Эллиптический элемент

Понятие об эллиптических элементах. В 2 для изучения общего решения уравнений движения точки, притягиваемой неподвижным центром по закону Ньютона, мы пользовались частной системой координат, подсказанной, так сказать, природой самой задачи (плоскость ху совпадала с плоскостью движения, полюс находился в центре силы и в эллиптическом случае полярная ось была направлена вдоль большой оси орбиты в сторону перигелия). Но иногда удобнее пользоваться общей системой координат это становится прямо необходимым, когда имеется в виду совместное изучение нескольких решений задачи, например изучение (эллиптических) движений двух или нескольких планет вокруг Солнца. [c.205]

Эти шесть параметров а, е, i, 0, со, I (или д), первые пять из которых геометрические (и постоянные), последний же кинематический (постоянный или переменный, смотря по тому, идет ли речь о или об /), называются элементами эллиптического движения, или, более просто, эллиптическими элементами. [c.207]

Замечания. Мы уже говорили в п. 26, что не имеем в виду выводить формулы (50) преобразования переменных х, у, г, х, у, i к эллиптическим элементам. Однако для иллюстрации предыдущего стоит показать две простые комбинации уравнений (50), приводящие к непосредственным и наглядным выводам для некоторых типов возмущений. [c.210]

С этой целью, с одной стороны, вспомним, что в эллиптическом невозмущенном движении энергию Е и постоянную площадей с можно выразить через эллиптические элементы благодаря формулам (16), (14) в виде [c.210]

Формулы (53) и (54), если в них Емс выражены через эллиптические элементы согласно уравнениям (50), и являются теми двумя комбинациями уравнений (50), на которые мы ссылались вначале. [c.210]

Согласно определению п. 25 гл. Ill речь идет о шести эллиптических элементах, из которых первые три, как мы видели- выше, связаны с полуосью а орбиты, с эксцентриситетом е й с наклонением i уравнениями [c.354]

Неизменность больших осей. Другим важным следствием рас-суждений п. 73 будет замечание, принадлежащее Лапласу, что в первом приближении эллиптический элемент = а вместе с ним и большая ось орбиты не имеют векового неравенства. [c.362]

Рассуждения, совершенно аналогичные рассуждениям п. 73, имеют место также и для задачи и - -1 тел, когда любое тело Р подвергается, помимо преобладающего действия центрального тела О, возмущающим притяжениям остальных п — 1 тел Р, Р",... Для каждой из этих возмущающих сил имеется потенциал V типа, рассмотренного в предыдущих пунктах. Если ограничиться, как и выше, первым приближением, то для дифференциального уравнения вида (143) будет иметь место распределительное свойство в том смысле, что возмущение любого эллиптического элемента точки Р будет суммою возмущений, вызванных каждым отдельным возмущающим телом. При этом предполагается, что каждое из этих тел, как и рассмотренное выше отдельное тело, имеет эллиптическое движение, которое оно имело бы, если бы отсутствовали все остальные тела, за исключением центрального. [c.363]

Параметры а зависят лишь от а, е, и i. Шесть постоянных а, е, i, to, Uq, сро называют эллиптическими элементами. [c.350]

Постоянные I,.. Эти параметры с помощью формулы (18.12.8) можно выразить через а, а стало быть, через эллиптические элементы а, е, i. [c.352]

Вводя эллиптические элементы, находим [c.354]

Вариация эллиптических элементов. Задача о движении двух тел (например. Солнца и планеты) иод действием сил взаимного притяжения может быть рассмотрена на основе изложенной выше теории. Здесь требуется выяснить, каково изменение во времени эллиптических элементов а, е, г, 0, Uq, Фо ( 18.13), вызванное малым возмущением. [c.510]

В свое время мы уже определили с помощью теоремы Гамильтона — Якоби связь эллиптических элементов с величинами аир. Она выражается следующими формулами (см. (18.13.16)) [c.510]

ВАРИАЦИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ [c.511]

Эти уравнения определяют изменение эллиптических элементов со временем ). [c.512]

Исследуем сначала возмущение движения планеты, вызываемое наличием другой планеты. В 18.7 мы нашли выражение для возмущающей функции R через координаты обеих планет относительно Солнца, и, чтобы использовать его в уравнениях (25.3.6), следует перейти к эллиптическим элементам планет. Всего получается двенадцать уравнений, поскольку элементы а, е, i, i, u, ф второй планеты также немного изменяются со временем. Исследование этой системы уравнений составляет одну из важнейших задач небесной механики не имея возможности привести его здесь во всей полноте, ограничимся несколькими замечаниями. [c.512]

