического движения и разложению различных функций в гипергеометрические ряды и по функциям Бесселя. В гл. 5 достаточно подробно излагаются уравнения Лагранжа для оскулирующих элементов, чтобы читатель мог ознакомиться с основными процессами перехода от эллиптической орбиты к возмущениям планет. В гл. 6 рассматриваются различные классы неравенств —вековые, короткопериодические и долгопериодические. Гл. 7 посвящена разложению в ряд возмущающей функции, сначала в теории Луны, а затем в теории движения планет. В гл. 8 —о канонических уравнениях — шаг за шагом излагаются различные теоретические положения и приводятся простые примеры. В гл. 9 подробно рассматривается решение уравнений эллиптического движения при помощи метода Гамильтона — Якоби. В следующих двух главах излагаются элементы теории контактных преобразований. Гл. 12 посвящена теории Луны Делонэ в ней подробно описывается основная операция и дается практический метод получения решения п желаемой форме. В следующих двух главах рассматриваются вековые [c.7]

Сводка формул эллиптического движения [c.37]

В 2.14 дана следующая группа формул эллиптического движения [c.42]

В предыдущей главе мы записывали формулы эллиптического движения тела Р в виде [c.110]

Мы можем затем выразить координаты Солнца (относительно С), входящие в Р. по формулам эллиптического движения через в,, е, и т. д., где вр в, и т. д.—постоянные. Отметим в этой связи различие между теорией Луны и теорией планет. В последнем случае координаты возмущающего тела подставляются в возмущающую функцию в виде алгебраических функций, представляющих решение уравнений невозмущенного движения, но в,, б, и т. д. являются уже не постоянными, а фактически новыми переменными, удовлетворяющими уравнениям Лагранжа. Это будет сказываться на членах второго порядка в возмущениях рассматриваемой планеты. [c.132]

Перейдем теперь к вычислению интеграла правой части формулы (1). При этом будем руководствоваться известными формулами эллиптического движения. Пусть г определяется через новую переменную Е по формуле [c.196]

Из формул эллиптического движения, очевидно, следует, что / — истинная аномалия AQ. Поэтому, возвращаясь к формуле (1), мы видим, что [c.199]

Зная элементы орбиты, можем вычислить прямоугольные планетоцентрические координаты х, у, г спутника для любого момента t по формулам эллиптического движения [c.172]

Формулы (IV. 13) представляют эллиптическое движение спутника, если под а, е,... подразумевать постоянные величины. Но эти же самые формулы могут представить какое угодно движение, и, в частности интересующее нас реальное движение спутника, если рассматривать а, е,... как соответствующим способом выбранные функции времени. Поскольку мы имеем только три условия (IV.13) для определения шести функций а ( ), е (О > можем подчинить эти функции еще трем дополнительным условиям. Эти дополнительные условия будут состоять в том, чтобы не только координаты х, у, г, но и их производные х, у, г также выражались через элементы орбиты по формулам эллиптического движения. [c.173]

Интегрирование системы (4.41) будем проводить методом вариации элементов орбиты. Согласно этому методу координаты и их первые производные по времени определяются по формулам эллиптического движения, в которых на месте элементов орбиты (произвольных постоянных интегрирования) стоят оскулирующие элементы. Напишем эти формулы [c.97]

Основанный на элементарных принципах, этот учебник содержит все же подробное описание движения Пуансо и движения тяжелого симметричного волчка. Кроме того, в этой книге имеются некоторые точные формулы, описывающие движение волчка с помощью эллиптических функций. Некоторые небольшие разделы этой книги посвящены качению твердых тел и техническим применениям гироскопов (главным образом гирокомпасу). [c.205]

Формулы для эллиптического движения. Уравнения движения были проинтегрированы нами не полностью, так как мы искали лишь форму орбиты и закон изменения на ней скорости. Для полного решения требуется знать положение точки на орбите в любой момент времени, если даны начальные условия. [c.204]