Уравнения (25.3.6) имеют форму, несколько отличающуюся от принятой среди астрономов. Они определяют изменение эллиптических элементов в зависимости от времени и не очень удобны для теории движения планет. Если функцию R представить в форме (25.3.8), то, учитывая, что п зависит от а, будем иметь [c.512]

В предыдущих главах мы пробовали применить два подхода к решению задачи трех тел. В 17.10 рассматривалось движение планеты в поле двух притягивающих центров. Если считать, что это движение происходит в неподвижной плоскости, проходящей через притягивающие центры, то можно, как мы видели, дать исчерпывающую классификацию траекторий. Более того, можно найти уравнения траекторий, выразив их через эллиптические функции. Трудности, с которыми мы сталкиваемся в этой сравнительно простой задаче, дают представление о сложности проблемы в общем случае. В 25.3 мы рассматривали вариации эллиптических элементов. При этом сначала изучалось движение одной планеты относительно Солнца, а затем рассматривались те возмущения, которые обусловлены наличием второй планеты. Второй этап в этих рассуждениях не носил характера самостоятельной задачи возмущенное движение рассматривалось как непрерывное видоизменение исходного эллиптического движения. Этот метод эффективен, поскольку массы планет весьма малы по сравнению с массой Солнца. [c.562]

В обычно применяемых методах определение движения свободной точки в пространстве под влиянием ускоряющих сил состоит в интегрировании трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, а определение движения системы свободных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся, — в интегрировании системы подобных уравнений, число которых втрое больше числа притягивающихся или отталкивающихся точек, если только мы предварительно не уменьшим это последнее число на единицу, рассматривая только относительные движения. Таким образом, в солнечной системе, если мы рассматриваем только взаимные притяжения Солнца и десяти известных планет [ ], определение движений последних относительно первого при помощи обычных методов сводится к интегрированию системы тридцати обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, связывающих координаты и время, или же, при помощи преобразования Лагранжа, — к интегрированию системы шестидесяти обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, связывающих время и эллиптические элементы. При помощи этих интегрирований тридцать переменных координат или шестьдесят переменных элементов могут быть найдены, как функции времени. В методе, предложенном в данной работе, задача сводится к отысканию и дифференцированию единственной функции, которая удовлетворяет двум уравнениям в частных производных первого порядка и второй степени подобным же образом всякая другая динамическая задача, относящаяся к движениям (как бы многочисленны они не были) любой системы притягивающихся или отталкивающихся точек (даже если мы предполагаем, что эти точки ограничены какими-либо условиями связи, совместными с законом живой силы), сводится к изучению одной центральной функции, форма которой определяет и характеризует свойства движущейся системы и определяется двумя дифференциальными уравнениями в частных производных первого порядка в сочетании с некоторыми простыми соображениями. Таким образом, по крайней мере интегрирование многих уравнений одного класса заменяется интегрированием двух уравнений другого класса, и даже если считать, что этим не достигается никакого практического облегчения, тем не менее можно получить некое интеллектуальное наслаждение от сведения, пожалуй, самого сложного из всех исследований. [c.176]

Следуя идее метода вариации постоянных, сохраним для векторов г V в возмущенном движении те же выражения (2), что и в невозмущенном движении, считая теперь эллиптические элементы [c.596]

Таким образом, эллиптические элементы а, е, / лишены вековых (пропорциональных и) слагаемых они представляют периодические функции и. Отличными от нуля оказываются средние значения производных [c.601]

Значительно сложнее вычисление изменения шестого эллиптического элемента — времени прохождения перигея. Заметим сначала, что соотношение (10.15.17), дающее выражение истинной аномалии ср через эксцентрическую чю, является интегралом уравнений невозмущенного движения, содержащим три постоянные е, а, — две последние, входят через уравнение Кеплера (10.15.16). Поэтому, согласно основной идее метода вариации постоянных, форма интеграла [c.601]

Когда возмущающих сил нет, то четыре произвольные постоянные суть п и а, аналогичные величинам, обозначенным этими буквами выше, и два эллиптические элемента е и о), причем через е обозначен эксцентриситет и через О) — долгота вершины орбиты. [c.153]

Подставляя выражения (12.71 ) в уравнения (12.65), мы получим уравнения для определения оскулирующих эллиптических элементов, называемые уравнениями Лагранжа. [c.616]

Орбита ИСЗ характеризуется шестью независимыми элементами. Это прежде всего кеплеровские эллиптические элементы-, большая полуось а, эксцентриситет е, наклон , долгота узла й, аргумент перигея ш и средняя аномалия в эпоху Мо (см. ч. II, 1.04). Дифференциальные уравнения для кеплеровских элементов приведены в 3.03 и 3.04 ч. IV. [c.563]