Формулы (К ) и (Ь ), к сравнению которых мы свели изучение эллиптического движения, распространяются также на гиперболическое движение и в любой бинарной системе, подчиняющейся ньютоновым законам притяжения. Упрощенная характеристическая функция может быть выражена определенным интегралом [c.212]

В гл. II было показано, что при определенной, так называемой критической скорости вращения вал теряет устойчивую, почти прямолинейную, форму и начинает бить . Это явление, связанное с некоторой неизбежной динамической неуравновешенностью вала, нельзя назвать поперечными колебаниями в полном смысле слова, так как форма изогнутой оси вала в процессе движения почти не меняется (некоторая переменная деформация может возникнуть за счет неполной изотропии системы, т. е. различия ее упругих характеристик в вертикальной и горизонтальной плоскостях) и изгибные напряжения сохраняют в процессе движения почти постоянную величину. Тем не менее, представляя круговое (или в общем случае эллиптическое) движение вала в виде суммы поперечных колебаний в горизонтальной и вертикальной плоскостях, можно применить для его математического описания общие формулы поперечных колебаний. При таком представлении центробежные силы, сопровождающие вращение неуравновешенных элементов, играют роль возбудителя первого порядка относительно собственного вращения вала, т. е. такого возбудителя, частота которого равна скорости вращения вала (здесь и в дальнейшем под порядком возбудителя понимается отношение частоты его к скорости вращения вала). Совпадение частоты возбудителя с частотой свободных поперечных колебаний системы, имеющее место при вращении вала с критической скоростью, приводит к опасному росту изгибных деформаций и напряжений. [c.225]

Сравнивая формулы (11) и (12) с (2.10.4) и (2.10.3), убеждаемся в том, что в случае эллиптического движения п есть средняя угловая скорость движения спутника по орбите, то есть его среднее движение. [c.109]

Величину М = п — о) в случае эллиптического движения обычно называют средней аномалией спутника. Она имеет простой механический смысл это радианная мера дуги, которую описал бы между моментами м t фиктивный, воображаемый спутник Ф, если бы он двигался равномерно с угловой скоростью п. 3. Связь между эксцентрической аномалией 2 и истинной аномалией 0 следует из формул [c.110]

Нахождение движения артиллерийского снаряда, спутника, поезда, самолета, ракеты и т. п. — все эти задачи решаются приближенными методами ), причем решение может быть найдено с любой степенью точности даже в самой точной из наук— астрономии — все формулы, по словам А. Н. Крылова, приближенные. Даже во втузовском курсе механики, например, в учебнике ( 88, 89, 91, 95, 113, 161) читатель встретится с приближенными методами при изучении движения артиллерийского снаряда, при нахождении времени в эллиптическом движении планеты или спутника, при рассмотрении вынужденных колебаний точки, при изучении колебаний физического маятника, при изучении влияния враш ения Земли на падение тяжелой точки в пустоте и т. п. [c.40]

ФОРМУЛЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ 3.1. Эллиптические функции Якоби [c.68]

Рассматривая теперь формулы (2.14 ) и проводя подобные рассуждения, мы установим также неустойчивость эллиптического движения по отношению к координатам и составляющим скорости. [c.72]

Теперь по формулам (9.59) находим искомые выражения для координат и составляющих скорости эллиптического движения в таком виде [c.495]

Так как тогда их взаимное притяжение сделается бесконечно большим, то они никогда больше не смогут разъединиться таким образом, с. этого времени остается некоторое определенное г . , = О, вместе с этим [1=оо далее, если мы распространим интегрирование на промежуток, заключаюш ий рассматриваемое время, то а вместе с ним и В, будут принимать бесконечно большие значения, каково бы ни было h. Таким образом другие тела солнечной системы долигны были бы удалиться в бесконечность, а вместе с этим должно было бы нарушиться равновесие. Итак, U должно колебаться вокруг—2h и эти колебания заключены между определенными конечными границами. Пример такого поведения дают периодические функции с постоянным членом, равным —2h. Это подтверждается формулами эллиптического движения. В них U— , -2h — (отбрасывая постоянный множитель, [c.27]

При реальном движении элементы орбиты, которые соответствуют этим координатам и колшонентам скорости, должны неизбежно меняться с течением времени. Вместо определения возмущенных координат непосредственно решением дифференциальных уравнений с одинаковым успехом можно сначала получить элементы орбиты в виде функций времени. Тогда координаты можно найти по этим элементам при помощи стандартных формул эллиптического движения. В этом состоит принцип метода вариации произвольных постоянных — метода, широко известного в теории дифференциальных уравнений. В Небесной механике он применяется к системе дифференциальных уравнений шестого порядка. [c.238]

Поэтому в возмущенном движении как координаты, так и компоненты скорости в момент времени I определяются формулами эллиптического движения и выражаются через время и мгновенные значения злементон для момента t, причем компоненты скорости получаются дифференцированием выражений координат для эллиптического движенпя, как если бы орбитальные элементы были постоянными. Эта процедура является обязательной, если координаты и компоненты скорости должны дать мгновенные элементы по формулам эллиптического движения. С другой стороны, можно было бы ввести три условия, отличные от уравнений (5), и прийти к результатам, и.меющпм ту же силу. Однако координаты п компоненты скорости дают мгновенные элементы при помощи формул эллиптического движения только при условиях (5). Такие мгновенные элементы называются также оскулирующими элементами. [c.240]

Значения координат и скорости спутника в момент оскуляции являются начальными условиями воображаемога движения спутника по оскулирующему эллипсу. Поэтому оскулирующие элементы для каждого момента времени могут быть найдены из формул эллиптического движения по значениям координат и скорости спутника в его истинном движении. [c.96]

Метод вариации постоянных. Если бы солнечная система состояла из Солнца и только одной планеты, то шесть элементов эллиптического движения сохраняли бы в течение неопределенного времени свои значения. Но, как мы видели, эллиптическое движение является лишь первым приближением для движения планеты. Действие других планет на рассматриваемую планету сказывается в возмущении этого эллиптического движения. Для представления возмущенного движения, которое является действительным движением планеты и которое несколько отличается от эллиптического движения, сохраняют формулы А), рассматривая в них шесть элементов б, (р, си, а, е, е не как постоянные, но как функции от г.. С течением времени под действием других планет эти элементы будут по.4учать приращения 86, 8ср, Зси, За, Ье, Зе, которые называются возмуш,енаяма элементов и которые вызовут соответствующие возмущения координат х, у, г. Раздел небесной механики, посвященный вычислению этих приращений, называется теорией возмущений. [c.364]

Интегрирование этого уравнения определяет зависимость /( ) Для явного его решения в случае эллиптического движения е < 1) вводят новую вспомогательную переменную Е с помогцью следуюгцих формул [c.277]

Продифференцируем эту формулу по Н. Тут же получаем, что Ai убывает по Н, следовательно, [3 возрастает в интервалах Н и Е. Для непрямой дуги тоже рассуждение дает убывание Ai (здесь мы выбираем направление обхода, при котором это число будет положительным) в интервалах Е и Н . Теперь вернемся к прямой дуге в интервале Е". Чтобы получить возрастание Ai, достаточно констатировать, что Ai прямое = Т — Ai непрямое, где Т — это период эллиптического движения, что Т — возрастающс1я функция, а Ai непрямое — функция убывающая. Для непрямой дуги доказательство заканчивается аналогично. [c.53]

Составляющие скорости i, z можно, конечно, получить по общим формулам (9.55) и (9.57). Однако в случае эллиптического движения координаты и составляющие скорости удобно также выразить через эксцентрическую аномалию, которая может играть роль нсза1и1сим0й нерсмснной вместо V. [c.494]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...