Но астрономы часто употребляют также первую систему, т. е. эллиптические элементы, которые не являются каноническими. Что изменится в результате [c.89]

Таким образом, производные по I от эллиптических элементов выразятся линейно через частные производные функции Р по эллиптическим элементам с коэффициентами, которые являются известными функциями эллиптических элементов. Такова форма дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют эллиптические элементы эти уравнения гораздо сложнее, чем уравнения (4), которым удовлетворяют элементы. [c.90]

С помощью скобок Лагранжа, определенных в 14, можно получить уравнения для эллиптических элементов более прямым путем. [c.90]

Применим эту формулу к интересующему нас случаю, обозначая переменные Xi и у% буквами х и у. Проинтегрируем сначала уравнения, в которых F заменена на Fq. Тогда они приведутся к уравнениям кеплеровского движения и позволят нам выразить наши неизвестные в функции шести эллиптических элементов А" и шести эллиптических элементов В". Допустим, что эти двенадцать эллиптических элементов взяты в качестве новых переменных, которые мы обозначили Oj, 02,. .., о.2п- [c.91]

Тогда формула (7) дает нам дифференциальные уравнения, которым должны удовлетворять новые переменные. Коэффициенты Oft, а являются известными функциями эллиптических элементов. Но эти коэффициенты есть не что иное (по отношению к каноническим уравнениям кеплеровского движения) как скобки Лагранжа пз 14. Действительно, среди эллиптических элементов имеются два элемента, пропорциональные времени это — средние аномалии. [c.91]

Так как первые пять эллиптических элементов однозначно определяют орбиту по форме, размерам и положению, а параметр I (или f ) определяет изменение с течением времени положения на орбите, то очевидно а priori, что координаты х, у, z движущейся точки будут выражаться в функции от этих шести элементов. Мы не будем здесь останавливаться на изложении явного определения этих выражений, а только покажем, что, для того чтобы их найти, достаточно присоединить к чисто геометрическому рассмотрению уравнение Кеплера (п. 10). [c.207]

Можно доказать, что шесть функций, стоящих в правой части, являются независимыми по отношению к их шести аргументам, так что уравнения (50) разрешимы относпгельно этих функций. Другими словами, формулы (50) можно рассматривать как формулы преобразования между шестью декартовыми элементами х, у, г, х, у, г и шестью эллиптическими элементами I, а, е, i, б, . [c.208]

Если в формулах (50) п. 26 гл. III представим себе, что вместо классических эллиптических элементов а, е, i. О, <и вместе с I введены другие пять элементов из таблицы (138), то будем иметь вполне каноническое преобразование между переменными х, у, z, X, у, Z (декартовы координаты и проекции скорости точки Р) и новыми эллиптическими элементами (138). Аналогично тому, что было сказано в п. 26 гл. III, это преобразование можно рассматривать независимо от предположения, что движение является кепле-ровым. В этом случае каждому состоянию движения х, у, г, х, [c.354]

Заметим, наконец, что для того, чтобы иметь явные формулы рассмотренного выше канонического преобразования, нет необходимости начинать с уравнений (131), (135), которые предполагают интегрирование уравнения Гамильтона — Якоби удобнее обратиться к интегралам кеплерова движения, которые получаются элементарным путем, и ввести в них, вместо первоначальных эллиптических элементов, аргументы (139). [c.355]

Составим теперь уравнения, определяющие зависимость величин а, е, i, to, щ, Фо от времени. Для этого перейдем в уравнениях (25.2.3) к эллиптическим элементам. Этот переход произведем в два этапа5 сначала выразим [c.510]

Применение э.1липтических э.1ементов. В 58 мы определили четыре системы элементов, а именно, одну систему эллиптических элементов и три системы канонических элементов. [c.89]

В силу соотношений между каноническими и эллиптическими элементами производные по I от эллиптических элементов выражаются линейно через производные по I от канонических элементов, п коэффщиенты в этих линейных формулах являются известными функциями эллиптических элементов. В силу уравнений (4) каждая из производных канонических элементов по I равна с точностью до знака одной из частных производных функций Р по одному из канонических элементов. В свою очередь частные производные функции Р по каноническим элементам выражаются линейно через частные производные функции Р по эллиптическим элементам, и коэффициенты этих линейных соотношений являются известными функциями эллиптических элементов. [c.90]

См. Tisserand, т. I, гл. X, где па стр. 187 приведены уравнения для эллиптических элементов в окончательном виде. [c.92]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...